2018高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（五十） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 Word版含答案.doc

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1、课时达标检测课时达标检测( (五十五十) ) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 一、全员必做题一、全员必做题 1 1已知椭圆已知椭圆E E：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)的一个焦点为的一个焦点为F F2 2(1,0)(1,0)，且该椭圆过定点，且该椭圆过定点M M 1 1，2 22 2. . (1)(1)求椭圆求椭圆E E的标准方程；的标准方程； (2)(2)设点设点Q Q(2,0)(2,0)，过点，过点F F2 2作直线作直线l l与椭圆与椭圆E E交于交于A A，B B两点，且两点，且2F A2F B，以以QA

2、QA，QBQB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形QACBQACB，求对角线，求对角线QCQC长度的最小值长度的最小值 解：解：(1)(1)由题易知由题易知c c1 1，1 1a a2 21 12 2b b2 21 1，又，又a a2 2b b2 2c c2 2，解得，解得b b2 21 1，a a2 22 2，故椭圆，故椭圆E E的标的标准方程为准方程为x x2 22 2y y2 21.1. (2)(2)设直线设直线l l：x xkyky1 1，由，由 x xkyky1 1，x x2 22 2y y2 21 1 得得( (k k2 22)2)y y2 22 2kyky1 10 0， 4 4k

3、 k2 24(4(k k2 22)2)8(8(k k2 21)0.1)0. 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，则可得，则可得y y1 1y y2 22 2k kk k2 22 2，y y1 1y y2 21 1k k2 22 2. . QCQAQB( (x x1 1x x2 24 4，y y1 1y y2 2) ) k k2 2k k2 22 2，2 2k kk k2 22 2， | |QC| |2 2| |QAQB| |2 216162828k k2 22 28 8k k2 22 2，由此可知，由此可知，| |QC| |2 2的大

4、小与的大小与k k2 2的取值有关的取值有关 由由2F A2F B可得可得y y1 1yy2 2，y y1 1y y2 2，1 1y y2 2y y1 1( (y y1 1y y2 20)0) 从而从而1 1y y1 1y y2 2y y2 2y y1 1y y1 1y y2 22 22 2y y1 1y y2 2y y1 1y y2 26 6k k2 24 4k k2 22 2， 由由得得 1 1 5 52 2，2 2 ，从而，从而5 52 26 6k k2 24 4k k2 22 22 2，解得，解得 00k k2 22 27 7. . 令令t t1 1k k2 22 2，则，则t t 7

5、 71616，1 12 2，| |QC| |2 28 8t t2 22828t t16168 8 t t7 74 42 217172 2， 当当t t1 12 2时，时，| |QCQC| |minmin2.2. 2.2.已知点已知点F F为抛物线为抛物线E E：y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点，点的焦点，点A A(2(2，m m) )在抛物在抛物线线E E上，且上，且| |AFAF| |3.3. (1)(1)求抛物线求抛物线E E的方程；的方程； (2)(2)已知点已知点G G( (1,0)1,0)，延长，延长AFAF交抛物线交抛物线E E于点于点B B，证明：以点，证明：

6、以点F F为圆心且与直线为圆心且与直线GAGA相相切的圆，必与直线切的圆，必与直线GBGB相切相切 解：解：(1)(1)由抛物线的定义得由抛物线的定义得| |AFAF| |2 2p p2 2. . 因为因为| |AFAF| |3 3，即，即 2 2p p2 23 3，解得，解得p p2 2， 所以抛物线所以抛物线E E的方程为的方程为y y2 24 4x x. . (2)(2)证明：设以点证明：设以点F F为圆心且与直线为圆心且与直线GAGA相切的圆的半径为相切的圆的半径为r r. . 因为点因为点A A(2(2，m m) )在抛物线在抛物线E E：y y2 24 4x x上，上， 所以所以m

7、 m22 2 2. . 由抛物线的对称性，不妨设由抛物线的对称性，不妨设A A( (2,22,2 2 2) ) 由由A A(2,2(2,2 2 2) )，F F(1,0)(1,0)可得直线可得直线AFAF的方程为的方程为 y y2 2 2 2( (x x1)1) 由由 y y2 2 2 2x x，y y2 24 4x x， 得得 2 2x x2 25 5x x2 20 0， 解得解得x x2 2 或或x x1 12 2，从而，从而B B 1 12 2， 2 2 . . 又又G G( (1,0)1,0)， 故直线故直线GAGA的方程为的方程为 2 2 2 2x x3 3y y2 2 2 20 0

8、， 从而从而r r|2|2 2 22 2 2 2| |8 89 94 4 2 2 1717 . . 又直线又直线GBGB的方程为的方程为 2 2 2 2x x3 3y y2 2 2 20 0， 所以点所以点F F到直线到直线GBGB的距离的距离 d d|2|2 2 22 2 2 2| |8 89 94 4 2 21717r r. . 这表明以点这表明以点F F为圆心且与直线为圆心且与直线GAGA相切的圆必与直线相切的圆必与直线GBGB相切相切 3 3(2017(2017合肥模拟合肥模拟) )已知中心在原点，焦点在已知中心在原点，焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆C C，其上一点，其上一点P P到

