2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科【解析版】.doc

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1、第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1(2013辽宁，理1)复数的模为()A B C D2【答案】B【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化先求或利用进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.2(2013辽宁，理2)已知集合Ax|0log4x1，Bx|x2，则AB()A(0,1) B(0,2 C(1,2) D(1,2【答案】D【解析】0log4x1log41log4xlog441x4，即Ax|1x4，ABx|1x2故选D.【名师点睛】本题考查集合的基本运算及对数函数的性质，函数、不等式、集合

2、结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及基本运算方法的准确性.3(2013辽宁，理3)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A BC D【答案】A【解析】与同方向的单位向量为，故选A.【名师点睛】本题考查单位向量概念及平面向量的坐标运算,属于基础题，注意运算的准确性.4(2013辽宁，理4)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3

3、 Dp1，p4【答案】D【名师点睛】本题考查等差数列的概念及等差数列的单调性.要说明命题为真，应加以证明，而要说明命题为假，则可以通过举反例而达到解题目的.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及解题方法的灵活运用.5(2013辽宁，理5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A45 B50 C55 D60【答案】B【解析】由频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为(0.0050.01)×200.3，故该班的学生人数为50.故选B.【名师点睛】本

4、题考查频率分布直方图及频率组距等概念，解答本题的关键，是理解概念，细心计算.本题属于基础题，在考查概念的同时，考查考生识图用图的能力，是近几年高考常见题型.6(2013辽宁，理6)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos A，且ab，则B()A B C D【答案】A【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及已知三角函数值求角问题，在正确理解题意的情况下，准确变形是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.本题是一道基础题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同时考查考生的计算能力、思维的严密性及应

5、用数学知识解决问题的能力.7(2013辽宁，理7)使(nN)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】展开式中的第r1项为(3x)nr，若展开式中含常数项，则存在nN，rN，使0，故最小的n值为5，故选B.【名师点睛】本题考查二项式定理及其通项公式及推理判断能力，从近几年高考对二项式定理的考查看，基本是以通项公式为解题的突破口，本题对有理指数幂的运算要求较高，容易出现计算不准而使解答陷入误区.本题是一道基础题，重点考查二项式定理及其通项公式等基础知识，同时考查考生的计算能力及推理判断能力.8(2013辽宁，理8)执行如图所示的程序框图，若输入n10，则输出S(

6、)A B C D【答案】A【名师点睛】本题考查算法与程序框图及数列求和的“裂项相消法”，在理解条件分支结构及算法功能的基础上，关键是能想到化简和式，通过“裂项”准确地加以计算.本题属于基础题，由于给定数据较小，降低了题目的难度.9(2013辽宁，理9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3BCD【答案】C【解析】若B为直角，则，即a2a3(a3b)0，又a0，故；若A为直角，则，即b(a3b)0，得ba3；若O为直角，则不可能故ba30或ba30，故选C.【名师点睛】本题考查平面向量的应用、平面向量的数量积及平面向量的坐标运算.由于没有明确三角

7、形的哪个角是直角，故须利用分类讨论思想加以探究.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查平面向量的应用、平面向量的数量积及平面向量的坐标运算等基础知识，同时考查考生的计算能力、分类讨论思想及应用数学知识解决问题的能力.10(2013辽宁，理10)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A B C D【答案】C【名师点睛】本题考查直三棱柱、球的结构特征以及组合体几何量之间的关系，解答本题的关键，是通过添加辅助线，得到球的内接长方体，利用长方体与其外接球的关系，计算得到球的半径.本题属于能力题，在考查直三棱柱、球的结构特征以及

8、组合体几何量之间关系的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力.11(2013辽宁，理11)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16 B16Ca22a16 Da22a16【答案】B【解析】f(x)g(x)2x24ax2a282x(a2)x(a2)，可求得H1(x)的最小值Af(a2)4a4，H2(x)的最大值Bg(a2)4a12，AB16.故选B.【名师点睛】

