2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科【解析版】.doc

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1、第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1(2013辽宁，文1)已知集合A0,1,2,3,4，Bx|x|2，则AB()A0 B0,1 C0,2 D0,1,2【答案】B【解析】|x|2，x(2,2)，即Bx|2x2AB0,1，故选B.【名师点睛】本题考查集合的基本运算及对数函数的性质，函数、不等式、集合结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及基本运算方法的准确性.2(2013辽宁，文2)复数的模为()A B C D2【答案】B【名师点睛】本

2、题考查复数的概念和运算，采用分母实数化先求或利用进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.3(2013辽宁，文3)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A B C D【答案】A【解析】与向量同方向的单位向量为，故选A.【名师点睛】本题考查单位向量概念及平面向量的坐标运算,属于基础题，注意运算的准确性.4(2013辽宁，文4)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【答案】D【解析】如

3、数列2，1,0,1,2，则1×a12×a2，排除p2，如数列1,2,3，则1，排除p3，故选D.【名师点睛】本题考查等差数列的概念及等差数列的单调性.要说明命题为真，应加以证明，而要说明命题为假，则可以通过举反例而达到解题目的.本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及解题方法的灵活运用.5(2013辽宁，文5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A45 B50 C55 D60【答案】B【名师点睛】本题考查频率分布直方图及频率组距等概念，

4、解答本题的关键，是理解概念，细心计算.本题属于基础题，在考查概念的同时，考查考生识图用图的能力，是近几年高考常见题型.6(2013辽宁，文6)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos Ccsin Bcos A，且ab，则B()A B C D【答案】A【解析】根据正弦定理asin Bcos Ccsin Bcos A等价于sin Acos Csin Ccos A，即sin(AC).又ab，所以AC，所以.故选A.【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及已知三角函数值求角问题，在正确理解题意的情况下，准确变形是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论

5、，使解答陷入误区.本题是一道基础题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同时考查考生的计算能力、思维的严密性及应用数学知识解决问题的能力.7(2013辽宁，文7)已知函数f(x)，则()A1 B0 C1 D2【答案】D【名师点睛】本题考查对数函数的性质、对数运算及函数值的计算，解答本题的关键，是能想到研究f(x)，并发现对数，的真数之间的关系，通过整体计算f(x)f(x)使问题得解.本题属于基础题，可通过改变中真数的不同取值而产生变式.8(2013辽宁，文8)执行如图所示的程序框图，若输入n8，则输出S()A B C D【答案】A【名师点睛】本题考查算法与程序框图及数列求和的“裂项

6、相消法”，在理解条件分支结构及算法功能的基础上，关键是能想到化简和式，通过“裂项”准确地加以计算.本题属于基础题，由于给定数据较小，降低了题目的难度.9(2013辽宁，文9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3 B C D【答案】C【解析】若OBA为直角，则，即a2(a3b)·a30，又a0，故；若OAB为直角时，即b(a3b)0，得ba3；若AOB为直角，则不可能所以ba30或ba30，故选C.【名师点睛】本题考查平面向量的应用、平面向量的数量积及平面向量的坐标运算.由于没有明确三角形的哪个角是直角，故须利用分类讨论思想加以探究.

7、本题是一道能力题，属于中等题，重点考查平面向量的应用、平面向量的数量积及平面向量的坐标运算等基础知识，同时考查考生的计算能力、分类讨论思想及应用数学知识解决问题的能力.10(2013辽宁，文10)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A B C D【答案】C【名师点睛】本题考查直三棱柱、球的结构特征以及组合体几何量之间的关系，解答本题的关键，是通过添加辅助线，得到球的内接长方体，利用长方体与其外接球的关系，计算得到球的半径.本题属于能力题，在考查直三棱柱、球的结构特征以及组合体几何量之间关系的同时，考查了考生的空间想象

8、能力及运算能力.11(2013辽宁，文11)已知椭圆C：(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A B C D【答案】B【名师点睛】本题考查椭圆的定义、椭圆的几何性质及余弦定理.确定椭圆或双曲线的离心率，关键是从已知出发，结合定义确定得到的关系，本题中由椭圆的对称性转化应用椭圆的定义，往往易被忽视.本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查椭圆的定义、椭圆的几何性质及余弦定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.12(2013辽宁，文12)已知函数f(x)x22(a2)xa

9、2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()Aa22a16 Ba22a16 C16 D16【答案】C【解析】f(x)g(x)2x24ax2a282x(a2)x(a2)，可求得H1(x)的最小值Af(a2)4a4，H2(x)的最大值Bg(a2)4a12，AB16.故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的概念及二次函数的性质，解答本题的关键，是正确理解新定义函数的意义，准确地写出分段函数，并利用二次函数的性质

10、，确定函数的最值.解答本题的难点在于比较f(x)、 g(x)的大小.本题属于新定义问题，也是一道能力题，在考查函数基础知识的同时，考查了考生的学习能力、运算能力及分类讨论思想.第卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13(2013辽宁，文13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_【答案】1616【名师点睛】本题考查三视图及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解三视图的画法规则，明确所得几何体的特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查三视图及几何体的几何特征的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是一道较为常规的题型.14(201

11、3辽宁，文14)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.【答案】63【解析】x25x40的两根为1和4，又数列递增，所以a11，a34，q2.所以S663.【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的求和公式等，解答本题的关键，是利用一元二次方程根与系数的关系及递增数列，确定得到a1，a3，确定得到公比，进一步求得S6.本题是一道基础题.在考查等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.15(2013辽宁，文15)已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点若P

12、Q的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_【答案】44【名师点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的标准方程及双曲线的几何性质.本题中确定焦点弦三角形的周长，易于想到应用双曲线的定义，而从已知出发确定2a是关键.本题属于基础题，在较全面考查双曲线的定义、双曲线的标准方程及双曲线的几何性质等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.16(2013辽宁，文16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_【答案】10【名师

13、点睛】本题考查平均数、方差等概念，解答本题的关键，是理解概念，掌握公式，通过分析方差的结构特点，确定样本数据的最值.本题属于能力题，在考查统计的基本概念的同时，考查考生的计算及逻辑思维能力.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17(2013辽宁，文17)(本小题满分12分)设向量a(，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)a·b，求f(x)的最大值【答案】(1) ；(2) 【解析】(1)由|a|2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2

14、x1.又x，从而sin x.所以.【名师点睛】本题考查平面向量的模、平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，以及和差倍半的三角函数、三角函数的性质.解答本题的关键，是理解概念，掌握公式，熟练地进行数学式子变形.本题的易错点是忽视角的范围的讨论而出现错误.本题属于能力题，中等难度，在考查平面向量、三角函数等基础知识的同时，考查考生的计算及逻辑思维能力.18(2013辽宁，文18)(本小题满分12分)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【解析】(

15、1)由AB是圆O的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC. 【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系及平行关系，从第一小题的证明看，起点低，背景为学生熟悉.证明过程中，关键是注意利用圆的性质发现垂直关系，进一步得到线面关系、面面关系.第二小题，则充分利用转化与化归思想，利用三角形的性质，探寻证明途径.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查空间垂直关系、平行关系等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、转化与化归思想及应用数学知识解决问题的能力.1

16、9(2013辽宁，文19)(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率【答案】(1) ；(2) (2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B).【名师点睛】本题考查古典概型概率的计算，在正确理解题意的情况下，能准确确定基本事件数是关键，其中列举法是解答此类问题的有效方法.本题是一道应用题，也是一道能力题，属于中等题，较全面地考查了概率的基础知识，同时考查考生的计算

17、能力及应用数学知识，解决实际问题的能力.20(2013辽宁，文20)(本小题满分12分)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x0时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)【答案】(1) p2；(2) 【解析】(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为.因为点M(，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是，.由得p2.所以.由得，x0.

