第一章 矢量的通量与散度2.ppt

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1、第一章第一章 矢量的通量与矢量的通量与散度散度2第一章第一章 矢量分析矢量分析所谓矢矢量量线线即在曲线上每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），如静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线.P为矢量线上任一点，其矢径为r，则根据矢矢量量线线的定义，有其中矢径r的表达式为 矢量线图矢量线图 第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量线的特点 矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向第一章第一章 矢量分析矢量分析1.4 1.4 矢量的通量和散度矢量的通量和散度1.4.21.4.2矢量场

2、的通量矢量场的通量在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n（外法向矢量，如图所示），则面元矢量表示为：dS=n dS 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。第一章第一章 矢量分析矢量分析由于所取的面元dS很小，因此可认为在面元上各点矢量场A的值相同，A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通通量量记作因此矢量场A A穿过整个曲面S的通量通量为若若S S 为闭合曲面为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。第一章第一章 矢量分析矢量分析1.4.3.1.4.3.矢

3、量场的散度矢量场的散度(1)(1)散度的定义散度的定义设有矢量场A A，在其中任一点P处作一个包含P点在内的闭合曲面S，设S所限定的体积为V，当体积V以任意方式缩向P点时，取下列极限:如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处的散度，记作 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性 矢量场的散度是一个矢量场的散度是一个标量标量 矢量场的散度是空间坐标的矢量场的散度是空间坐标的函数函数 矢量场的散度值表征空间中矢量场的散度值表征空间中通量源的密度通量源的密度 若若 ，则该矢量场，则该矢量场称为称为有源场有源场，为源密度

4、为源密度 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无源场无源场 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，(正源正源)负源负源)(无源无源）从点从点P P 单位体积单位体积内散发的内散发的通量通量第一章第一章 矢量分析矢量分析散度的表达式为散度的表达式为(直角坐标系直角坐标系)圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系第一章第一章 矢量分析矢量分析重要的定理为散度定理散度定理又称又称高斯定理高斯定理该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 的散度在体积的散度在体积V V内的积分内的积分等于矢量场在限定该体积的边界面等于矢量场在限定该体积的边界面S S上的积分（通上的积分（通量）。量）。散度定理的证明散度定理的证明从散度定义有：从散度定义有：则在一定体积则在一定体积V V内的总的通量为：内的总的通量为：得证！得证！例如：已知R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z),R=|R|求矢量在处的散度