小学数学知识点全面梳理.pdf

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1、小学数学知识点小学数学知识点第一 章 数和数的运 算一概念（一）整数1 整数的意义自然 数和 0 都是 整数。2 自然数我们 在数物体的时 候，用来表示 物体个数的1，2，3叫做自 然数。一个 物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。3 计数单位一（个）、十、百、千、万、十 万、百万、千 万、亿 都是计 数单位。每相 邻两个计数单 位之间的进率 都是 10。这样的计数法叫做十进制计数 法。4 数位计数 单位按照一定 的顺序排列起 来，它们所占 的位置叫做数 位。5 数的整除整数 a 除以 整数 b(b 0），除得 的商是整数而 没有余数，我 们就说 a 能被 b 整除，或 者说 b 能整 除

2、 a。如果 数 a 能被数 b（b 0）整 除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫 做 a 的约数（或 a 的因 数）。倍数和 约数是相互 依存的。因为 35 能被 7 整除，所 以 35 是 7 的倍 数，7 是 35 的约 数。一个 数的约数的个 数是有限的，其中最小的 约数是 1，最大 的 约数是它本 身。例如：10 的约 数有 1、2、5、10，其中最小 的约数是 1，最大 的约数是 10。一个 数的倍数的个 数是无限的，其中最小的倍 数是它本身。3 的倍数有：3、6、9、12 其中最小 的倍数是 3，没有最大的 倍数。个位 上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除，例如：202

3、、480、304，都能 被 2 整除。个位 上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除，例 如：5、30、405 都能 被 5 整除。一个 数的各位上的 数的和能被3 整除，这个 数就能被 3 整除，例如：12、108、204 都能被 3 整除。一个 数各位数上的 和能被 9 整除，这个数就能 被 9 整除。能被 3 整除的数 不一定能被9 整除，但是 能被 9 整除的 数一定能被3 整除。一个 数的末两位数 能被 4（或 25）整除，这个数就能被4（或 25）整除。例如：16、404、1256 都能 被 4整除，50、325、500、1675 都能被 25 整除。一个 数的末三位数 能被 8（

4、或 125）整除，这个数就能被8（或 125）整除。例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都能被 125 整除。能被 2 整除的数 叫做偶数。不能 被 2 整除的 数叫做奇数。0 也是偶数。自 然数按能否被2 整除的特征可 分为奇数和 偶数。一个 数，如果只有1 和它本身两 个约数，这样的数叫做质数（或素数），100 以内的质 数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个 数，如果除了1 和它本身还 有别的约数，这样的数叫做 合

5、数，例如 4、6、8、9、12 都是合数。1 不是质数也不 是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。如果把自 然数按其约数 的个数的不同 分类，可分 为质数、合数 和 1。每个 合数都可以写 成几个质数相 乘的形式。其 中每个质数都 是这个合数的 因数，叫做这 个合数的质因 数，例如 15=3 5，3 和 5 叫做 15 的质因数。把一 个合数用质因 数相乘的形式 表示出来，叫 做分解 质因数。例如 把 28 分解 质因数几个 数公有的约数，叫做这几个 数的公约数。其中最大的一 个，叫做这几 个数的最大公 约数，例如12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数 有 1、2、3、

6、6、9、18。其中，1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公约数，6 是它们的最大 公约数。公约 数只有 1 的两个数，叫做互质数，成互质 关系的两个数，有下列几种 情况：1 和任何自然数 互质。相邻 的两个自然数 互质。两个 不同的质数互 质。当合 数不是质数的 倍数时，这个 合数和这个质 数互质。两个 合数的公约数 只有 1 时，这 两个合数互 质，如果几个数 中任意两个都 互质，就说这 几个数两两互 质。如果 较小数是较大 数的约数，那 么较小数就是 这两个数的最 大公约数。如果 两个数是互质 数，它们的最 大公约数就是1。几个 数公有的倍数，叫做 这几个 数的公倍数，其中最 小的一

7、个，叫做 这几个数的 最小公 倍数，如 2 的倍数 有2、4、6、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中 6、12、18 是 2、3 的公倍数，6 是它们的最小 公倍数。如果 较大数是较小 数的倍数，那 么较大数就是 这两个数的最 小公倍数。如果 两个数是互质 数，那么这两 个数的积就是 它们的最小公 倍数。几个 数的公约数的 个数是有限的，而几个数的 公倍数的个数 是无限的。（二）小数1 小数的意义把整 数 1 平均分 成 10 份、100 份、1000 份 得到的十 分之几、百分 之几、千分之 几 可以用小 数表示。一位 小数表示十分 之几，两位

8、小 数表示百分之 几，三位小数 表示千分之几 一个 小数由整数部 分、小数部分 和小数点部分 组成。数中的 圆点叫做小数 点，小数点左 边的数叫做整 数部分，小数 点左边的数叫 做整数部分，小数点右边的 数叫做小数部 分。在小 数里，每相邻 两个计数单位 之间的进率都 是 10。小数 部分的最高分 数单位“十分 之一”和整数部 分的最低单 位“一”之间的进 率也是 10。2 小数的分类纯小数：整数部分 是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25、0.368 都是纯小数。带小 数：整数部分 不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25、5.26 都是 带小数。有限 小数：小数部 分的数位是有 限的小数，

9、叫 做有限小数。例如：41.7、25.3、0.23 都是有限 小数。无限 小数：小数部 分的数位是无 限的小数，叫 做无限小数。例如：4.33 3.1415926无限 不循环小数：一个数的小数 部分，数字排 列无规律且位 数无限，这样 的小数叫做无 限不循环小数。例如：循环 小数：一个数 的小数部分，有一个数字或 者几个数字依 次不断重复出 现，这个数叫 做循环小数。例如：3.555 0.0333 12.109109一个 循环小数的小 数部分，依次 不断重复出现 的数字叫做这 个循环小数的 循环节。例如：3.99 的循 环节是“9”，0.5454的循 环节是“54”。纯循 环小数：循环 节从小

10、数部分 第一位开始的，叫做纯循环 小数。例如：3.111 0.5656混循 环小数：循环 节不是从小数 部分第一位开 始的，叫做混 循环小数。3.1222 0.03333写循 环小数的时候，为了简便，小 数的循环部 分只需写出一 个循环节，并 在这个循环节 的首、末位数 字上各点一 个圆点。如果 循环 节只有 一个数字，就 只在它的上 面点一个点。例如：3.777 简写作 0.5302302 简写作。（三）分数1 分数的意义把单 位“1”平均分 成若干份，表 示这样的一份 或者几份的数 叫做分数。在分 数里，中间的 横线叫做分数 线；分数线下 面的数，叫做 分母，表示把 单位“1”平均 分成多

11、少份；分数线下面 的数叫做分子，表示有这样 的多少份。把单 位“1”平均分 成若干份，表 示其中的一份 的数，叫做分 数单位。2 分数的分类真分 数：分子比分 母小的分数叫 做真分数。真 分数小于 1。假分 数：分子比分 母大或者分子 和分母相等的 分数，叫做假 分数。假分数 大于或等于1。带分 数：假分数可 以写成整数与 真分数合成的 数，通常叫做 带分数。3 约分和通分把一 个分数化成同 它相等但是分 子、分母都比 较小的分 数，叫 做约分。分子 分母是互质数 的分数，叫做 最简分数。把异 分母分数分别 化成和原来分 数相等的同分 母分数，叫做 通分。（四）百分数1 表示一个数是另 一个数

12、的百分 之几的数叫做 百分数,也叫 做百分率或百 分比。百分 数通常用%来表示。百分 号是表示百分 数的符号。二方法（一）数的读法和 写法1.整数的 读法：从高位 到低位，一级一级地 读。读亿级、万级时，先按 照个级的读法 去读，再在后 面加一个“亿”或“万”字。每一 级末尾的 0 都不读出 来，其它数位连续有几个 0 都只读一 个零。2.整数的 写法：从高位 到低位，一级一级地 写，哪一个数 位上一个单位 也没有，就在 那个数位上写0。3.小数的 读法：读小数 的时候，整数部分按 照整数的读法 读，小数点读 作“点”，小数 部分从左向右 顺次读出每 一位数位上的 数字。4.小数的 写法：写小

13、数 的时候，整数部分按 照整数的写法 来写，小数点 写在个位右下 角，小数部分 顺次写出每 一个数位上的 数字。5.分数的 读法：读分数 时，先 读分母再读“分之”然后读分 子，分子和分 母按照整数的 读法来读。6.分数的 写法：先写分 数线，再写分母，最 后写分子，按 照整数的写法 来写。7.百分数 的读法：读百 分数时，先读百分之，再读百分号 前面的数，读 数时按照整数 的读法来读。8.百分数 的写法：百分 数通常 不写成分数形 式，而在原来 的分子后面加 上百分号“%”来表示。（二）数的改写一个 较大的多位数，为了读写方 便，常常把它 改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还 可以根据需

14、要，省略这个 数某一位后面 的数，写成近 似数。1.准确数：在实际生活 中，为 了计数的简便，可以把一个 较大的数改写 成以万或亿为 单位的数。改 写后的数是 原数的准确数。例如 把 1254300000改写成以万做 单位的数是 125430万；改写成 以亿做 单位 的数 12.543亿。2.近似数：根据实际需 要，我们 还可以把一个 较大的数，省略某一位后面 的尾数，用一 个近似数来表 示。例如：1302490015省略亿后面 的尾数是 13 亿。3.四舍五 入法：要 省略的尾数 的最高位上的 数是 4 或者 比 4 小，就把尾数去 掉；如果尾数的最高位上的数是 5 或者 比 5 大，就把尾

15、数舍去，并向它的 前一位进 1。例如：省 略 345900万后面 的尾数约是 35 万。省略 4725097420亿后面的尾 数约是 47 亿。4.大小比 较1.比较整 数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如 果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个 数就大；最高 位上的数相同，就看下一位，哪一位上的 数大那个数就 大。2.比较小 数的大小：先 看它们 的整数部分，整数部分大 的那个数就大；整数部分相 同的，十分位 上的数大的 那个数就大；十分位上的数 也相同的，百 分位上的数大 的那个数就大 3.比较分 数的大小:分母相同的 分数，分子大的分数比较大；分 子相同的数，分母小的分数

16、大。分数的分母和分 子都不相同的，先通分，再 比较两个数的 大小。（三）数的互化1.小数化 成分数：原来 有几位 小数，就在1 的后面写几个 零作分母，把 原来的小数去 掉小数点作分 子，能约分 的要约分。2.分数化 成小数：用分 母去除 分子。能除尽 的就化成有限 小数，有的不 能除尽，不能 化成有限小数 的，一般保 留三位小数。3.一个最 简分数，如果 分母中 除了 2 和 5 以外，不含有 其他的质因数，这个分数就 能化成有限小 数；如果分母 中含有 2 和 5 以外的质因 数，这个分数 就不能化成有 限小数。4.小数化 成百分数：只 要把小 数点向右移动 两位，同时在 后面添上百分 号

17、。5.百分数 化成小数：把 百分数 化成小数，只 要把百分号去 掉，同时把小 数点向左移动 两位。6.分数化 成百分数：通 常先把 分数化成小数（除不尽时，通常保留三位 小数)，再把 小数化成百分 数。7.百分数 化成小数：先 把百分 数改写成分数，能约分的要 约成最简分数。（四）数的整除1.把一个 合数分解质因 数，通 常用短除法。先用能整除这 个合数的质数 去除，一直除 到商是质数为 止，再把除 数和商写成连 乘的形式。2.求几个 数的最大公约 数的方 法是：先用这 几个数的公约 数连续去除，一直除到所得 的商只有公约 数 1 为止，然后把所 有的 除数连乘求积，这个积就是 这几个数的的

18、最大公约数。3.求几个 数的最小公倍 数的方 法是：先用这 几个数（或其 中的部分数）的公约数去除，一直除到互 质（或两两 互质）为止，然后把所有的 除数和商连乘 求积，这个积 就是这几个数 的最小公倍数。4.成为互 质关系的两个 数：1 和任何自然 数互质；相邻 的两个自然数 互质；当合 数不是质数的 倍数时，这个 合数和这个质 数互质；两个合 数的公约数 只有 1 时，这两个合数互 质。（五）约分和 通分约分 的方法：用分 子和分母的公 约数（1 除外）去除分子、分母；通常要 除到得出 最简 分数为止。通分 的方法：先求 出原来的几个 分数分母的最 小公倍数，然 后把各分数化 成用这个最小

19、 公倍数作分母 的分数。三性质 和规律（一）商不变的规 律商不 变的规律：在 除法里，被除 数和除数同时 扩大或者同时 缩小相同的倍，商不变。（二）小数的性质小数 的性质：在小 数的末尾添上 零或者去掉零 小数的大小不 变。（三）小数点位置 的移动引起小 数大小的变化1.小数点 向右移动一位，原来 的数就扩大10 倍；小数点 向右移动两位，原来的数就 扩大 100 倍；小数 点向右 移动三位，原 来的数就扩大1000 倍2.小数点 向左移动一位，原来 的数就缩小10 倍；小数点 向左移动两位，原来的数就 缩小 100 倍；小数 点向左 移动三位，原 来的数就缩小1000 倍3.小数点 向左移或

