2018高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十八） 离散型随机变量的分布列、均值与方差 Word版含答案.doc

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1、课时达标检测课时达标检测( (五十八五十八) ) 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量的分布列、均值与方差 一、全员必做题一、全员必做题 1 1袋中装着标有数字袋中装着标有数字 1,2,3,4,51,2,3,4,5 的小球各的小球各 2 2 个，从袋中任取个，从袋中任取 3 3 个小球，每个小球被取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，出的可能性都相等，X X表示取出的表示取出的 3 3 个小球上的最大数字，求：个小球上的最大数字，求： (1)(1)取出的取出的 3 3 个小球上的数字互不相同的概率；个小球上的数字互不相同的概率； (2)(2)随机变量随机变量X X的分布列及均值的

2、分布列及均值E E( (X X) ) 解：解：(1)“(1)“一次取出的一次取出的 3 3 个小球上的数字互不相同个小球上的数字互不相同”的事件记为的事件记为A A，则，则P P( (A A) )C C3 35 5C C1 12 2C C1 12 2C C1 12 2C C3 310102 23 3. . (2)(2)由题意，由题意，X X所有可能的取值为所有可能的取值为 2,3,4,5.2,3,4,5. P P( (X X2)2)C C2 22 2C C1 12 2C C1 12 2C C2 22 2C C3 310101 13030； P P( (X X3)3)C C2 24 4C C1

3、12 2C C1 14 4C C2 22 2C C3 310102 21515； P P( (X X4)4)C C2 26 6C C1 12 2C C1 16 6C C2 22 2C C3 310103 31010； P P( (X X5)5)C C2 28 8C C1 12 2C C1 18 8C C2 22 2C C3 310108 81515. . 所以随机变量所以随机变量X X的分布列为的分布列为 X X 2 2 3 3 4 4 5 5 P P 1 13030 2 21515 3 31010 8 81515 E E( (X X) )221 13030332 21515443 31010

4、558 8151513133 3. . 2 2为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员自甲协会的运动员 3 3 名，其中种子选手名，其中种子选手 2 2 名；乙协会的运动员名；乙协会的运动员 5 5 名，其中种子选手名，其中种子选手 3 3 名从名从这这 8 8 名运动员中随机选择名运动员中随机选择 4 4 人参加比赛人参加比赛 (1)(1)设设A A为事件为事件“选出的选出的 4 4 人中恰有人中恰有 2 2 名种子选手，且这名种子选手，且这 2 2 名种子选手来自同一个协名种

5、子选手来自同一个协会会”，求事件，求事件A A发生的概率；发生的概率； (2)(2)设设X X为选出的为选出的 4 4 人中种子选手的人数，求随机变量人中种子选手的人数，求随机变量X X的分布列及均值的分布列及均值E E( (X X) ) 解：解：(1)(1)由已知得，由已知得，P P( (A A) )C C2 22 2C C2 23 3C C2 23 3C C2 23 3C C4 48 86 63535. . 所以事件所以事件A A发生的概率为发生的概率为6 63535. . (2)(2)随机变量随机变量X X的所有可能取值为的所有可能取值为 1,2,3,4.1,2,3,4. P P( (X

6、 Xk k) )C Ck k5 5C C4 4k k3 3C C4 48 8( (k k1,2,3,4)1,2,3,4) 所以，随机变量所以，随机变量X X的分布列为的分布列为 X X 1 1 2 2 3 3 4 4 P P 1 11414 3 37 7 3 37 7 1 11414 E E( (X X) )111 11414223 37 7333 37 7441 11414 1 1141412121414181814144 41414353514145 52 2. . 3 3国庆节期间，某旅行社组织了国庆节期间，某旅行社组织了 1414 人参加人参加“国家旅游常识国家旅游常识”知识竞赛，每人

7、回答知识竞赛，每人回答 3 3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表： 答对题目个数答对题目个数 0 0 1 1 2 2 3 3 人数人数 3 3 2 2 5 5 4 4 根据上表信息解答以下问题：根据上表信息解答以下问题： (1)(1)从从 1414 人中任选人中任选 3 3 人，求人，求 3 3 人答对题目个数之和为人答对题目个数之和为 6 6 的概率；的概率； (2)(2)从从 1414 人中任选人中任选 2 2 人，用人，用X X表示这表示这 2 2 人答对题目个数之和，求随机变量人答对题目个数之和，求随机变量X X的分布列的分布列及

8、及E E( (X X) ) 解：解：(1)(1)记记“3“3 人答对题目个数之和为人答对题目个数之和为 6”6”为事件为事件A A， 事件事件A A包含包含“3“3 人分别答对人分别答对 2 2 题题”， “3“3 人分别答对人分别答对 1,2,31,2,3 题题”和和“3“3 人分别答对人分别答对 0,3,30,3,3题题” 则则P P( (A A) )C C3 35 5C C1 12 2C C1 15 5C C1 14 4C C1 13 3C C2 24 4C C3 314141010404018181426142617179191， 即即 3 3 人答对题目个数之和为人答对题目个数之和为

9、 6 6 的概率为的概率为17179191. . (2)(2)依题意可知依题意可知X X的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.0,1,2,3,4,5,6. 则则P P( (X X0)0)C C2 23 3C C2 214143 37137133 39191， P P( (X X1)1)C C1 13 3C C1 12 2C C2 214146 67137136 69191， P P( (X X2)2)C C2 22 2C C1 13 3C C1 15 5C C2 21414161671371316169191， P P( (X X3)3)C C1 13 3C C1 14

10、 4C C1 12 2C C1 15 5C C2 21414222271371322229191， P P( (X X4)4)C C2 25 5C C1 12 2C C1 14 4C C2 21414181871371318189191， P P( (X X5)5)C C1 15 5C C1 14 4C C2 21414202071371320209191， P P( (X X6)6)C C2 24 4C C2 214146 67137136 69191. . 从而从而X X的分布列为的分布列为 X X 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 P P 3 39191 6 691

11、91 16169191 22229191 18189191 20209191 6 69191 E E( (X X) ) 003 39191 116 69191 2216169191 3322229191 4418189191 5520209191 666 691916 632326666727210010036369191312312919124247 7. . 1 1抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 的正方体，记上底面上的正方体，记上底面上的数字分别为的数字分别为x x，y y. .若表示若表示a

12、a的整数部分，如：的整数部分，如：2 2，设，设为随机变量，且为随机变量，且 x xy y. . (1)(1)求求P P( (0)0)； (2)(2)求求的分布列，并求其均值的分布列，并求其均值E E( () ) 解：解：(1)(1)依题意，实数对依题意，实数对( (x x，y y) )共有共有 3636 种情况，使种情况，使 x xy y0 0 的实数对的实数对( (x x，y y) )有有以下以下 1515 种情况：种情况：(1,2)(1,2)，(1,3)(1,3)，(2,3)(2,3)，(1,4)(1,4)，(2,4)(2,4)，(3,4)(3,4)，(1,5)(1,5)，(2,5)(2

13、,5)，(3,5)(3,5)，(4,5)(4,5)，(1,6)(1,6)，(2,6)(2,6)，(3,6)(3,6)，(4,6)(4,6)，(5,6)(5,6)， 所以所以P P( (0)0)151536365 51212. . (2)(2)随机变量随机变量的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2.0,1,2. 1 1 的情况有以下的情况有以下 1818 种：种： (1,1)(1,1)， (2,1)(2,1)， (3,1)(3,1)， (2,2)(2,2)， (3,2)(3,2)， (4,2)(4,2)， (5,2)(5,2)， (6,2)(6,2)，(3,3)(3,3)，(4,3)(4,

14、3)，(5,(5,3)3)，(6,3)(6,3)，(4,4)(4,4)，(5,4)(5,4)，(6,4)(6,4)，(5,5)(5,5)，(6,5)(6,5)，(6,6)(6,6)， 所以所以P P( (1)1)181836361 12 2. . 2 2 的情况有以下的情况有以下 3 3 种：种：(4,1)(4,1)，(5,1)(5,1)，(6,1)(6,1)，所以，所以P P( (2)2)3 336361 11212. . 所以所以的分布列为的分布列为 0 0 1 1 2 2 P P 5 51212 1 12 2 1 11212 均值均值E E( () )005 51212111 12 22

15、21 112122 23 3. . 2 2某商场中的某商场中的 2020 件不同的商品中有件不同的商品中有3 34 4是进口商品，其余的是国产商品在进口商品中是进口商品，其余的是国产商品在进口商品中有有1 13 3是高端商品，在国产商品中有是高端商品，在国产商品中有3 35 5是高端商品是高端商品 (1)(1)从该批商品中随机抽取从该批商品中随机抽取 3 3 件，求恰有件，求恰有 1 1 件进口高端商品且国产高端商品少于件进口高端商品且国产高端商品少于 2 2 件的件的概率；概率； (2)(2)若销售若销售 1 1 件国产高端商品获利件国产高端商品获利 8080 元，元，1 1 件国产非高端商

16、品获利件国产非高端商品获利 5050 元，当销售该批元，当销售该批国产商品国产商品 3 3 件时，获利为件时，获利为元，求元，求的分布列及均值的分布列及均值E E( () ) 解：解：(1)(1)设事件设事件B B为为“从该批商品中随机抽取从该批商品中随机抽取 3 3 件件，恰有，恰有 1 1 件进口高端商品且国产高端件进口高端商品且国产高端商品少于商品少于 2 2 件件”，事件，事件A A1 1为为“抽取的抽取的 3 3 件商品中，有件商品中，有 1 1 件进口高端商品，件进口高端商品，0 0 件国产高端商件国产高端商品品”，事件，事件A A2 2为为“抽取的抽取的 3 3 件商品中，有件商

17、品中，有 1 1 件进口高端商品，件进口高端商品，1 1 件国产高端商品件国产高端商品” 因为这因为这 2020 件商品中，进口高端商品有件商品中，进口高端商品有 20203 34 41 13 35(5(件件) )，国产高端商品有，国产高端商品有 20201 14 43 35 53(3(件件) ) 所以所以P P( (B B) )P P( (A A1 1) )P P( (A A2 2) )C C1 15 5C C2 21212C C3 32020C C1 15 5C C1 13 3C C1 11212C C3 3202017173838， 即从该批商品中随机抽取即从该批商品中随机抽取 3 3

18、件，恰有件，恰有 1 1 件进口高端商品且国产高端商品少于件进口高端商品且国产高端商品少于 2 2 件的概件的概率是率是17173838. . (2)(2)由于本批商品中仅有由于本批商品中仅有 5 5 件国产商品，其中件国产商品，其中 3 3 件是高端商品，故销售该批国产商品件是高端商品，故销售该批国产商品 3 3件时，可能有件时，可能有 1 1 件高端商品，件高端商品，2 2 件非高端商品，或件非高端商品，或 2 2 件高端商品，件高端商品，1 1 件非高端商品，或件非高端商品，或 3 3 件件都是高端商品，于是都是高端商品，于是的可能取值为的可能取值为 180,210,240.180,21

19、0,240. P P( (180)180)C C1 13 3C C2 22 2C C3 35 53 31010，P P( (210)210)C C2 23 3C C1 12 2C C3 35 56 610103 35 5， P P( (240)240)C C3 33 3C C3 35 51 11010. . 所以所以的分布列为的分布列为 180180 210210 240240 P P 3 31010 3 35 5 1 11010 故故E E( () )1801803 310102102103 35 52402401 11010204.204. 三、冲刺满分题三、冲刺满分题 1 1袋中装有黑色

20、球和白色球共袋中装有黑色球和白色球共 7 7 个，从中任取个，从中任取 2 2 个球都是白色球的概率为个球都是白色球的概率为1 17 7. .现有甲、现有甲、乙两人从袋中轮流摸出乙两人从袋中轮流摸出 1 1 个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，摸后均不放回，直，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用到有一人摸到白色球后终止每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X X表示摸球表示摸球终止时所需摸球的次数终止时所需摸球的次数 (1)(1)求随机变量求随机变量X X的分布列和均值的分布列和均值E E( (X X) )；

21、(2)(2)求甲摸到白色球的概率求甲摸到白色球的概率 解析：设袋中白色球共有解析：设袋中白色球共有x x个个，x xN N* *且且x x22，则依题意知，则依题意知C C2 2x xC C2 27 71 17 7，所以，所以x xx x2121767621211 17 7， 即即x x2 2x x6 60 0，解得，解得x x3(3(x x2 2 舍去舍去) ) (1)(1)袋中的袋中的 7 7 个球，个球，3 3 白白 4 4 黑，随机变量黑，随机变量X X的所有可能取值是的所有可能取值是 1,2,3,4,5.1,2,3,4,5. P P ( (X X1)1)A A1 13 3A A1 1

22、7 73 37 7，P P( (X X2)2)A A1 14 4A A1 13 3A A2 27 72 27 7，P P( (X X3)3)A A2 24 4A A1 13 3A A3 37 76 63535，P P( (X X4)4)A A3 34 4A A1 13 3A A4 47 73 33535，P P( (X X5)5)A A4 44 4A A1 13 3A A5 57 71 13535. . 随机变量随机变量X X的分布列为的分布列为 X X 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 P P 3 37 7 2 27 7 6 63535 3 33535 1 13535 所以所以E E(

23、 (X X) )113 37 7222 27 7336 63535443 33535551 135352.2. (2)(2)记事件记事件A A为为“甲摸到白色球甲摸到白色球”，则事件，则事件A A包括以下三个互斥事件：包括以下三个互斥事件： A A1 1“甲第甲第 1 1 次摸球时摸出白色球次摸球时摸出白色球”； A A2 2“甲第甲第 2 2 次摸球时摸出白色球次摸球时摸出白色球”； A A3 3“甲第甲第 3 3 次摸球时摸出白色球次摸球时摸出白色球” 依题意知依题意知，P P( (A A1 1) )A A1 13 3A A1 17 73 37 7，P P( (A A2 2) )A A2

24、24 4A A1 13 3A A3 37 76 63535，P P( (A A3 3) )A A4 44 4A A1 13 3A A5 57 71 13535， 所以甲摸到白色球的概率为所以甲摸到白色球的概率为P P( (A A) )P P( (A A1 1) )P P( (A A2 2) )P P( (A A3 3) )3 37 76 635351 1353522223535. . 2 2某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担若厂商恰能在约定日期有两条公路，且

25、运费由厂商承担若厂商恰能在约定日期(月月日日) )将牛奶送到，则城市将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂乙的销售商一次性支付给牛奶厂 2020 万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂付给牛奶厂 1 1 万元； 若在约定日期后送到， 每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂万元； 若在约定日期后送到， 每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂 1 1 万元 为万元 为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内

26、的信息：奶，已知下表内的信息： 统计统计 信息信息 汽车行汽车行 在不堵车的情在不堵车的情况下到达城市况下到达城市乙乙所需时间所需时间在堵车的在堵车的情况下到情况下到达城市乙达城市乙堵车的堵车的概率概率 运费运费( (万万元元) ) 驶路线驶路线 ( (天天) ) 所需时间所需时间( (天天) ) 公路公路 1 1 2 2 3 3 1 11010 1.61.6 公路公路 2 2 1 1 4 4 1 12 2 0.80.8 (1)(1)记汽车选择公路记汽车选择公路 1 1 运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为( (单位：万元单位：万元) )，求，求的分的分布列和均值布列和

27、均值E E( () )； (2)(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？ ( (注：毛收入销售商支付给牛奶厂的费用运费注：毛收入销售商支付给牛奶厂的费用运费) ) 解：解：(1)(1)若汽车走公路若汽车走公路 1 1， 不堵车时牛奶厂获得的毛收入不堵车时牛奶厂获得的毛收入20201.61.618.4(18.4(万元万元) )； 堵车时牛奶厂获得的毛收堵车时牛奶厂获得的毛收入入20201.61.61 117.4(17.4(万元万元) )， 汽车走公路汽车走公路 1 1 时牛奶厂获得的毛收入时牛奶厂获得的毛收入的分布列为的分布列

28、为 18.418.4 17.417.4 P P 9 91010 1 11010 E E( () )18.418.49 9101017.417.41 1101018.3(18.3(万元万元) ) (2)(2)设汽车走公路设汽车走公路 2 2 时牛奶厂获得的毛收入为时牛奶厂获得的毛收入为，则，则 不堵车时牛奶厂获得的毛收入不堵车时牛奶厂获得的毛收入20200.80.81 120.2(20.2(万元万元) )； 堵车时牛奶厂获得的毛收入堵车时牛奶厂获得的毛收入20200.80.82 217.2(17.2(万元万元) ) 汽车走公路汽车走公路 2 2 时牛奶厂获得的毛收入时牛奶厂获得的毛收入的分布的分布列为列为 20.220.2 17.217.2 P P 1 12 2 1 12 2 E E( () )20.220.21 12 217.217.21 12 218.7(18.7(万元万元) ) E E( ()E E( () )， 选择公路选择公路 2 2 运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多