9、本题考查分段函数的概念及二次函数的性质，解答本题的关键，是正确理解新定义函数的意义，准确地写出分段函数，并利用二次函数的性质，确定函数的最值.解答本题的难点在于比较f(x)、 g(x)的大小.本题属于新定义问题，也是一道能力题，在考查函数基础知识的同时，考查了考生的学习能力、运算能力及分类讨论思想.12(2013辽宁，理12)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值【答案】D【解析】令F(x)x2f(x)，则F(x)x2f(x)2xf(x)，F(2)4·f(2).由

10、x2f(x)2xf(x)，得x2f(x)2xf(x)，f(x).令(x)ex2F(x)，则(x)ex2F(x).(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)的最小值为(2)e22F(2)0.(x)0.又x0，f(x)0.f(x)在(0，)单调递增f(x)既无极大值也无极小值故选D.【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，解答本题的关键，是通过构造函数F(x)x2f(x)，根据F(x)x2f(x)2xf(x)，得到f(x)，进一步通过假设(x)ex2F(x)，研究其单调性、最值，得出关于f(x)的结论.本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值等基本

11、方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力及转化与化归思想.第卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13(2013辽宁，理13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_【答案】1616【名师点睛】本题考查三视图及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解三视图的画法规则，明确所得几何体的特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查三视图及几何体的几何特征的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是一道较为常规的题型.14(2013辽宁，理14)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_

12、.【答案】63【解析】因为x25x40的两根为1和4，又数列an是递增数列，所以a11，a34，所以q2.所以S663.【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的求和公式等，解答本题的关键，是利用一元二次方程根与系数的关系及递增数列，确定得到a1，a3，确定得到公比，进一步求得S6.本题是一道基础题.在考查等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.15(2013辽宁，理15)已知椭圆C：(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e

13、_.【答案】【名师点睛】本题考查椭圆的定义、椭圆的几何性质及余弦定理.确定椭圆或双曲线的离心率，关键是从已知出发，结合定义确定得到的关系，本题中由椭圆的对称性转化应用椭圆的定义，往往易被忽视.本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查椭圆的定义、椭圆的几何性质及余弦定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.16(2013辽宁，理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_【答案】10【解析】设5个班级的人数分别为x1，x2，x

14、3，x4，x5，则，4，即5个整数平方和为20，由于样本数据互不相同，所以最大的数比7大不能超过3，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4.【名师点睛】本题考查平均数、方差等概念，解答本题的关键，是理解概念，掌握公式，通过分析方差的结构特点，确定样本数据的最值.本题属于能力题，在考查统计的基本概念的同时，考查考生的计算及逻辑思维能力.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17(2013辽宁，理17)(本小题满分12分)设向量a(，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)a·b，

15、求f(x)的最大值【答案】(1) ；(2) (2)f(x)a·b·cos xsin2x，当时，取最大值1.所以f(x)的最大值为.【名师点睛】本题考查平面向量的模、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，以及和差倍半的三角函数、三角函数的性质.解答本题的关键，是理解概念，掌握公式，熟练地进行数学式子变形.本题的易错点是忽视角的范围的讨论而出现错误.本题属于能力题，中等难度，在考查平面向量、三角函数等基础知识的同时，考查考生的计算及逻辑思维能力.18(2013辽宁，理18)(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PB

16、C；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值【答案】(1)详见解析；(2) (2)解法一：过C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系因为AB2，AC1，所以BC.因为PA1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)设平面BCP的法向量为n1(x，y，z)，则所以不妨令y1，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)设平面ABP的法向量为n2(x，y，z)，则所以不妨令x1，则n2(1，0)，于是cosn1，n2.所以由题意可知二面角CPBA的余弦值

17、为.在RtABC中，由AB2，AC1，得BC，CM，BM，在RtPAB中，由AB2，PA1，得PB.因为RtBNMRtBAP，所以，故MN.又在RtCNM中，CN，故cosCNM.所以二面角CPBA的余弦值为.【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系及空间的角，从第一小题的证明看，起点低，背景为学生熟悉.证明过程中，关键是注意利用圆的性质发现垂直关系，进一步得到线面关系、面面关系.第二小题，则可以利用空间向量方法、几何法分别加以处理，体现解题的灵活性.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查空间垂直关系、空间的角等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能

18、力、空间想象能力、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.19(2013辽宁，理19)(本小题满分12分)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望【答案】(1) ；(2) X的分布列为：X0123P所以E(X)2. (2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的分布列为：X0123P所以E(X)0&#

19、215;1×2×3×2.【名师点睛】本题考查对立事件的概率及随机事件的分布列与数学期望，在正确理解题意的情况下，能准确确定基本事件的概率是关键.本题是一道应用题，也是一道能力题，属于中等题，较全面地考查了概率的基础知识，同时考查考生的计算能力及应用数学知识，解决实际问题的能力.20(2013辽宁，理20)(本小题满分12分)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方

20、程(A，B重合于O时，中点为O)【答案】(1) p2；(2) (2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，.切线MA，MB的方程为，.由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为，.因为点M(x0，y0)在C2上，即4y0，所以.由得，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足.因此AB中点N的轨迹方程为.【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、中点坐标公式、轨迹方程的求法、导数的几何意义等，本题的（I），利用导数的几何意义，确定切线斜率，建立关于的方程；（II）通过假设相关点的坐标，利用函数方程思想及点的坐标关系，

21、通过“消元”得到轨迹方程，对考生复杂式子的变形能力及逻辑思维能力要求较高.本题易错点是忽视对x1x2的讨论，导致解的不完美.本题是一道能力题，属于难题.在考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、中点坐标公式、轨迹方程的求法、导数的几何意义等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.本题梯度设计较好，有较强的区分度，有利于优生的选拔.21(2013辽宁，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcos x当x0,1时，(1)求证：1xf(x)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)详见解析；(2) (，3要

22、证x0,1时，(1x)e2x，只需证明exx1.记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0,1)时，K(x)0，因此K(x)在0,1上是增函数，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,1综上，1xf(x)，x0,1f(x)g(x)，记I(x)，则I(x)，当x(0,1)时，I(x)0，故I(x)在0,1上是减函数，于是I(x)在0,1上的值域为a12cos 1，a3因为当a3时，a30，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)0，此时f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3解法二：先证当x0,1时，1x2cos x1x2.记F(x)cos x

23、1x2，则F(x)sin xx.记G(x)sin xx，则G(x)cos x1，当x(0,1)时，G(x)0，于是G(x)在0,1上是增函数，因此当x(0,1)时，G(x)G(0)0，从而F(x)在0,1上是增函数因此F(x)F(0)0，所以当x0,1时，1x2cos x.同理可证，当x0,1时，cos x1x2.综上，当x0,1时，1x2cos x1x2.因为当x0,1时，f(x)g(x)(1x)e2x(a3)x.所以当a3时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明当a3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为f(x)g(x)(1x)e2x，所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值

24、)满足f(x0)g(x0)即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的性质、不等式的证明、不等式恒成立问题的解法等，解答本题的主要困难是在进行不等式的转化后，构造函数，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值等.本题是一道能力题，属于难题.在考查应用导数研究函数的性质、不等式的证明、不等式恒成立问题等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想及分类讨论思想.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把

25、所选题目对应题号下方的方框涂黑。22(2013辽宁，理22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD·BC.【答案】详见解析 (2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AF·BF，所以EF2AD·BC.【名师点睛】本题考查圆的几何性质、三角形全等等相关知识，作为选学（考）内容，对

26、考生的要求并不高，主要是考查相关基础知识、基本方法的掌握情况及逻辑推理能力.本题是一道能力题，属于中档题.23(2013辽宁，理23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值【答案】(1) ，；(2) a1，b2【解析】(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系

27、下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得.所以解得a1，b2.【名师点睛】本题考查坐标系与参数方程、直线与圆的位置关系等，解答本题的关键是能熟练掌握坐标互化公式，将极坐标方程、参数方程化为普通方程，实现化生为熟.本题是一道能力题，属于中档题.在考查坐标系与参数方程等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.24(2013辽宁，理24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值【答案】(1) x|x1或x5；(2)3 (2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则由|h(x)|2，解得.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.【名师点睛】本题考查不等式选讲、含绝对值不等式的解法等，解答本题的关键是能利用分类讨论思想，去掉绝对值，转化成为常见不等式求解.本题是一道能力题，属于中档题.在考查不等式选讲基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp