2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科【解析版】.doc

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1、绝密启封并使用完毕前 试题类型：A注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至3页，第卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第I卷注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合( )（A） （B） （C） （D） 【答案】

2、A【考点定位】集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算,是基础题.（2）设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C 【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力.本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域，与平时教学中的练习题有出入，是易错问题.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )

3、来源:Z§xx§k.Com（A） （B）6 （C）14 （D）18【答案】B【解析】模拟法：输入； 不成立； 不成立 成立 输出,故选B.【考点定位】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.【名师点睛】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程，首先是理解直到型循环结构的程序框图表示的算法功能，再用模拟的方法进行计算，是基础题.（4）设 ，则“ ”是“ ”的( )（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件来源:Zxxk.Com（D）既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件.【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问

4、题，将含绝对值不等式与一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题（5）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 分别经过点 .若 ，则线段 的长为( )（A） （B）3 （C） （D） 【答案】A【考点定位】相交弦定理.【名师点睛】本题主要考查相交弦定理、数形结合思想、数学计算能力.应用相交弦定理及，得到相应线段的关系：，再利用线段三等分析点的性质，结合图形，进行适当的转化，进行运算，体现数学基本思想：数形结合.是基础题.来源:Z,xx,k.Com（6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，

5、则双曲线的方程为( )（A） （B）（C）（D）【答案】D【解析】双曲线 的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为，故选D.【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.（7）已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )（A） （B） （C） （D） 【答案】C【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数

6、式的运算.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出的值，计算出相应的的值比较大小即可，是中档题. 其中计算的值时易错.（8）已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A） （B） （C）（D）【答案】D【解析】由得，所以，即来源:学科网,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想

7、等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.第II卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 .【答案】【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 . 【答案】【考点定位】三视图与旋转体体积公式.【名师点睛】主要考查三视图与旋转体体积公式及

8、空间想象能力、运算能力.识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对旋转体体积公式的掌握与应用、计算能力.（11）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积.【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.（12）在 的展开式中，的系数为 .【答案】【考

9、点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.（13）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .【答案】【解析】因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角的正弦值，再由三角形面积公式求出，解方程组求出的值，用余弦定理可求边有值.体现了综合运用三

10、角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.（14）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .【答案】【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)

11、求在区间上的最大值和最小值.【答案】(I); (II) ,.【考点定位】三角恒等变形、三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.16.（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且

12、这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(I) ; (II) 随机变量的分布列为【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.【名师点睛】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研究价值，也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,且点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若

13、直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析； (II) ； (III) .【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.【名师点睛】本题主要考查直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.将立体几何向量化，体现向量工具的应用，即把几何的证明与计算问题转化为纯代数的计算问题，是向量的最大优势，把空间一些难以想象的问题转化成计算问题，有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题.18.（本小题满分13分）已知数列满足，且成等差数列.(I)求的值和的通项公式；来源:学科网(II)设，求数列的前项和.【答案】(

14、I) ; (II) .【解析】(I) 由已知，有，即，所以，又因为，故，由，得，当时，当时，所以的通项公式为 (II) 由(I)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得 所以数列的前项和为.【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和.是中档题.19.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；(II

15、I)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) ； (II) ；(III) .【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系.由勾股定理求圆的弦长，体现数学数形结合的重要数学思想；用数字来刻画几何图形的特征，是解析几何的精髓，联立方程组，求出椭圆中参数的关系，进一步得到椭圆方程；构造函数求斜率取值范围，体现函数在解决实际问题中的重要作用，是拨高题.20.（本小题满分14分）已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交

16、点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证： 【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析. 【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp