第四节 多元复合函数与隐函数的求导法则.ppt
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1、第四节第四节 多元复合函数多元复合函数与隐函数的求导法则与隐函数的求导法则复合函数的微分法和隐函数的微分法呢?复合函数的微分法和隐函数的微分法呢?这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如它是由它是由复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了,为一元复合函数的微分法则就无能为力了,为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。一、链式法则一、链式法则证证上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上
2、公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况:而是多元函数的情况:链式法则如图示链式法则如图示称为标准法则或称为标准法则或 这个公式的特征:这个公式的特征:函数函数有两个自变量有两个自变量 x 和和 y故法则中包含故法则中包含两个公式;两个公式;由于在复合过程中有两个中间变量由于在复合过程中有两个中间变量 u 和和 v故法则中每一个公式都是两项之和,这两故法则中每一个公式都是两项之和,这两项分别含有项分别含有 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似,即即
3、“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即:多元复合函数的求导法则简言之即:“分道相加,连线相乘分道相加,连线相乘”特殊地特殊地其中其中即即令令两者的区别两者的区别区区别别类类似似注注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形意多个自变量的情形如如则则 从以上推广中我们可以得出:所有公式中从以上推广中我们可以得出:所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数,而与自两两乘积的项数等于中间变量的个数,而与自变量的个数无关变量的个数无关关于多元复合函数求偏导问题关于多
4、元复合函数求偏导问题这是一项基本技能,要求熟练掌握,尤其是求二这是一项基本技能,要求熟练掌握,尤其是求二阶偏导数,既是重点又是难点。对求导公式不求阶偏导数,既是重点又是难点。对求导公式不求强记,而要切实做到彻底理解。注意以下几点将强记,而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式,在解题时自如地运用会有助于领会和理解公式,在解题时自如地运用公式公式用图示法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构(项数及项的构成)(项数及项的构成)的结构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键
5、 弄清弄清 仍是复合函数仍是复合函数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 为中间变量,以为中间变量,以 x,y 为自变量为自变量的复合函数的复合函数因此求它们关于因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则在具体计算中最容易出错的地方是对在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f(u,v)具具有相同结构的复合函数易被误认为仅是有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的的函数,从而导致漏掉函数,从而导致漏掉原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时,一定要设中间变量求抽
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