18、当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足.因此AB中点N的轨迹方程为.【名师点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、中点坐标公式、轨迹方程的求法、导数的几何意义等，本题的（I），利用导数的几何意义，确定切线斜率，建立关于的方程；（II）通过假设相关点的坐标，利用函数方程思想及点的坐标关系，通过“消元”得到轨迹方程，对考生复杂式子的变形能力及逻辑思维能力要求较高.本题易错点是忽视对x1x2的讨论，导致解的不完美.本题是一道能力题，属于难题.在考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、中点坐标公式、轨迹方程的求法、导数的几何意义等基础

19、知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.本题梯度设计较好，有较强的区分度，有利于优生的选拔.21(2013辽宁，文21)(本小题满分12分)(1)证明：当x0,1时，sin xx；(2)若不等式axx22(x2)cos x4对x0,1恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1) 详见解析；(2) (，2记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10，所以，H(x)在0,1上是减函数，则H(x)H(0)0，即sin xx.综上，sin xx，x0,1(2)解法一：因为当x0,1时，axx22(x2)cos x4(a2)xx2(a2)xx2(a2)x.所以，当a2时，不等式

20、axx22(x2)cos x4对x0,1恒成立下面证明，当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立因为当x0,1时，axx22(x2)cos x4(a2)xx2(a2)xx2(a2)xx2(a2)x.所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足2(x02)cos x040，即当a2时，不等式axx22(x2)cos x40对x0,1不恒成立综上，实数a的取值范围是(，2于是f(x)在0,1上是减函数，因此，当x(0,1)时，f(x)f(0)a2，故当a2时，f(x)0，从而f(x)在0,1上是减函数，所以f(x)f(0)0，即当a2时，不等式axx22(x2)co

21、s x4对x0,1恒成立下面证明，当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立由于f(x)在0,1上是减函数，且f(0)a20，f(1)a2cos 16sin 1.当a6sin 12cos 1时，f(1)0，所以当x(0,1)时，f(x)0，因此f(x)在0,1上是增函数，故f(1)f(0)0；当2a6sin 12cos 1时，f(1)0，又f(0)0，故存在x0(0,1)使f(x0)0，则当0xx0时，f(x)f(x0)0.所以f(x)在0，x0上是增函数，所以当x(0，x0)时，f(x)f(0)0.所以，当a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立综

22、上，实数a的取值范围是(，2【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的性质、不等式的证明、不等式恒成立问题的解法等，解答本题的主要困难是在进行不等式的转化后，构造函数，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值等.本题是一道能力题，属于难题.在考查应用导数研究函数的性质、不等式的证明、不等式恒成立问题等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想及分类讨论思想.22(2013辽宁，文22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，AB为O直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接

23、AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD·BC.【答案】(1) 详见解析；(2) 详见解析 (2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AF·BF，所以EF2AD·BC.【名师点睛】本题考查圆的几何性质、三角形全等等相关知识，作为选学（考）内容，对考生的要求并不高，主要是考查相关基础知识、基本方法的掌握情况及逻辑推理能力.本题是一道能力题，属于中档题.23(2013辽宁，文23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方

24、程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值【答案】(1) ，；(2) a1，b2 (2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得.所以解得a1，b2.【名师点睛】本题考查坐标系与参数方程、直线与圆的位置关系等，解答本题的关键是能熟练掌握坐标互化公式，将极坐标方程、参数方程化为普通方程，实现化生为熟.本题是一道能力题，属于

25、中档题.在考查坐标系与参数方程等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.24(2013辽宁，文24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值【答案】(1) x|x1或x5；(2) a3 (2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则由|h(x)|2，解得.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.【名师点睛】本题考查不等式选讲、含绝对值不等式的解法等，解答本题的关键是能利用分类讨论思想，去掉绝对值，转化成为常见不等式求解.本题是一道能力题，属于中档题.在考查不等式选讲基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp