2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科【解析版】.doc

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1、第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则集合（ ）A B C D【答案】D考点：集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的基本运算，将不等式、集合结合在一起综合考查考生的基本数学素养，是高考命题“小题综合化”的原则的具体体现.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及基本运算方法的准确性.2.设复数z满足，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为，故选A.考点： 复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.

2、3.已知，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：所以，故选C.考点：1.指数对数化简；2.不等式大小比较. 【名师点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，比较函数值大小问题，往往结合函数的单调性，通过引入“-1，0，1”等作为“媒介”.本题属于基础题，注意牢记常见初等函数的性质并灵活运用.4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若则 B若，则C若，则 D若，则【答案】B考点：1.命题的真假；2.线面之间的位置关系. 【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系及垂直关系.解题分关键是熟记相关性质定理、判定定理等，首先利用举反例排除错

3、误选项，是解答此类问题的常用方法.本题属于基础题，覆盖面较广，难度不大.5.设是非零向量，已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.考点：命题的真假.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.6.把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120

4、 C72 D24【答案】C考点：排列组合. 【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的考查看，基本是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编号，分析任何两人都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易于理解.本题是一道基础题，考查排列组合基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体的直观图是棱长为2的正方体，分别在两个对角截去了底面半径为1，高为2的圆柱的四分之一，故该几何体的体积为：.考点：1.三视

5、图；2.柱体的体积公式. 【名师点睛】本题考查三视图及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解三视图的画法规则，明确所得几何体的特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查三视图及几何体的几何特征的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是一道较为常规的题型.8.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用是递减数列，确定得到，得到结论.本题是

6、一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.9.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间上单调递减 B在区间上单调递增C在区间上单调递减 D在区间上单调递增【答案】B【解析】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，令，即的增区间为，令k=0，则可知B正确.考点：函数的性质.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换、三角函数图象和性质、复合函数的单调性.其易错点是平移方向与“+、-”混淆.本题是一道基础题，重点考查三角函数图象的变换、三角函数图象和性质等基础知识，同时考查考生的计算能力. 本题是教科书及教辅材料常见题型，能使

7、考生心理更稳定，利于正常发挥.10.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）A B C D【答案】D考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式. 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系及斜率公式.涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往是通过联立直线方程、圆锥曲线方程得到方程组，研究根的判别式、根与系数的关系等，建立新的方程或方程组，寻求解题途径.本题是一道能力题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.11.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围

8、是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当时，原式等价于恒成立；当时，原式等价于恒成立；令，令，即，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选C.考点：不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运

9、算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.12.已知定义在上的函数满足：；对所有，且，有.若对所有，则k的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：不妨令，则法一：，即得， 另一方面，当时，符合题意，当时，故法二：当时， ，当时，故考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式. 【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.第卷（共

10、90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入，则输出 .【答案】考点：程序框图. 【名师点睛】本题考查算法与程序框图及绝对值的概念，在理解条件分支结构及算法功能的基础上，逐次运算，是解答此类问题的常见解法.本题属于基础题，由于给定数据较小，运算次数少，降低了题目的难度.14.正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .【答案】【解析】试题分析：有几何概型可知若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率.考点：1.几何概型 ；2.定积分.【名师点睛】本题考查几何

11、概型、定积分的应用，解答此类题的关键是理解题意，准确确定几何空间的度量，应用公式计算.本题是一道小综合题，属于基础题，较全面地考查了几何概型、定积分等基础知识，同时考查考生的计算能力及应用数学知识，解决实际问题的能力.15.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .【答案】12【解析】试题分析：设M,N的中点坐标为P，,则；由于，化简可得，根据椭圆的定义=6，所以12.考点：1.椭圆的定义；2.两点距离公式. 【名师点睛】本题考查椭圆的定义、椭圆的几何性质、中点坐标公式及两点间距离公式等.本题中通过化简的坐标表达式，由椭圆的的定义得出

12、结论.本题属于能力题，在重点考查椭圆的定义、椭圆的几何性质等基础知识的同时，考查考生的计算能力、分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想.16.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .【答案】取最大值时，或，当时，当时，综上可知当时，法二：柯西不等式：由可得：，当且仅当时取等号，即时，取等号，这时或当时，当时，综上可知当时，考点：柯西不等式. 【名师点睛】本题考查柯西不等式、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成可用不等式的有关结论解答的情形.本题属于能力题，是一道难题.在考查柯西不等式、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同

13、时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、转化与化归思想.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）.试题解析：（）由得，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c, a=3，c=2.（）在中，由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.于是=.考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、两角和差的三角函数、三角函数同角

14、关系、正弦定理及余弦定理的应用.解三角形问题，主要是注意边角转化，应用函数方程思想，构建边或角的方程（组）；涉及角的问题，要注意角的范围对三角函数值的影响，这是易错点.本题属于能力题，中等难度，在考查平面向量的数量积、两角和差的三角函数、三角函数同角关系、正弦定理及余弦定理的应用等基础知识的同时，考查考生的计算及逻辑思维能力.18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2

15、）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.【答案】（）0.108；（）详见解析.【解析】试题分析：（）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出，利用事件的独立性即可求出；()由题意可知XB(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.（）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为,分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6),所以期望为E(X)=3