20、者向 右移位 数不够时，要 用“0补足位。（四）分数的基本 性质分数的 基本性质：分数的分子 和分母都乘以 或者除以相同 的数（零除外），分数的大 小不变。（五）分数与除法 的关系1.被除 数除数=被除数/除数2.因为零 不能作除数，所以分 数的分母不能 为零。3.被除 数 相当于分子，除数相 当于分母。四运算 的意义（一）整数四则运 算1 整数加法：把 两个数合并成一个数的运算叫 做加法。-在加法里，相加的数叫 做加数，加得的数叫 做和。加数是 部分数，和是 总数。-加数+加数=和一个加数=和 另一个加数2 整数减法：已 知两个加数的和与其中的一个 加数，求另一 个加数的运算 叫做减法。-在

21、减法里，已知的和叫 做被减 数，已知的加 数叫做减数，未知的加数叫 做差。被减数 是总数，减数 和差分别是 部分数。-加法和减法 互为逆运算。3 整数乘法：求 几个相同加数的和的简便运算 叫做乘法。-在乘法里，相同的加数 和相同 加数的个数都 叫做因数。相 同加数的和叫 做积。-在乘法 里，0 和任何数 相乘都 得 0.1 和任何 数相乘都 的任何数。-一个因 数 一个因数 =积一个因数=积另一个因数4整数除法：已知 两个因数的 积与其中一个 因数，求另一 个因数的运算 叫做除法。-在除法里，已知的积叫 做被除 数，已知的一 个因数叫做除 数，所求的因 数叫做商。-乘法和除法 互为逆运算。-在

22、除法 里，0 不能做除 数。因为 0 和任何 数相乘都得0，所以任何一个 数除以 0，均得 不到一个 确定 的商。-被除数 除数=商除数=被除 数商被除数=商除数（二）小数四则运 算1.小数加 法：小数加法 的意义 与整数加法的 意义相同。是 把两个数合并 成一个数的运 算。2.小数减 法：小数减法 的意义 与整数减法的 意义相同。已 知两个加数的 和与其中的一 个加数，求另 一个加数的 运算.3.小数乘 法：小数乘整 数的意 义和整数乘法 的意义相同，就是求几个相 同加数和的简 便运算；一个 数乘纯小数 的意义是求这 个数的十分之 几、百分之几、千分之几 是多 少。4.小数除 法：小数除法

23、的意义 与整数除法的 意义相同，就 是已知两个因 数的积与其中 一个因数，求 另一个因数 的运算。5.乘方 求几 个相同因数 的积的 运算叫做乘方。例如 3 3=32（三）分数四则运 算1.分数加 法：分数加法 的意义 与整数加法的 意义相同。是把 两个数合并 成一个数的 运算。2.分数减 法：分数减法 的意义 与整数减法的 意义相同。已 知两个加数的 和与其中的一 个加数，求另 一个加数的 运算。3.分数乘 法：分数乘法 的意义 与整数乘法的 意义相同，就 是求几个相同 加数和的简便 运算。4.乘积 是 1 的两个数 叫做互为 倒数。5.分数除 法：分数除法 的意义 与整数除法的 意义相同。

24、就 是已知两个因 数的积与其中 一个因数，求 另一个因数 的运算。（四）运算定律1.加法交 换律：两个数 相加，交换加数的位 置，它们的和 不变，即a+b=b+a。2.加法结 合律：三个数 相加，先把前两个数 相加，再加上 第三个数；或 者先把后两个 数相加，再和 第一个数相 加它们的和不 变，即（a+b)+c=a+(b+c)。3.乘法交 换律：两个数 相乘，交换因数的位 置它们的积不 变，即 ab=b a。4.乘法结 合律：三个数 相乘，先把前两个数 相乘，再乘以 第三个 数；或 者先把后两个 数相乘，再和 第一个数相 乘，它们的积 不变，即(ab)c=a(bc)。5.乘法分 配律：两个数

25、的和与 一个数相乘，可以把两个加 数分别与这个 数相乘再把两 个积相加，即(a+b)c=a c+bc。6.减法的 性质：从一个 数里连 续减去几个数，可以从这个 数里减去所有 减数的和，差 不变，即a-b-c=a-(b+c)。（五）运算法则1.整数加 法计算法则：相同数 位对齐，从低 位加起，哪一 位上的数相加 满十，就向前 一位进一。2.整数减 法计算法则：相同数 位对齐，从低 位加起，哪一 位上的数不够 减，就从它的 前一位退一作 十，和本位 上的数合并在 一起，再减。3.整数乘 法计算法则：先用一 个因数每一位 上的数分别去 乘另一个因数 各个数位上的 数，用因数哪 一位上的数 去乘，乘

26、得的 数的末尾就对 齐哪一位，然 后把各次乘得 的数加起来。4.整数除 法计算法则：先从被除数的高位除 起，除数是几 位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一 位，除到被除 数的哪一位，商就写在哪一 位的上面。如 果哪一位上不 够商 1，要补“0”占位。每 次除得的余 数要小于除数。5.小数乘 法法则：先按 照整数 乘法的计算法 则算出积，再 看因数中共有 几位小数，就 从积的右边起 数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。6.除数是 整数的小数除 法计算 法则：先按照 整数除法的法 则去除，商的 小数点要和被 除数的小数点 对齐；如果 除到被除数的 末尾仍有余数，就在余数后

27、 面添“0”，再 继续除。7.除数是 小数的除法计 算法则：先移动除数 的小数点，使 它变成整数，除数的小数点 也向右移动几 位（位数不 够的补“0”），然后按照除 数是整数的除 法法则进行计 算。8.同分母 分数加减法计 算方法:同分 母分数相加减，只把 分子相加减，分母不变。9.异分母 分数加减法计 算方法:先通 分，然后按照 同分母 分数加减法的 的法则进行计 算。10.带分 数加减法的计 算方法:整数 部分和分数部 分分别 相加减，再把 所得的数合并 起来。11.分数 乘法的计算法 则:分数 乘整数，用分 数的分子和整 数相乘的积作 分子，分母不 变；分数乘分 数，用分子 相乘的积作分

28、 子，分母相乘 的积作分母。12.分数 除法的计算法 则:甲数 除以乙数（0 除外），等于 甲数乘乙数的 倒数。（六）运算顺 序1.小数四 则运算的运算 顺序和 整数四则运算 顺序相同。2.分数 四则运算的运算 顺序和 整数四则运算 顺序相同。3.没有括 号的混合运算:同级运 算从左往右依 次运算；两级 运算 先算乘、除法，后算 加减法。4.有括号 的混合运算:先算小括 号里面的，再 算中括号里面 的，最后算括 号外面的。5.第一级 运算：加法和 减法叫 做第一级运算。6.第二级 运算：乘法和 除法叫 做第二级运算。五应用（一）整数和小数 的应用1 简单应用题（1）简单应用题：只含有一种 基本

29、数量关系，或用一步运 算解答的应用 题，通常叫做 简单应用题。（2）解题步骤：a 审题 理解题 意：了解 应用题的 内容，知 道应用题的条件和问题。读 题时，不 丢字不添 字边读边思考，弄明白题 中每句话的意 思。也可以复 述条件和问题，帮助理解题 意。b 选择算法和列 式计算：这是解答应用题的中 心工作。从题 目中告诉什么，要求什么着 手，逐步根据所给的条件 和问题，联系 四则运算的含 义，分析数量 关系，确定算 法，进行解答 并标明正确的 单位名称。C 检验：就是根据应 用题的条件 和问题进行检 查看所列算式 和计算过程是 否正确，是否 符合题意。如 果发现错误，马上改正。d 答案：根据计

30、 算的结果，先口答，逐步过渡 到笔答。(3)解答加法应用 题：a 求总数的 应用题：已知 甲数是 多少，乙数是 多少，求甲乙 两数的和是多 少。b 求比一个数多 几的数应用题：已知甲数是多 少和乙数比甲 数多多少，求 乙数是多少。(4)解答减法应用 题：a 求剩余的 应用题：从已 知数中 去掉一部分，求剩下的部分。-b 求两个 数相差的多少 的应用 题：已知甲乙 两数各是多少，求甲数比乙 数多多少，或 乙数比甲数少 多少。c 求比一个 数少几的数的 应用题：已知甲数是 多少，乙数 比甲数少多少，求乙数是多 少。(5)解答乘法应 用题：a 求相同加 数和的应用题：已知 相同的加数和 相同加数的个

31、 数，求总数。b 求一个数的几 倍是多少的应用题：已知一个 数是多少，另 一个数是它的 几倍，求另一 个数是多少。(6)解答除法应 用题：a 把一个数 平均分成几份，求每 一份是多少的 应用题：已知 一个数和把这 个数平均分成 几份的，求每 一份是多少。b 求一个数里包 含几个另一个数的应用题：已 知一个数和每 份是多少，求 可以分成几份。C 求一个 数是另一个数 的的几倍 的应用题：已 知甲数乙数各 是多少，求较 大数是较小数 的几倍。d 已知一个数的 几倍是多少，求这个数的应用 题。（7）常见的数量 关系：-总价=单价 数量-路程=速度 时间-工作总 量=工作时间 工效-总产量=单产 量数

32、量2 复合应用题（1）有两个或两 个以上的基本 数量关系组成 的，用两步或 两步以上运算 解答的应用题，通常叫做复 合应用题。（2）含有三个已 知条件的两步 计算的应用题。-求比两个数 的和多（少）几个 数的应用题。-比较两数差 与倍数关系 的应用 题。（3）含有两个已 知条件的两步 计算的应用题。-已知两数相 差多少（或 倍数关 系）与其中一 个数，求两 个数的和（或差）。-已知两数之 和与其中一 个数，求两个数相差 多少（或倍数 关系）。（4）解答连乘连 除应用题。（5）解答三步计 算的应用题。（6）解答小数计 算的应用题：小数计算的加 法、减法、乘 法和除法的应 用题，他们的 数量关系、

33、结 构、和解题 方式都与正式 应用题基本相 同，只是在已 知数或未知数 中间含有小数。3 典型应用题具有 独特的结构特 征的和特定的 解题规律的复 合应用题，通 常叫做典型应 用题。（1）平均数问题：平均数是等 分除法的发展。-解题关键：在于确定总 数量和 与之相对应的 总份 数。-算术平均数：已知几个 不相等 的同类量和与 之相对应的份 数，求平均每 份是多少。数 量关系式：数 量之和数量的 个数=算术平均 数。-加权平均数：已知两个 以上若 干份的平均数，求总平均数 是多少。-数量关 系式（部分 平均数权数）的总和（权 数的和）=加权平均数。-差额平均数：是把各个大于或小于标准数 的部分之

34、和被 总份数均分，求的是标准数 与各数相差之 和的平均数。-数量关系式：（大 数小数）2=小数应得数最大数 与各数之差的 和总份数=最大 数应给数最大数与 个数之差的和 总份数=最小数 应得数。例：一辆汽 车以每小时 100 千米 的速度从甲 地开往乙地，又以每小时 60 千米的速 度从乙地开往 甲地。求这辆 车的平均速度。分析：求汽车的平 均速度同样可 以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路 程设为“1”，则汽车行驶的 总路程为“2”，从 甲地到乙地 的速度 为 100，所 用的时间为，汽车 从乙地到甲地 速度为 60 千米，所用 的时间是，汽 车共行的时间 为 +=,汽车的平均 速度为 2

35、=75（千 米）（2）归一问题：已知相互关联 的两个量，其中 一种量改变，另一种量也随 之而改变，其变化的规律是 相同的，这种问题称之 为归一问题。-根据求“单一 量”的步骤的多少，归一问题可 以分为一次归 一问题，两次 归一问题。-根据球痴单 一量之后，解题采 用乘法还是除 法，归一问题 可以分为正归 一问题，反归 一问题。-一次归一问 题，用一步 运算就 能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”-两次归一问 题，用两步 运算就 能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”-正归一问题：用等分除 法求出“单一量”之后，再用乘法计 算结果的归一 问题。-反归一问题：用等分除 法求出“单一量

36、”之后，再用除法计 算结果的归一 问题。-解题关键：从已知的一 组对应 量中用等分除 法求出一份的 数量（单一量），然后以它 为标准，根据 题目的要求 算出结果。数量关 系式：单一 量份数=总数量（正归一）-总数量 单一 量=份数（反归 一）例 一个 织布工人，在七月份织 布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米，需要多 少天？分析：必须先求出 平均每天织布 多少米，就是 单一量。693 0（477 4 31）=45（天）（3）归总 问题：是已知单位数 量和计量单位 数量的个数，以及不同的单 位数量（或单 位数量的个数），通过求 总数量求得单 位数量的个数（或单位数量）。-特点：两种

37、相关联的量，其中 一种量变化，另一种量也跟 着变化，不过 变化的规律相 反，和反比例 算法彼此相 通。-数量关系式：单位数量 单位 个数 另一个单 位数量 =另一个 单位数量单位数 量单位 个数另一个单 位数量=另一个单 位数量。例 修一 条水渠，原 计划每天修 800 米，6 天修完。实 际 4 天修完，每天修了多 少米？分析：因为 要求出每天修 的长度，就必 须先求出水渠 的长度。所以 也把这类应用 题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单 一量，再求 总量，归总问题是 先求出总 量，再求单一量。80 0 6 4=1200（米）（4）和差问题：已知大小两个 数的和，以及 他们的差，求

38、 这两个数各是 多少的应用题 叫做和差问题。-解题关键：是把大小两 个数的 和转化成两个 大数的和（或 两个小数的和），然后再求 另一个数。-解题规律：（和差）2=大数大数差=小数（和 差）2=小数和 小数=大数例 某加工厂甲班和 乙班共有工 人 94 人，因工作需 要临时 从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙 班比甲班人数少 12 人，求原来 甲班和乙班各 有多少人？分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有 变化，现在把 乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 12，由此 得到现 在的乙班是（9 4 12）2=41（人），乙班在 调出 46 人之 前应该为 41+46=87（人），甲班为 9

39、 4 87=7（人）（5）和倍问题：已知两个数的 和及它们之间 的倍数 关系，求两个数各 是多少的应用 题，叫做和倍 问题。-解题关键：找 准标准数（即1 倍数）一般说来，题中说 是“谁”的几倍，把谁就确定为 标准数。求出倍数和之后，再求 出标准的数量 是多少。根据 另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关 系，再去求另一个数（或 几个数）的数 量。-解题规律：和倍数和=标准 数标准数倍数=另一个 数例:汽车运 输场有大小货 车 115 辆，大货 车比小货车的 5 倍多 7 辆，运 输场有大货 车和小汽车各 有多少辆？分析：大货车比小 货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115

40、辆内，为了使总数与（5+1）倍对 应，总车 辆数应（115-7）辆。列式 为（115-7）（5+1）=18（辆），18 5+7=97（辆）（6）差倍问题：已知两个数的 差，及两个数 的倍数关系，求两个数各是 多少的应用题。-解题规律：两个数的差（倍 数 1）=标准 数标准数 倍数=另一个数。例 甲乙 两根绳子，甲绳长 63 米，乙绳长 29 米，两根 绳剪去同样的 长度，结果甲 所剩的长度是 乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳 所剩长度各 多少米？各减 去多少米？分析：两根绳子剪 去相同的一段，长度差没 变，甲绳所剩的 长度是乙绳的 3 倍，实比 乙绳多（3-1）倍，以乙 绳的长度为标 准数。列式（

41、63-29）（3-1）=17（米）乙绳剩下的长度，17 3=51（米）甲绳 剩下的长度，29-17=12（米）剪去 的长度。（7）行程问题：关于走路、行 车等问题，一 般都是计算路 程、时间、速 度，叫做行程 问题。解答这 类问题首先 要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差 等概念，了 解他们之间的关系，再根据 这类问题的规 律解答。-解题关键及 规律：-同时同地相 背而行：路 程=速度 和时间。-同时相向而 行：相遇时 间=速度和时间-同时同向而 行（速度慢 的在前，快的在后）：追及时间=路程 速度差。同时同 地同向而行（速度慢的 在后，快的在 前）：路程=速度 差时间。例 甲在

42、乙的后面 28 千米，两 人同时同向而 行，甲每小时 行 16 千米，乙每小时行 9 千米，甲几 小时追上乙？分析：甲每小时比 乙多行（16-9）千米，也就 是甲每小时 可以追近乙（16-9）千米，这是速度差。已知 甲在乙的后面 28 千米（追击 路程），28 千米 里包 含着几个（16-9）千米，也就是追击所 需要的时间。列式 2 8 （16-9）=4（小时）（8）流水问题：一般是研究船 在“流水”中航行 的问题。它 是行程问题中 比较特殊的一 种类型，它也 是一种和差 问题。它的特 点主要是考虑 水速在逆行和 顺行中的不同 作用。-船速：船在 静水中航行 的速度。-水速：水流 动的速度。-

43、顺水速度：船顺流航行 的速度。-逆水速度：船逆流航行 的速度。-顺速=船速 水速-逆速=船速 水速-解题关键：因为顺流速 度是船 速与水速的和，逆流速度是 船速与水速的 差，所以流水 问题当作和差 问题解答。解题时要以水 流为线索。-解题规律：船行速度=（顺水 速度+逆流速度）2流水 速度=（顺流速 度-逆流速 度）2路程=顺流速度 顺流航 行所需 时间路程=逆流速度 逆流航 行所需 时间例 一只 轮船从甲地 开往乙地顺 水而行，每 小时行 28 千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比 顺水多 行 2 小时，已 知水速每小 时 4 千米。求 甲乙两地相 距多少千米？分析：此题必须先 知道

44、顺水的速 度和顺 水所需 要的时间，或 者逆水速度和 逆水的时间。已知顺水速度 和水流 速度，因此不难算出 逆水的速 度，但顺水所用的 时间，逆水 所用的时间不 知道，只知道 顺水比逆水少 用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算 出顺水从甲地 到乙地的所用 的时间，这样 就能算出甲乙 两地的路程。列式为 28-4 2=20（千 米）2 0 2=40（千米）40 （4 2）=5（小时）28 5=140（千米）。（9）还原问题：已知某未知数，经 过一定的四 则运算后所 得的结果，求这个未知数的 应用题，我们叫做还原问 题。-解题关键：要弄清每一 步变化 与未知数的关 系。-解题规律：从最后结果出发

45、，采用与原题 中相反的运算（逆运算）方 法，逐步推导 出原数。-根据原题的 运算顺序列 出数量 关系，然后采 用逆运算的方 法计算推导出 原数。-解答还原问 题时注意观 察运算 的顺序。若需 要先算加减法，后算乘除法 时别忘记写括 号。例 某小 学三年级四 个班共有学 生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三 班调 6 人到 二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到 四班，则四 个班的人数相 等，四个班原 有学生多少人？分析：当四 个班人 数相等时，应 为 168 4，以四班为例，它调给三班 3 人，又从 一班调入 2 人，所以四班 原有的人数减 去 3 再加上 2 等于平均数。四班原

46、有 人数列式为 168 4-2+3=43（人）一班 原有人数列式 为 168 4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为 168 4-6+6=42（人）三班 原有人 数列式为 168 4-3+6=45（人）。（10）植树问题：这类应用题是 以“植树”为内容。凡 是研究 总路程、株距、段数、棵树四种数量关系 的应用题，叫做植树问题。-解题关键：解答植树问 题首先 要判断地形，分清是否封闭 图形，从而确 定是沿线段植 树还是沿周长 植树，然后 按基本公式进 行计算。-解题规律：沿线段植树-棵树=段数+1棵树=总路 程株距+1-株距=总路程（棵树-1）总路程=株距（棵树-1）-沿周长 植树-棵树=总

47、路程株距-株距=总路程棵树-总路程=株距棵树例 沿公 路一旁埋电 线杆 301 根，每相邻的两 根的间距是 50 米。后来全 部改装，只 埋了 201 根。求改装后每 相邻两根的间 距。分析：本题是 沿线段埋电线杆，要把电线 杆的根数减掉一。列式为 50（301-1）（201-1）=75（米）（11）盈 亏问题：是在等分除 法的基础上发 展起来的。他的特点是 把一定数量的物品，平均 分配给一定 数量的 人，在两次 分配中，一次有 余，一次不 足（或两 次都有 余），或 两次都不足），已知所余和不 足的数量，求物 品适量和参加 分配人数的问 题，叫做盈亏 问题。-解题关键：盈亏问题的 解法要 点

48、是先求两次 分配中分配者 没份所得物品 数量的差，再 求两次分配中 各次共分物 品的差（也称 总差额），用 前一个差 去除 后一个差，就 得到分配者的 数，进而再求 得物品数。-解题规律：总差额 每人差额=人数-总差额的求 法可以分为 以下四 种情况：-第一次多余，第二次不 足，总 差额=多余+不足-第一次正好，第二次多 余或不 足，总差额=多余 或不足-第一次多余，第二次也 多余，总差额=大多余-小多余-第一次不足，第二次也 不足，总差额=大不足-小不足例 参加 美术小组的 同学，每个人 分的相同的支 数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔 多余 5 支。求

49、 每人 分得几 支？共有多少 支色铅笔？分析：每个同学分 到的色笔相等。这个活动小 组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔 多出了（25-5）=20 支，2 个人 多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（25-5）（12-10）=10（支）10 12+5=125（支）。（12）年龄问 题：将差为一定值的两个数作 为题中的一个 条件，这种应 用题被称为“年龄问题”。-解题关键：年龄问题 与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增 长，但大 小两个 不同年龄 的差 是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。例 父亲 48

50、 岁，儿 子 21 岁。问几年前父亲 的年龄是儿子 的 4 倍？分析：父子 的年龄差为 48-21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子 的 4 倍，可知父子 年龄的倍数差 是（4-1）倍。这样可以 算出几 年前父子的年 龄，从而可以 求出几年前父 亲的年龄是儿 子的 4 倍。列 式为：21-（48-21）（4-1）=12（年）（13）鸡兔问 题：已知“鸡兔”的总头数和总腿 数。求“鸡”和“兔”各多少只的 一类应用 题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问 题-解题关键：解答鸡兔问 题一般 采用假设法，假设全是一种 动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出 现的腿数 差，可推算出 某一种的头数