2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文数试题精编版（解析版）.doc

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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设命题，则为（ ） 【答案】B2. 已知集合，则（ ） 【答案】C【解析】由交集的定义可得,故选C.【考点定位】集合交集【名师点睛】本题主要考查了集合的交集运算，解决问题的关键是根据所给集合结合数轴知识进行发现即可；解题时要看清楚是求“”还是求“”和要注意对数的真数大于，否则很容易出现错误3. 对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（

2、 ） 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即,故选D.【考点定位】抽样调查 【名师点睛】本题主要考查了简单随机抽样,分层抽样,系统抽样，解决问题的关键是根据抽样的原理进行具体分析求得对应概率的关系，属于基础题目.4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） 【答案】A【考点定位】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】有关函数的基本性质的判断题目属于平时考试和练习的常见题型，解决问题的关键是根据所给选项对应的函数性质进行逐一发现验证即可.5. 在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ） 【答案】B【解析】在上符合的区间为

3、,因为区间的区间长度为且区间的区间长度为,所以根据几何概型的概率计算公式可得,故选B.【考点定位】几何概型【名师点睛】解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若（、），则，几何概型的概率公式6. 若圆与圆外切，则（ ） 【答案】C【考点定位】圆与圆之间的外切关系与判断 【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解决问题的关键是根据条件得到圆的半径及圆心坐标，然后根据两圆满足的几何关系进行列式计算即可.7. 执行如图1所示的程序框图，如果

4、输入的，则输出的属于（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时,运行程序如下,当时,则,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数【名师点睛】识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景8. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【考点定位】三视图；内切圆；球；三棱柱【名师点睛】解

5、决有关三视图的题目，主要是根据三视图首先得到几何体的空间结构图形，然后运用有关立体几何的知识进行发现计算即可，问题在于如何正确的判定几何体的空间结构，主要是根据“长对正，高平齐，宽相等”进行判断.9. 若，则（ ）A.B.C. D.【答案】C【解析】设函数且,求函数求导可得,因为,所以符号不确定且,所以函数单调性不确定,函数在上单调递减,则,所以选项C是正确的,故选C.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数，利用函数的性质分析其单调性，对选项作出判断.10. 在平面直角坐标系中，为原点，,，动点满足,则的取

6、值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】D【考点定位】参数方程；圆；三角函数【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程，解决问题的关键是根据所给条件得到对应点C的轨迹，然后得到其参数方程，根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式，运用三角函数知识不难得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 复数（为虚数单位）的实部等于_.【答案】 【解析】由题可得,的实部为,故填.【考点定位】复数【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部

7、相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.12. 在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为_.【答案】【名师点睛】本题主要考查了只需的参数方程，解决问题的关键是根据直线的参数方程联立消去参数t即可，难度不大，属于基础题目，属于对基本运算能力的考查.13. 若变量满足约束条件，则的最大值为_.【答案】【解析】作出不等式组表示的区域如下,则根据线性规划的知识可得目标函数在点处取得最大值,故填.来源:学#科#网Z#X#X#K【考点定位】线性规划【名师点睛】有关线性规划的题目主要是根据所给不等式

8、组得到对应的可行域，然后根据目标函数满足的条件结合其对应的几何意义进行发现计算即可. 常见的目标函数有： (1)截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值 (2)距离型：形如. (3)斜率型：形如.注意：转化的等价性及几何意义14. 平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是_.【答案】【考点定位】抛物线；直线与抛物线之间的关系【名师点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及函数模型的应用，解决问题的关键是运用转化的数学思想将所给实际问题转化为抛物线与直线的交点问题，然后通

9、过对应的方程组无解求得k的范围.属于比较有创意的题目.15.若是偶函数，则_.【答案】【考点定位】奇偶性；对数运算【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性即对数的有关运算性质，解决问题的关键是根据偶函数定义得到关于a的方程，然后运用待定系数法得到对应a的方程，计算即可，体现可转化数学思想的运用，有一定的灵活性.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16.（本小题满分12分）已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析:(1)题目已知之间的关系,令,利用,即可求的的值,令,利用与前n项和之间的关

10、系即可得到,令检验首项即可得到的通项公式.(2)把(1)得到的通项公式代入可以得到是由等比数列,数列之和,才用分组求和法,首先利用等比数列前n项和公式求的等比数列的前n项和,再利用对数列进行分组即可求的数列的前n项和【考点定位】数列求和；递推数列【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求法-公式法及数列求和的方法-分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an

11、的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：来源:Z#xx#k.Com其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研

12、发成功的概率.【答案】(1) , ,甲组优于乙组 (2) 【考点定位】模拟方法估计概率；极差、方差与标准差【名师点睛】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力古典概型中基本事件的探求方法1枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的2树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同.18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，是的中点，面，垂足为.(1)证明：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】

13、(1)详见解析 (2) 试题解析:(1)如图,因为,所以,连接,由题可知是正三角形,又是的中点,所以,而,故平面.【考点定位】异面直线的夹角；二面角； 线面垂直【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在求异面直线所成角的方法主要有：平移法、补形法、公式法.19.（本小题满分1

14、3分）如图4，在平面四边形中，,(1)求的值；(2)求的长【答案】(1) (2)来源:Z*xx*k.Com【解析】试题分析:(1)在中已知两边与一角,利用余弦定理即可求出第三条边的长度,再利用余弦定理即可求出角的正弦值.(2)由(1)三角形的三条边,根据正余弦直角的关系可得角的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也可求的),角之和为,其中两个角的正余弦值已知,则可以利用余弦的和差角公式求的角的余弦值,长度已知,利用直角三角形中余弦的定义即可求的长.试题解析:如图设 【考点定位】正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之间的关系【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是

15、解决本题本题的关键，难度不大解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.20. （本小题满分13分）如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.【答案】(1) (2)不存在试题解析:的焦距为,由题可得,从而,因为点在双曲线上,所以,由椭圆的定义可得所以,

16、化简可得,因此,来源:学科网ZXXK于是,即,所以,综上不存在符合题目条件的直线.【考点定位】直线与圆锥曲线的综合【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题；解决直线与圆锥曲线问题的通法:(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程；(3)应用韦达定理及判别式；(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解；(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 或 21.（本小题满分13分）已知函数.（1） 求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有.【答案】(1) 单

17、调递减区间为,单调递增区间为.(2)详见解析来源:学。科。网Z。X。X。K故函数的单调递减区间为,单调递增区间为.【考点定位】利用导数研究函数的性质；放缩法；裂项求和 【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是求导要精确；利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)>0或f(x)<0.若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题求解利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式失误与防范1研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域2利用单调性求最值时不要忽视f(x)0的情况3“f(x0)0”是“函数f(x)在x0取到极值”的必要条件学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp