2018高考数学（理）大一轮复习习题：选修4－5 不等式选讲 课时达标检测（六十六） 不等式的证明 Word版含答案.doc

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1、课时达标检测课时达标检测( (六十六六十六) ) 不等式的证明不等式的证明 1 1已知函数已知函数f f( (x x) )| |x x3|3| |x x1|1|，其最小值为，其最小值为t t. . (1)(1)求求t t的值；的值； (2)(2)若正实数若正实数a a，b b满足满足a ab bt t，求证：，求证：1 1a a4 4b b9 94 4. . 解：解：(1)(1)因为因为| |x x3|3| |x x1|1| |x x3|3|1|1x x|x x3 31 1x x| |4 4，所以，所以f f( (x x) )minmin4 4，即即t t4.4. (2)(2)证明：由证明：由

2、(1)(1)得得a ab b4 4，故，故a a4 4b b4 41 1，1 1a a4 4b b 1 1a a4 4b b a a4 4b b4 41 14 41 1b b4 4a aa ab b5 54 42 2b b4 4a aa ab b5 54 41 19 94 4，当且仅当，当且仅当b b2 2a a，即，即a a4 43 3，b b8 83 3时取等号，故时取等号，故1 1a a4 4b b9 94 4. . 2 2设不等式设不等式2|2|x x1|1| |x x2|02|0 的解集为的解集为M M，a a，b bM M. . (1)(1)证明：证明： 1 13 3a a1 16

3、 6b b 1 14 4； (2)(2)比较比较|1|14 4abab| |与与 2|2|a ab b| |的大小，并说明理由的大小，并说明理由 解：解：(1)(1)证明：记证明：记f f( (x x) )| |x x1|1| |x x2|2| 3 3，x x2 2，2 2x x1 1，22x x11，3 3，x x1.1. 由由222 2x x1010 解得解得1 12 2 x x 1 12 2， 则则M M 1 12 2，1 12 2. . 所以所以 1 13 3a a1 16 6b b1 13 3| |a a| |1 16 6| |b b|1 13 31 12 21 16 61 12 2

4、1 14 4. . (2)(2)由由(1)(1)得得a a2 2 1 14 4，b b2 2 0.1)0. 所以所以|1|14 4abab| |2 24|4|a ab b| |2 2，故，故|1|14 4abab|2|2|a ab b|.|. 3 3(2017(2017广州模拟广州模拟) )已知定义在已知定义在 R R 上的函数上的函数f f( (x x) )| |x xm m| | |x x| |，m mN N* *，存在实数，存在实数x x使使f f( (x x)2)2 成立成立 (1)(1)求实数求实数m m的值；的值； (2)(2)若若，11，f f( () )f f( () )4 4

5、，求证：，求证：4 41 13.3. 解：解：(1)(1)因为因为| |x xm m| | |x x|(|(x xm m) )x x| | |m m|.|. 要使不等式要使不等式| |x xm m| | |x x|2|2 有解，则有解，则| |m m|2|2，解得，解得22m m2. a a2 2b babab2 2； (2)(2)已知已知a a，b b，c c都是正数，求证：都是正数，求证：a a2 2b b2 2b b2 2c c2 2c c2 2a a2 2a ab bc cabcabc. . 证明：证明：(1)(1)(a a3 3b b3 3) )( (a a2 2b babab2 2

6、) )( (a ab b)()(a ab b) )2 2. . 因为因为a a，b b都是正数，都是正数， 所以所以a ab b0.0. 又因为又因为a ab b， 所以所以( (a ab b) )2 20.0. 于是于是( (a ab b)()(a ab b) )2 200， 即即( (a a3 3b b3 3) )( (a a2 2b babab2 2)0)0， 所以所以a a3 3b b3 3 a a2 2b babab2 2. . (2)(2)因为因为b b2 2c c2 222bcbc，a a2 200， 所以所以a a2 2( (b b2 2c c2 2)2)2a a2 2bcbc

7、. . 同理同理，b b2 2( (a a2 2c c2 2)2)2abab2 2c c. . c c2 2( (a a2 2b b2 2)2)2abcabc2 2. . 相加得相加得 2(2(a a2 2b b2 2b b2 2c c2 2c c2 2a a2 2)2)2a a2 2bcbc2 2abab2 2c c2 2abcabc2 2，从而从而a a2 2b b2 2b b2 2c c2 2c c2 2a a2 2abcabc( (a ab bc c) ) 由由a a，b b，c c都是正数，得都是正数，得a ab bc c00， 因此因此a a2 2b b2 2b b2 2c c2

8、2c c2 2a a2 2a ab bc cabcabc( (当且仅当当且仅当a ab bc c时取等号时取等号) ) 5 5已知已知x x，y yR R，且，且| |x x|1|1，| |y y|1.|1. 求证：求证：1 11 1x x2 21 11 1y y2 22 21 1xyxy. . 证明：证明：2 21 11 1x x2 21 11 1y y2 21 1x x2 21 1y y2 22 2 2 2x x2 2y y2 22 22 22|2|xyxy| |2 21 1| |xyxy| |， 1 11 1x x2 21 11 1y y2 22 21 1| |xyxy| |2 21 1

9、xyxy， 原不等式成立原不等式成立 6 6(2017(2017长沙模拟长沙模拟) )设设，均为实数均为实数 (1)(1)证明：证明： |cos(|cos()|cos )|cos | |sin |sin | |， |sin(|sin()|cos )|cos | |cos |cos | |； (2)(2)若若0 0，证明：，证明：|cos |cos | |cos |cos | |cos |cos |1.|1. 证明：证明：(1)|cos(1)|cos()|)|cos |cos cos cos sin sin sin sin |cos |cos cos cos | |sin |sin sin si

10、n |cos |cos | |sin |sin | |； |sin(|sin()|)|sin |sin cos cos cos cos sin sin |sin |sin cos cos | |cos |cos sin sin |cos |cos | |cos |cos |.|. (2)(2)由由(1)(1)知，知，|cos|cos |cos|cos | |sin(|sin()|cos )|cos | |cos |cos | |cos |cos | |， 而而0 0，故，故|cos|cos | |cos |cos | |cos |cos |cos 0|cos 01.1. 7 7(2017(20

11、17重庆模拟重庆模拟) )设设a a，b b，c cR R且且a ab bc c1.1. 求证：求证：(1)2(1)2ababbcbccacac c2 22 21 12 2； (2)(2)a a2 2c c2 2b bb b2 2a a2 2c cc c2 2b b2 2a a2.2. 证明：证明：(1)(1)因为因为 1 1( (a ab bc c) )2 2a a2 2b b2 2c c2 22 2abab2 2bcbc2 2caca44abab2 2bcbc2 2cacac c2 2， 当且仅当当且仅当a ab b时等号成立，时等号成立， 所以所以 2 2ababbcbccacac c2

12、 22 21 12 2(4(4abab2 2bcbc2 2cacac c2 2)1 12 2. . (2)(2)因为因为a a2 2c c2 2b b2 2acacb b，b b2 2a a2 2c c2 2ababc c，c c2 2b b2 2a a2 2bcbca a， 当且仅当当且仅当a ab bc c1 13 3时等号成立时等号成立 所以所以a a2 2c c2 2b bb b2 2a a2 2c cc c2 2b b2 2a a acacb bababc c ababc cbcbca a acacb bbcbca aa a c cb bb bc cb b a ac cc ca ac

13、 c a ab bb ba a22a a2 2b b2 2c c2 2， 当且仅当当且仅当a ab bc c1 13 3时等号成立时等号成立 8 8(2017(2017贵阳模拟贵阳模拟) )已知函数已知函数f f( (x x) )2|2|x x1|1| |x x2|.2|. (1)(1)求求f f( (x x) )的最小值的最小值m m； (2)(2)若若a a，b b，c c均为正实数，且满足均为正实数，且满足a ab bc cm m，求证：，求证：b b2 2a ac c2 2b ba a2 2c c3.3. 解：解：(1)(1)当当x x 1 1 时，时，f f( (x x) )2(2(

14、x x1)1)( (x x2)2)3 3x x(3(3，)； 当当11x x22 时，时，f f( (x x) )2(2(x x1)1)( (x x2)2)x x4 43,6)3,6)； 当当x x22 时，时，f f( (x x) )2(2(x x1)1)( (x x2)2)3 3x x66，) 综上，综上，f f( (x x) )的最小值的最小值m m3.3. (2)(2)证明：证明：a a，b b，c c均为正实数均为正实数，且满足且满足a ab bc c3 3， 因为因为b b2 2a ac c2 2b ba a2 2c c( (a ab bc c) ) b b2 2a aa a c c2 2b bb b a a2 2c cc c 22 b b2 2a aa a c c2 2b bb b a a2 2c cc c2(2(a ab bc c) ) ( (当且仅当当且仅当a ab bc c1 1 时时，取等号取等号) ) 所以所以b b2 2a ac c2 2b ba a2 2c ca ab bc c，即即b b2 2a ac c2 2b ba a2 2c c3.3.