9、两个焦到两个焦点点F F1 1，F F2 2的距离之和为的距离之和为 4 4，离心率为，离心率为3 32 2. . (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2)(2)若直线若直线y ykxkx1 1 与曲线与曲线C C交于交于A A，B B两点，求两点，求OABOAB面积的取值范围面积的取值范围 解：解：(1)(1)设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为y y2 2a a2 2x x2 2b b2 21(1(a a b b0)0)， 由条件知，由条件知， 2 2a a4 4，e ec ca a3 32 2，a a2 2b b2 2c c2 2，解得解得a a2 2，c c 3 3，b

10、b1 1， 故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为y y2 24 4x x2 21.1. (2)(2)设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 由由 x x2 2y y2 24 41 1，y ykxkx1 1得得( (k k2 24)4)x x2 22 2kxkx3 30 0， 故故x x1 1x x2 22 2k kk k2 24 4，x x1 1x x2 23 3k k2 24 4， 设设OABOAB的面积为的面积为S S， 由由x x1 1x x2 23 3k k2 24 4000， y yt t1 1t t在在t t33，)上单调递增

11、，上单调递增，t t1 1t t10103 3， 001 1t t1 1t t2 23 31616，00 b b0)0)的右焦点的右焦点F F(1,0)(1,0)作直作直线线l l与椭圆与椭圆C C交于不同的两点交于不同的两点A A，B B，设，设| |FAFA| | |FBFB| |，T T(2,0)(2,0) (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2)(2)若若 1122，求，求ABTABT中中ABAB边上中线长的取值范围边上中线长的取值范围 解：解：(1)(1)e e2 22 2 ，c c1 1，a a 2 2，b b1 1， 即椭圆即椭圆C C的方程为：的方程为：x x2

12、22 2y y2 21.1. (2)(2)当直线的斜率为当直线的斜率为 0 0 时，显然不成立时，显然不成立 设直线设直线l l：x xmymy1 1，A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 联立联立 x x2 22 2y y2 22 20 0，x xmymy1 1得得( (m m2 22)2)y y2 22 2mymy1 10 0， 则则y y1 1y y2 22 2m mm m2 22 2，y y1 1y y2 21 1m m2 22 2， 由由| |FAFA| | |FBFB| |，得，得y y1 1yy2 2， 1 1y y1 1y

13、 y2 2y y2 2y y1 1， 1 12 2y y1 1y y2 22 2y y1 1y y2 24 4m m2 2m m2 22 2，m m2 22 27 7， 又又ABAB边上的中线长为边上的中线长为1 12 2 | |TATB | | 1 12 2x x1 1x x2 22 2y y1 1y y2 22 2 4 4m m4 49 9m m2 24 4m m2 22 2 2 2m m2 22 27 7m m2 22 24 4 1 1，1313 2 21616. . 2 2如图所示，已知直线如图所示，已知直线l l过点过点M M(4,0)(4,0)且与抛物线且与抛物线y y2 22 2

14、pxpx( (p p0)0)交于交于A A，B B两点，以弦两点，以弦ABAB为直径的圆恒过坐标原点为直径的圆恒过坐标原点O O. . (1)(1)求抛物线的标准方程；求抛物线的标准方程； (2)(2)设设Q Q是直线是直线x x4 4 上任意一点，求证：直线上任意一点，求证：直线QAQA，QMQM，QBQB的斜率依次成等差数列的斜率依次成等差数列 解：解：(1)(1)设直线设直线l l的方程为的方程为x xkyky4 4， 代入代入y y2 22 2pxpx得得y y2 22 2kpykpy8 8p p0.0. 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y

15、y2 2) )，则有，则有y y1 1y y2 22 2kpkp，y y1 1y y2 28 8p p， 而而ABAB为直径，为直径，O O为圆上一点，所以为圆上一点，所以OAOB0 0， 故故 0 0 x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2( (kyky1 14)(4)(kyky2 24)4)8 8p pk k2 2y y1 1y y2 24 4k k( (y y1 1y y2 2) )16168 8p p， 即即 0 08 8k k2 2p p8 8k k2 2p p16168 8p p，得，得p p2 2， 所以抛物线方程为所以抛物线方程为y y2 24 4x x. . (2)

16、(2)设设Q Q( (4 4，t t) )由由(1)(1)知知y y1 1y y2 24 4k k，y y1 1y y2 21616， 所以所以y y2 21 1y y2 22 2( (y y1 1y y2 2) )2 22 2y y1 1y y2 21616k k2 232.32. 因为因为k kQAQAy y1 1t tx x1 14 4y y1 1t ty y2 21 14 44 4y y1 1t ty y2 21 11616，k kQBQBy y2 2t tx x2 24 4y y2 2t ty y2 22 24 44 4y y2 2t ty y2 22 21616，k kQMQMt

17、t8 8， 所以所以k kQAQAk kQBQBy y1 1t ty y2 21 11616y y2 2t ty y2 22 21616 44y y1 1t ty y2 22 2y y2 2t ty y2 21 1y y2 21 1y y2 22 2 44y y1 1y y2 22 21616y y1 1tyty2 22 21616t ty y2 2y y2 21 11616y y2 2tyty2 21 11616t ty y2 21 1y y2 22 2y y2 21 1y y2 22 216161616 t ty y2 21 1y y2 22 23232t t816816y y2 21 1

18、y y2 22 2t tk k2 23232t t816816k k2 2 t t4 42 2k kQMQM. . 所以直线所以直线QAQA，QMQM，QBQB的斜率依次成等差数列的斜率依次成等差数列 三、冲刺满分题三、冲刺满分题 1.1.已知椭圆已知椭圆C C：x x2 24 4y y2 2b b2 21(01(0b b2)1)1)， 则则d d| |MNMN| |4 4t t2 29 9t t9 94 4t t2 29 94 4t t2 29 94 4t t1 19 94 4 1 1t t1 12 22 22525161625251616( (当且仅当当且仅当t t2 2 时取等号时取等号

19、) )， 所以所以d d| |MNMN| |的最大值为的最大值为25251616. . 2 2(2017(2017沈阳质量监测沈阳质量监测) )已知椭圆已知椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1，F F2 2，且，且| |F F1 1F F2 2| |6 6，直线，直线y ykxkx与椭圆交于与椭圆交于A A，B B两点两点 (1)(1)若若AFAF1 1F F2 2的周长为的周长为 1616，求椭圆的标准方程；，求椭圆的标准方程； (2)(2)若若k k2 24 4，且，且A A，B B，F F1 1，

20、F F2 2四点共圆，求椭圆离心率四点共圆，求椭圆离心率e e的值；的值； (3)(3)在在(2)(2)的条件下，设的条件下，设P P( (x x0 0，y y0 0) )为椭圆上一点，且直线为椭圆上一点，且直线PAPA的斜率的斜率k k1 1( (2 2，1)1)，试，试求直线求直线PBPB的斜率的斜率k k2 2的取值范围的取值范围 解：解：(1)(1)由题意得由题意得c c3 3，根据，根据 2 2a a2 2c c1616，得，得a a5.5. 结合结合a a2 2b b2 2c c2 2，解得，解得a a2 22525，b b2 216.16. 所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为x x

21、2 22525y y2 216161.1. (2)(2)法一：由法一：由 x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1，y y2 24 4x x，得得 b b2 21 18 8a a2 2x x2 2a a2 2b b2 20.0. 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )所以所以x x1 1x x2 20 0，x x1 1x x2 2a a2 2b b2 2b b2 21 18 8a a2 2， 由由ABAB，F F1 1F F2 2互相平分且共圆，互相平分且共圆， 易知，易知，AFAF2 2BFBF2 2，因为，因为2F A(

22、 (x x1 13 3，y y1 1) )，2F B( (x x2 23 3，y y2 2) )， 所以所以2F A2F B( (x x1 13)(3)(x x2 23)3)y y1 1y y2 2 1 11 18 8x x1 1x x2 29 90.0. 即即x x1 1x x2 28 8，所以有，所以有a a2 2b b2 2b b2 21 18 8a a2 28 8， 结合结合b b2 29 9a a2 2，解得，解得a a2 212(12(a a2 26 6 舍去舍去) )， 所以离心率所以离心率e e3 32 2.(.(若设若设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B(

23、(x x1 1，y y1 1) )相应给分相应给分) ) 法二：设法二：设A A( (x x1 1，y y1 1) )，又，又ABAB，F F1 1F F2 2互相平分且共圆，互相平分且共圆， 所以所以ABAB，F F1 1F F2 2是圆的直径，所以是圆的直径，所以x x2 21 1y y2 21 19 9， 又由椭圆及直线方程综合可得：又由椭圆及直线方程综合可得： x x2 21 1y y2 21 19 9，y y1 12 24 4x x1 1，x x2 21 1a a2 2y y2 21 1b b2 21.1. 由前两个方程解得由前两个方程解得x x2 21 18 8，y y2 21 1

24、1 1， 将其代入第三个方程并结合将其代入第三个方程并结合b b2 2a a2 2c c2 2a a2 29 9， 解得解得a a2 21212，故故e e3 32 2. . (3)(3)由由(2)(2)的结论知，椭圆方程为的结论知，椭圆方程为x x2 21212y y2 23 31 1， 由题可设由题可设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x1 1，y y1 1) )， k k1 1y y0 0y y1 1x x0 0 x x1 1，k k2 2y y0 0y y1 1x x0 0 x x1 1，所以，所以k k1 1k k2 2y y2 20 0y y2 21 1x x2 20 0 x x2 21 1， 又又y y2 20 0y y2 21 1x x2 20 0 x x2 21 13 3 1 1x x2 20 012123 3 1 1x x2 21 11212x x2 20 0 x x2 21 11 14 4， 即即k k2 21 14 4k k1 1，由，由2 2k k1 11 1 可知，可知，1 18 8k k2 21 14 4. . 即直线即直线PBPB的斜率的斜率k k2 2的取值范围是的取值范围是 1 18 8，1 14 4. .