小学奥数数论50题.pdf

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1、数论数论 5050 题题1 1 由由 1 1，3 3，4 4，5 5，7 7，8 8 这六个数字所组成的六位数中，能被这六个数字所组成的六位数中，能被 1111 整除的最大的数是多少？整除的最大的数是多少？【分析】【分析】各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第 2 位是 7，14-8=6那么第 3 位一定是 5，第 5 位为 1该数最大为 875413。2 2 请用请用 1 1，2 2，5 5，7 7，8 8，9 9 这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位

2、数，使得它能被7575 整除，并求出这整除，并求出这样的五位数有几个？样的五位数有几个？【分析】【分析】75=325若被 3 整除，则各位数字和是 3 的倍数，1+2+5+7+8+9=32所以应该去掉一个被 3 除余 2 的，因此要么去掉 2 要么去掉 8先任给一个去掉 8 的，17925 即满足要求1）若去掉 8则末 2 位要么是 25 要么是 75，前 3 位则任意排，有 3！=6 种排法因此若去掉 8 则有 2*6=12 个满足要求的数2）若去掉 2则末 2 位只能是 75，前 3 位任意排，有 6 种排法所以有 6 个满足要求综上所述，满足要求的五位数有18 个。3 3 已知道六位数已

3、知道六位数 2020279279 是是 1313 的倍数，求中的数字是几？的倍数，求中的数字是几？【分析】【分析】根据被 13 整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-），它应该是 13 的倍数，因为 13|78,所以 9-=8中的数字是 14 4 某自然数，某自然数，它可以表示成它可以表示成 9 9 个连续自然数的和，个连续自然数的和，又可以表示成又可以表示成 1010 个连续自然数的和，个连续自然数的和，还可以表示成还可以表示成 1111 个连续自个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（200520

4、05 全国小学数学奥赛）全国小学数学奥赛）【分析】【分析】可以表示成连续 9 个自然数的和说明该数能被9 整除，可以表示成连续10 个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续 11 个自然数的和说明该数能被11 整除因此该数是9,5,11=495，因此符合条件的最小自然数是495。5 5 一次考试中，某班同学有一次考试中，某班同学有111考了优秀，考了优秀，考了良好，考了良好，考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超327过过 5050，求有多少人不及格？，求有多少人不及格？【分析】【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却

5、是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是 2，3，7 的倍数，也就是 42 的倍数，又因为人数不超过50，所以只能是 42 人，因此不及格的人数为（1-111-）42=1 人2376 6（1 1）从）从 1 1 到到 39983998 这这 39983998 个自然数中，有多少个能被个自然数中，有多少个能被 4 4 整除？整除？（2 2）从）从 1 1 到到 39983998 这这 39983998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 4 整除？整除？（第第1414届迎春杯考题）届迎春杯考题）【分析】【分析】（1）3998

6、/4=999.6 所以 1-3998 中有 996 个能被 4 整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的因此我们考虑分组的方法我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位然后对这4000个数做如下分组（0000，1000，2000，3000）（0001，1001，2001，3001）（0002，1002，2002，3002）.(0999，1999，2999，3999)共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数但注意到我们补充了一个0000进去。所以原来的3998个数里，有999个数字和

7、是4的倍数。7 7 是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 12 3 4 5 6 7 8 9 10=362 3 4 5 6 7 8 9 10=36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。【分析】【分析】无论是加还是减，对奇偶性没有影响，如果全是加号的话，那么算出的结果是55 是个奇数，因此某些加号变成减号后所得结果仍然是奇数，不可能是36，因此不可能使等式成立。8 8 黑板上写着两个数黑板上写着两个数 1 1 和和 2 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数，按下

8、列规则增写新数，若黑板有两个数 a a 和和 b b，则增写，则增写 a ab ba ab b 这个数，比如可这个数，比如可增写增写 5 5（因为（因为 1 12 21 12 25 5）增写）增写 1111（因为（因为 1 15 51 15 51111），一直写下去，问能否得到，一直写下去，问能否得到20082008，若不能，说明，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（理由，若能则说出最少需要写几次得到？（20012001 年同方杯试题改编）年同方杯试题改编）【分析】【分析】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有 2个奇数，一个偶

9、数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用 2 个奇数进行运算，则新添的数是奇数奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。因此无论我们怎么算都只能增写奇数，不可能写出2008 这个偶数。9 9 从从 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9 中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有几种不同的选法？中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有几种不同的选法？【分析】【分析】3 个数的和是偶数有2 种可能1）三个都是偶数，从2，4，6，8里选3个有4种可能2）两个奇数一个偶数，从1，3，5，7，9里选2个有10种可能，从2，4，6，8里选一个有4种可能，根据乘

10、法原理有40种选法综上所述，共有44种不同的选法。1010已知已知 3 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这 3 3 个质数的乘积是多少？个质数的乘积是多少？【分析】【分析】最小的合数是 4，其平方为 16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2那么其余2个的和是14只能一个是3一个是11因此这3个质数的乘积是2311=661111有有 19971997 个奇数，它们的和等于它们的乘积。其中有三个数不是个奇数，它们的和等于它们的乘积。其中有三个数不是1 1，而是三个不同的质数。那么，这样的三个，而是三个不同的质数。那么，这样的三

11、个质数是质数是、【分析】【分析】设这 3 个不同的质数分别是 a，b，c根据题意 abc=1994+a+b+c这3个质数不可能都很大，假如最小的是11的话，那么11*13*17=2431,太大了所以a，b，c中一定有一个是3，5，7中的若a=3，那么3bc=1997+b+c,c=(1997+b)/(3b-1)试验一下发现b=5可以使c是整数，c=143，但143不是质数，b=7，11，13都不行那么我们不妨再让a=5，那么5bc=1999+b+cc=(1999+b)/(5b-1)b=7时 算得c=59，是质数，符合要求因此a=5，b=7，c=59为满足条件的三个质数。1212利用约数个数公式利

12、用约数个数公式1 1）分别求分别求1212，3535和和420420的约数个数的约数个数2 2）分别求）分别求4 4，6 6，和，和2424的约数个数的约数个数问题问题1 1：对于：对于1 1）的结果，你是否发现了什么规律？）的结果，你是否发现了什么规律？问题问题2 2：对于：对于2 2）该规律是否仍然成立？）该规律是否仍然成立？问题问题3 3：该规律成立的条件是什么，并证明你的结论：该规律成立的条件是什么，并证明你的结论【分析】【分析】1）d(12)=6 d(35)=4 d(420)=24规律：1235=420d(12)d(35)=d(420)2)d(4)=3 d(6)=4 d(24)=8,

13、规律不再成立3）规律是若(a,b)=1，则d(a)d(b)=d(ab)证明用约数个数公式即可1313一个数的完全平方有一个数的完全平方有 3939 个约数，求该数的约数个数是多少？个约数，求该数的约数个数是多少？【分析】【分析】设该数为 p1a1p2a2pnan那么它的平方就是p1(2a1)p2(2a2)pn(2an)因此(2a1+1)(2a2+1)(2an+1)=39由于39=313=139（1）所以2a1+1=3,2a2+1=13a1=1,a2=6故该数的约数个数为(1+1)(6+1)=14（2）或者：2a1+1=39a1=19,那么19+1=20个1414从从 1/2 1/4 1/6 1

14、/8 1/10 1/121/2 1/4 1/6 1/8 1/10 1/12 中去掉中去掉 2 2 个分数，可使得剩下个分数，可使得剩下 4 4 个分数之和为个分数之和为 1 1，问去掉哪两个？（希望杯，问去掉哪两个？（希望杯试题）试题）【分析】【分析】单纯试的方法当然可以，但本题如果我们对数论知识理解透彻并应用上的话不需要任何计算就可以“看出”去掉的是 1/8 和 1/10理由如下1）因为分母里8是独一无二的有3个质因子2的，所以必须去掉2）因为10是分母里独一无二的含有质因子5的，所以也必须去掉1515甲乙两数最小公倍数是甲乙两数最小公倍数是 6060，最大公约数是，最大公约数是 6 6，已

15、知甲数是，已知甲数是 1212，求乙数。，求乙数。【分析】【分析】直接用公式a,b(a,b)=ab，代入即得乙数=301616已知甲乙两数的和加上它们的最大公约数恰好等于它们的最小公倍数，求它们的最小公倍数除以它们的最大已知甲乙两数的和加上它们的最大公约数恰好等于它们的最小公倍数，求它们的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商是几？公约数所得的商是几？【分析】【分析】设甲数为 a，乙数为 b，并设 a=（a,b）a，b=(a,b)b,则a,b=(a,b)ab根据题意得(a,b)ab=（a,b）a+(a,b)b+（a,b）两边同时约掉(a,b)得到 ab=a+b+1所以ab-a-b+1=2 (a

16、-1)(b-1)=2得a=3 b=2最小公倍数除以最大公约数得到的是ab=32=61717三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）【分析】【分析】这样的数有 345 8910 151617 242526容易发现它们的最大公约数是345=60下面给出证明，首先任意连续3个正整数中必然有一个是3的倍数，所以美妙数一定能被3整除，其次，任何一个完全平方数要么是4的倍数要么

17、被8除余1，所以美妙数一定也能被4整除最后，任何一个完全平方数的末位数字都是0，1，4，5，6，9，无论是哪一个，它们自己加上前后各一个数中必然有一个是0或5，因此美妙数一定也是5的倍数综上所述，所有美妙数的最大公约数是6018181010 个非零自然数的和是个非零自然数的和是 10011001，则它们的最大公约数的最大值是多少？（，则它们的最大公约数的最大值是多少？（20022002 我爱数学少年夏令营）我爱数学少年夏令营）【分析】【分析】设这 10 个非零自然数分别是a1,a2,a3,.a10,它们的最大公约数是a那么a1，a2，,a10都是a的倍数因此1001是a的倍数，1001=7*1

18、1*13a是1001的约数，显然a不能取1001，若a取143，则a1+a2+a10至少是1430也不可能因此a最大是7*13=911919一个偶数，它的约数里最大的两个之和是一个偶数，它的约数里最大的两个之和是 120120，求该数是多少？，求该数是多少？【分析】【分析】设这个数是 2a那么它最大的两个约数显然是2a 和 a2a+a=120解得 a=40所以 2a=24080所以这个数是80。2020已知一个苹果重已知一个苹果重【分析】【分析】54千克，一个梨重千克，一个梨重千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？241

19、5本题实质上就是一个求分数得最小公倍数的问题，这类问题有固定的解法，一般地，对于两个分数ca,ca，这里a,c代表 a,b 的最小公倍数，(b,d)代表 b,d 的最大公约数。和，它们的最小公倍数是(b,d)db54和的最小公倍数1524解法一：根据上述分析本题实质上是求由上面给出的结论知道这个数是4，520=（15，24）3所以苹果和梨的总重量都是因此苹果个数是20千克3420=25 个315520梨的个数是=32 个。324解法二：设苹果有 x 个，梨有 y 个所以54x=y，推出 x:y=25:321524故 x 最小是 25，y 最小是 32。2044x=253151520所以总重量是

20、千克。32121一个正整数加上一个正整数加上 3232 和和 132132 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【分析】【分析】设该正整数为 a，根据题意得22a+32=m a+132=n两式相减得(n+m)(n-m)=100,注意到n+m和n-m的奇偶性相同所以n+m=50,n-m=2解得n=26 m=24因此a=2626-132=544所以这个正整数是5442222一间屋子里有编号为一间屋子里有编号为 1-1001-100 的的 100100 盏灯，全都是亮的，有编号为盏灯，全都是亮的，有编号为 1-1001-100 的的 100100 名同学依

21、次进入房间拉灯，规名同学依次进入房间拉灯，规则如下：则如下：第一名同学把所有的灯都拉了一遍，第一名同学把所有的灯都拉了一遍，第二名同学拉了所有号码是第二名同学拉了所有号码是 2 2 的倍数的灯，的倍数的灯，第第 3 3 名同学拉了所有号名同学拉了所有号码是码是 3 3 的倍数的灯第的倍数的灯第 100100 名同学拉了所有号码是名同学拉了所有号码是 100100 的倍数的灯，问最后有几盏灯是灭的？的倍数的灯，问最后有几盏灯是灭的？【分析】【分析】要考虑灯是亮的还是灭的，关键看灯被拉了奇数次还是偶数次，因为原来都亮，要我们求灭的灯的个数，那么也就是求那些被拉了奇数次的灯有几个注意拉灯的规则我们不

22、难发现，每盏灯被拉的次数恰好是它的约数的个数又因为约数个数是奇数等价于该数是完全平方数，因为1-100中的完全平方数有10个因此最后有10盏灯是灭的。2323一间屋子里有一间屋子里有 100100 盏灯，全都是亮的，有编号为盏灯，全都是亮的，有编号为 1-1001-100 的的 100100 名同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名名同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名同学先拉同学先拉 1 1 号灯，然后隔一个拉一个；第号灯，然后隔一个拉一个；第2 2 名同学先拉名同学先拉 1 1 号灯，然后隔两个拉一个；第号灯，然后隔两个拉一个；第3 3 名同学先拉名同学先拉 1 1 号灯，然号灯，然后隔

23、后隔 3 3 个拉一个；第个拉一个；第 100100 名同学先拉名同学先拉 1 1 号灯，然后隔号灯，然后隔 100100 个拉一个，问最后有几盏灯是灭的？个拉一个，问最后有几盏灯是灭的？【分析】【分析】我们要求的仍然是被拉了奇数次的灯有几个注意到规则已经产生变化，方便起见我们先举一个简单的例子个大家看1号同学拉的都是被2除余1的2号同学拉的都是被3除余1的100号同学拉的是被100除余1的我们来看7号灯，7被谁除余1呢，那么就要看7-1能被谁整除了，注意到6有4个约数，1，2，3，6，但被1除余1的并没被拉过，因此7号灯被3个同学拉过（2号，3号，6号）由此可见，n号灯被拉的次数等于（n-1

24、）的约数个数-1（特别的，1号灯被拉了100次）我们要求的是被拉奇数次的，那么就要使n-1的约数个数是偶数，即不是完全平方数0-99中的完全平方数有10个，所以不是完全平方数的就有90个，因此最后有90盏灯是灭的。2424已知已知 a,b,ca,b,c 都是整数，且（都是整数，且（a,b,ca,b,c）=1,=1,满足满足 ab+bc=ac,ab+bc=ac,求证求证 a-ba-b 是完全平方数是完全平方数【分析】【分析】证明：ab+bc=ac，变形得 ac-ab-bc=0,即 ac-ab-bc+b2=b2因此(a-b)(c-b)=b2任取a-b的一个质因子q（若无质因子那么a-b=1，是完全

25、平方数）那么b的平方就能被q整除，由于q是质数，所以b就能被q整除，又因为a-b可被q整除那么a也能被q整除。若c-b也有质因子q，那么c就也能被q整除了，和（a，b，c）=1矛盾所以c-b里无因子q由此可知b2里所含的质因子q都在a-b中，必然是偶数个（完全平方数的每个质因子都是偶数个）由q的任意性可知，a-b里每个质因子的指数都是偶数，因此a-b是完全平方数。2525已知已知 20082008 被一些自然数去除，得到的余数都是被一些自然数去除，得到的余数都是 1010这些自然数共有几个？（这些自然数共有几个？（1515 届迎春杯）届迎春杯）【分析】【分析】2008 被这样的自然数除余数是1

26、0，那么 1998 就是这些自然数的倍数，换句话说我们要求1998的约数有几个，但注意到除数比余数大，所以我们要求的是1998的约数中那些大于10的，枚举显然不可取，我们考虑用约数个数公式1998=2*33*37,d(1998)=(1+1)*(3+1)(1+1)=16其中小于10的约数有1，2，3，6，9去掉它们还有11个因此这样的自然数共有11个。2626有一串数：有一串数：1 1，3 3，8 8，2222，6060，164164，448448，其中第一个数是，其中第一个数是 1 1，第二个数是，第二个数是 3 3，从第三个数起，每个数恰好，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的是前两个数

27、之和的 2 2 倍。那么在这串数中，第倍。那么在这串数中，第 20002000 个数除以个数除以 9 9 的余数是的余数是【分析】【分析】把这串数除以 9 的余数列出来如下1，3，8，4，6，2，7，0，5，1，3，.发现恰好每9个一循环2000被9除余数是2，所以第2000个和第2个是一样的，除以9的余数是32727用自然数用自然数 n n 去除去除 6363，9191，129129 所得余数之和是所得余数之和是 2525，求，求 n n【分析】【分析】方便起见我们把 3 次除法的商和余数都设出来63n=ar191n=br2129n=cr3r1+r2+r3=25根据带余除法，(a+b+c)n

28、+(r1+r2+r3)=63+91+129即(a+b+c)n=258=2*3*43试验后易知n=432828一个小于一个小于 200200 的自然数，被的自然数，被 7 7 除余除余 2 2，被，被 8 8 除余除余 3 3，被，被 9 9 除余除余 1 1，这个数是多少？，这个数是多少？【分析】【分析】注意到 7-2=8-3=5也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的倍数因此这个数只可能是56-5 56*2-5 56*3-5经检验发现只有56*3-5=163被9除余1符合要求，因此该数为1632929一堆糖果，如果每一堆糖果，如果每 2 2 块分一堆剩块分一堆剩 1 1 个，每个，

29、每 3 3 块分一堆剩块分一堆剩 1 1 个个.每每 1010 个分一堆也剩个分一堆也剩 1 1 个，且这堆糖果的个数个，且这堆糖果的个数在在 99-500099-5000 之间，求这堆糖果的个数？之间，求这堆糖果的个数？【分析】【分析】糖果数减掉 1 的话就能同时被 2，3，4，10 整除1,2,3,10=2520因此糖果数被2520除余1，在题目要求的范围里这样的数只有2521，因此这堆糖果的个数是2521。3030若有一数介于若有一数介于 300300 与与 400400 之间，以之间，以 3 3 除剩除剩 1 1，以，以 8 8 除剩除剩 5 5，以，以 1111 除剩除剩 4 4。问

30、此数为何？。问此数为何？【分析】【分析】下面介绍一种通用的方法第一步：先找一个被3除余1，被8和11同时整除的数，容易找到是88第二步：找一个被8除余1，被3和11同时整除的数，容易找到是33第三步：找一个被11除余1，被3和8同时整除的数，容易找到是144最后一步，算出该数1*88+5*33+4*144=829但该数不在300-400之间怎么办呢？我们只需要减去3,8,11=264那么该数被3，8，11除的余数都不会改变，829-264-264=301因此所求数为301，经检验的确符合要求3131已知三个连续自然数，它们都小于已知三个连续自然数，它们都小于 20022002，其中最小的一个自

31、然数能被，其中最小的一个自然数能被 1313 整除，中间的一个自然数能被整除，中间的一个自然数能被 1515 整整除，最大的一个自然数能被除，最大的一个自然数能被 1717 整除。那么，最小的一个自然数是多少？整除。那么，最小的一个自然数是多少？（第（第1818届迎春杯）届迎春杯）【分析】【分析】假设中间一个是 a，那么 a 被 13 除余 1，被 15 整除，被 17 除余 16先满足前2个条件，被15整除且被13除余1因为15除以13余2，2*7=14除以13余1，所以该数为15*7=105如果加上13，15=195仍然符合前2条，因此该数形如105+195n我们只需要满足该数被17除余1

32、6即可105+195n=(102+187n)+(3+8n)所以8n+3被17除余16即可，即8n被17除余13，n=8即可满足要求因此a=105+195*8=1665所以最小一个自然数是16643232红、黄、白和蓝色卡片各红、黄、白和蓝色卡片各 1 1 张，每张上写有张，每张上写有 1 1 个数字，小明将这个数字，小明将这 4 4 张卡片如下图放置，使它们构成张卡片如下图放置，使它们构成 1 1 个四位个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的 1010 倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什

33、么数字，计算结果都是果都是 19981998。问：红、黄、蓝。问：红、黄、蓝 3 3 张卡片上各是什么数字？张卡片上各是什么数字？【分析】【分析】设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位数字之和的 10 倍是10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，这个四位数与它的各位数字之和的10 倍的差是990a3+90a2-9a0=1998，110a3+10a2-a0=222。比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2。所以红色卡片上是 2，黄色卡片上是 1，

34、蓝色卡片上是 8。3333筐里共有筐里共有 9696 个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有不少，有_种不同的拿法种不同的拿法.【分析】【分析】按题目的规定，每次拿的个数都是96 的约数(除 96 和 1 之外)，这样问题转化为求 96 的约数个数.将 96分解质因数，得 96=222223.除去96 和 1 之外，96 的约数有 10 个：答：有 10 种不同拿法.2；3；4；6；8；12；16；24；32；48.3434十二张扑克牌，十二张扑克牌，2 2

35、 点、点、6 6 点、点、1010 点各四张点各四张.你能从中选出七张牌，使上面点数之和等于你能从中选出七张牌，使上面点数之和等于 5252 吗吗?说明理由说明理由.【分析】【分析】每张牌的点数除以 4，都余2，所以任取七张，点数之和被4 除都余 2，而52 被 4 整除，所以不能使点数之和等于 52。3535现有三个自然数，它们的和是现有三个自然数，它们的和是 11111111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【分析】【分析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是 111

36、1”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111 的约数。因为 1111=10111，它的约数只能是 1，11，101 和 1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111 不可能是三个自然数的公约数，而 101 是可能的，比如取三个数为101，101 和 909。所以所求数是 101。3636如果如果 N N 是是 1 1，2 2，3 3，19981998，19991999，20002000 的最小公倍数，那么的最小公倍数，那么 N N 等于多少个等于多少个 2 2 与与 1 1 个奇数的积？个奇数的积？【分析】【分析】因为210=1024，211

37、=20482000，每一个不大于2000 的自然数表示为质因数相乘，其中2 的个数不多于10 个，而 1024=210，所以，N 等于 10 个 2 与某个奇数的积。3737求这样的三位数，它除以求这样的三位数，它除以 1111 所得的余数等于它的三个数字的平方和。所得的余数等于它的三个数字的平方和。【分析】【分析】三位数只有 900 个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为 x，y，z。由于任何数除以 11 所得余数都不大于 10，所以x2+y2+z210，从而 1x3，0y3，0z3。所求三位数必在以下数中：10

38、0，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310。不难验证只有 100，101 两个数符合要求。3838在在 1-6001-600 中，恰好有中，恰好有 3 3 个约数的数有几个？个约数的数有几个？【分析】【分析】我们只需要注意到有 3 个约数的数一定是质数的完全平方2,3,5,7,11,13,17,19,23这 9 个数的平方数在 1-600 之间共有 9 个符合要求3939有有 3 3 张扑克牌，牌面数字都在张扑克牌，牌面数字都在1010 以内。把这以内。把这3 3 张牌洗好后

39、，分别发给小明、小亮、小光张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3 3 人。每个人把自己人。每个人把自己牌的数字记下后，牌的数字记下后，再重新洗牌、再重新洗牌、发牌、发牌、记数，记数，这样反复几次后，这样反复几次后，3 3 人各自记录的数字的和顺次为人各自记录的数字的和顺次为 1313，1515，2323。问：问：这这 3 3 张牌的数字分别是多少？张牌的数字分别是多少？【分析】【分析】13+15+23=51，51=317。因为 1713，摸17 次是不可能的，所以摸了 3 次，3 张扑克牌数字之和是 17，可能的情况有下面15 种：1，6，101，7，91，8，82，5，102，6，92，7，

40、83，4，103，5，93，6，83，7，7(11)4，4，9(12)4，5，8(13)4，6，7(14)5，5，7(15)5，6，6只有第种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。这 3 张牌的数字分别是 3，5 和 9。4040写出写出 1212 个都是合数的连续自然数。个都是合数的连续自然数。【分析】【分析】分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100 以内最多可以写出 7 个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。解法 1：用筛选法可以求得在 113 与 127 之间共有 12

41、个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。分析二：如果 12 个连续自然数中，第1 个是 2 的倍数，第 2 个是 3 的倍数，第 3 个是 4 的倍数第 12 个是 13 的倍数，那么这 12 个数就都是合数。又 m+2，m+3，m+13 是 12 个连续整数，故只要m 是 2，3，13 的公倍数，这 12 个连续整数就一定都是合数。解法 2：设 m 为 2，3，4，13 这 12 个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，m+13 分别是 2 的倍数，3 的倍数，4 的倍数13 的倍数，因此 12 个数都

42、是合数。说明:我们还可以写出13！+2，13！+3，13！+13（其中 n！=123n）这 12 个连续合数来。同样，（m+1）！+2，（m+1）！+3，（m+1）！+m+1 是 m 个连续的合数。4141将将 100100 以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下 5 5 项工作叫做一次操作：项工作叫做一次操作：（1 1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；）将左边第一个数码移到数字串的最右边；（2 2）从左到右两位一节组成若干个两位数；）从左到右两位一节组成若干个两位数；（3 3）划去这些两位数中的合数；）划去这些两位数中的合数；（4 4

43、）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；（5 5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过问：经过 19991999 次操作，所得的数字串是什么？次操作，所得的数字串是什么？【分析】【分析】第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；第3次操作得数字串111731；第 4 次操作得数字串 1173；第 5 次操作得数字串 1731；第 6 次操作得数字串 7311；第 7 次操作得数字串3117；第 8 次操作得数字串 117

44、3。不难看出，后面以 4 次为周期循环，1999=4499+3，所以第 1999 次操作所得数字串与第7 次相同，是 3117。4242甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘 3636 人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的 1111 人与乙代人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍如果每个胶卷可拍 3636 张照片，那么拍完最后

45、一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？【分析】【分析】甲代表团坐满若干辆车后余 11 人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36 余 11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36 余 25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数乙数”张照片，因为每个胶卷拍36 张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数乙数”除以 36 的余数。因为甲数除以 36 余 11，乙数除以 36 余 25，所以“甲数乙数”除以 36 的余数等于 1125 除以

46、36 的余数。（1125）36=723，即最后一个胶卷拍了 23 张，还可拍 36-23=13（张）。4343(第五届小学数学报竞赛决赛第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数用某自然数a去除去除1992，得到商是，得到商是46，余数是，余数是r，求，求a和和r【分析】【分析】4444一个两位数除以一个两位数除以13的商是的商是6，除以，除以11所得的余数是所得的余数是6，求这个两位数，求这个两位数【分析】【分析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于136 78，并且小于13(61)91；又因因为1992是a的46倍还多r,得到199246 4314，得1992 464314，所

47、以a 43，r 14为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为7858345451013除以一个两位数，余数是除以一个两位数，余数是12求出符合条件的所有的两位数求出符合条件的所有的两位数【分析】【分析】1013121001，1001 71113，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,914646(2002年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商两数相除，商4余余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是则被除数是_【分析】【分析

48、】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为（415 4 88）（4 1）79，所以，被除数为794 83244747有一个整数，除有一个整数，除39,51,147所得的余数都是所得的余数都是3，求这个数，求这个数【分析】【分析】(法1)39336，1473144，(36,144)12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数5139 12，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,124848有一个大于有一个大

49、于1的整数，除的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数所得的余数相同，求这个数【分析】【分析】1014556，594514，(56,14)14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,144949甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、再三人每从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙

50、、再三人每人都是二赢一输，人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了可是甲发现自己输了 100100 点。点。请问：请问：开始时，开始时，甲手上有多少点甲手上有多少点?(?(每每局三人的点数总和保持不变局三人的点数总和保持不变)【分析】【分析】甲乙丙开始时1.6250.50.87510.2511.7520.520.53111100(1.625-1)1.625=2605050两个数的最大公约数是两个数的最大公约数是 2121，最小公倍数是，最小公倍数是 126126。这两个数的和是。这两个数的和是_【分析】【分析】12621=6 6=16=23所以