16、5;0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.【名师点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、数学期望、方差等，在正确理解题意的情况下，能准确确定基本事件的概率是关键.本题是一道应用题，也是一道能力题，属于中等题，较全面地考查了概率统计等基础知识，同时考查考生的计算能力及应用数学知识，解决实际问题的能力.19. （本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（）详见解析；() .易得,所以，因此,从而得；() （方法一）在图1中，过O

17、作OGBF，垂足为G，连EG，由平面ABC平面BDC，从而EO平面BDC，从而EO面BDC，又OGBF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此EGO为二面角E-BF-C的平面角；在EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由BGOBFC知，,因此tanEGO=,从而sinEGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由 得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sinEGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.试题解析：（）证明：（方法一）过E作EOBC，垂足为O，连OF，由AB

18、CDBC可证出EOCFOC，所以EOC=FOC=，即FOBC，又EOBC，因此BC面EFO，又EF面EFO，所以EFBC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.（）（方法一）在图1中，过O作OGBF，垂足为G，连EG，由平面ABC平面BDC，从而EO平面BDC，从而EO面BDC，又OGBF，由三垂线定理知EG垂直BF.因此EGO为二面角E-BF-C的平面角；在E

19、OC中，EO=EC=BC·cos30°=，由BGOBFC知，,因此tanEGO=,从而sinEGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由 得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sinEGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.考点：1.线面垂直的判定；2.二面角.【名师点睛】本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系及空间的角.对于本题，均可以利用空间向量方法、几何法分别加以处理，体现解题的灵活性.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查空间垂直关系、空间的角等

20、基础知识，同时考查考生的计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.20. （本小题满分12分）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.【答案】（）；() ，或.因此点P得坐标为 ，由题意知解得，即可求出的方程；() 由（）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由 得，因由题意知，所以 ，将韦达定理得到的

21、结果代入式整理得，解得或，即可求出直线l的方程.（）由（）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由 得，又是方程的根，因此 ，由得因由题意知，所以 ，将，代入式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查了椭圆、双曲线的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等，对于确定圆锥曲线的标准方程问题，往往是应用已知条件，建立的方程（组）；对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往联立直线方程、圆锥曲线方程构成的方程组，讨论判别式、应用一元二次方程根与系数的关系。寻求解题途径.本

22、题是一道能力题，属于难题.在考查椭圆、双曲线的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.本题综合性较强，有较强的区分度，有利于优生的选拔.21. （本小题满分12分）已知函数，.证明：（）存在唯一，使；()存在唯一，使，且对（1）中的.【答案】（）详见解析；() 详见解析.（）考虑函数，令，则时，记，则 ，有（）得，当时，当时，.在上是增函数，又，从而当时，所以在上无零点.在上是减函数，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因为当时，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.因，所以，即命题得证.试题解析：（）当时，函数在

23、上为减函数，又，所以存在唯一，使.在上是增函数，又，从而当时，所以在上无零点.在上是减函数，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因为当时，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.因，所以考点：1.零点唯一性的判断；2.函数的单调性的应用.【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的性质、零点唯一性的判断、不等式的证明等.解答本题的主要困难是构造函数，并进一步应用导数研究函数的单调性等.本题是一道能力题，属于难题.在考查应用导数研究函数的性质、零点唯一性的判断、不等式的证明等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想想.请

24、考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（）求证：AB为圆的直径；（）若AC=BD，求证：AB=ED.【答案】（）详见解析；() 详见解析.试题解析：（）因为PD=PG,所以PDG=PGD.由于PD为切线，故PDA=DBA,又由于PGD=EGA,故DBA=EGA,所以DBA+BAD=EGA+BAD,从而BDA=PFA.由于AF垂直EP，所

25、以PFA=90°，于是BDA=90°，故AB是直径.()连接BC，DC.由于AB是直径，故BDA=ACB=90°，在RtBDA与RtACB中，AB=BA,AC=BD，从而RtBDARtACB，于是RtBDA与DAB=CBA.又因为DCB=DAB,所以DCB=CBA，故DCAB.由于ED是直径，由（）得ED=AB.考点：1. 圆周角定理；2.与圆有关的比例线段【名师点睛】本题考查圆周角定理、与圆有关的比例线段等相关知识，作为选学（考）内容，对考生的要求并不高，主要是考查相关基础知识、基本方法的掌握情况及逻辑推理能力.本题是一道能力题，属于中档题.23. （本小题满分

26、10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（）写出C的参数方程；()设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（） （t为参数）；() .试题解析：（）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得 由 得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为  （t为参数）.()由解得：，或.不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化极坐标方程，并整理得，即.考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化【名师点睛

27、】本题考查参数方程化成普通方程、点的极坐标和直角坐标的互化、直线与椭圆的位置关系等，解答本题的关键是能熟练掌握坐标互化公式，将极坐标方程、参数方程化为普通方程，实现化生为熟.本题是一道能力题，属于中档题.在考查坐标系与参数方程等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，记的解集为M，的解集为N.（）求M；()当时，证明：.【答案】（）；()详见解析.试题解析：（） 当时，由得，故；当时，由得，故；所以的解集为.()由得解得，因此，故.当时，于是.考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算【名师点睛】本题考查不等式选讲、含绝对值不等式的解法、不等式的证明等，解答本题的关键是能利用分类讨论思想，去掉绝对值，转化成为常见不等式求解.本题（II）转化成二次函数的图象和性质问题求解，实现了化生为熟的解题策略.本题是一道能力题，属于中档题.在考查不等式选讲基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp