2017年高考全国卷Ⅰ理科数学试题及详细解析.pdf

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1、绝密启用前绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）理科数学理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1.已知集合A x x 1，B x 3 1，则（）AAB x x 0CAB x x 1【答案】ABAB R RDAB

2、【详解】A x x 1，B x 3x1x x 0A2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）B x x 0，AB x x 1，选 A14【答案】BAB8C12D4【详解】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为22 4，圆的面积为12，图中黑色部分的概率为2-1-则此点取自黑色部分的概率为248故选 B3.设有下面四个命题（）1p1：若复数z满足R R，则zR R；zp2：若复数z满足z2R R，则zR R；p3：若复数z1，z2满足z1z2R R，则z1 z2；

3、p4：若复数zR R，则zR RAp1，p3【答案】B【详解】p1:设z a bi，则Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p411a bi2R R，得到b 0，所以zR R.故P1正确；za bia b2p2:若z21，满足z2R R，而z i，不满足z2R R，故p2不正确；p3:若z11，z2 2，则z1z2 2，满足z1z2R R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；p4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确；4.记Sn为等差数列an的前n项和，若a4 a5 24，S6 48，则an的公差为（）A1【答案】CB2C4D8【详解】a4a5 a13d a1 4

4、d 2465d 4822a1 7d 24联立求得6a 15d 48 1S66a13得2115d 246d 24d 4选 C5.函数fx在，单调递减，且为奇函数 若f1 1，则满足1fx21的x的取值范围是（）A2，2【答案】D1B1，C0，4D1，3【详解】因为fx为奇函数，所以f1 f11，于是1fx 21等价于f1fx 2f1|-2-又fx在，单调递减1x 211x3故选 D6.1 611 x展开式中x2的系数为2xA15【答案】C.B20C30D3516661【详解】1+21 x11 x21 xxx2对1 x的x2项系数为C6665152164 1 x=15，的x2项系数为C62xx2的

5、系数为151530对故选 C7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A10【答案】BB12C14D16【详解】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S梯2 422 6S全梯 62 12故选 B-3-8.右面程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在个空白框中，可以分别填入和两AA 1000和n n1BA 1000和n n 2CADA1000和n n11000和n n 2【答案】D【详解】因为要求A大于 1000 时输出，且框图中

6、在“否”时输出“”中不能输入A 1000排除 A、B又要求n为偶数，且n初始值为 0，“”中n依次加 2 可保证其为偶故选 D2 9.已知曲线C1:y cosx，C2:y sin2x，则下面结论正确的是（）3A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C2D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D6121倍，纵坐标不变，再

7、把得到的曲线向右平移26122【详解】C1:y cosx，C2:y sin2x3首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1:y cosx用诱导公式处理-4-y cosx cosxsinx横坐标变换需将1变成 2，222C1上各点横坐标缩短它原来12 y sin2x sin2x即y sinx2242 y sin2xsin2x33平移至x，43根据“左加右减”原则，“x”到“x”需加上，即再向左平移431212注意的系数，在右平移需将 2提到括号外面，这时x10.已知F为抛物线C：y2 4x的交点，过F作两条互相垂直l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D，E两点，AB DE

8、的最小值为（）A16【答案】A【详解】B14C12D10设AB倾斜角为作AK1垂直准线，AK2垂直x轴AF cos GF AK（几何关系）1易知AK1 AF（抛物线特性）GP PP P22 AF cos P AF同理AF PP，BF 1cos1 cos2P2P2AB 21cossin2又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为DE 2P2Pcos22sin2而y2 4x，即P 24141sin2cos2212AB DE 2P2 42222sin 2sincossincossincos4-5-1616，当取等号sin224即AB DE最小值为16，故选 A11.设x，y，z为正数，且2x 3y 5z，则

9、（）A2x 3y 5zB5z 2x 3yD3y 2x 5z【答案】D【详解】取对数：xln2 yln3 ln5.C3y 5z 2xxln33yln222x 3yxln2 zln5xln55则zln222x 5z3y 2x 5z，故选 D12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：N 100且该

10、数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D110【答案】A【详解】设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推设第n组的项数为n，则n组的项数和为由题，N 100，令nn1 n2n1 n2100n14且nN N*，即N出现在第 13 组之后12第n组的和为 2n112n组总共的和为2 1 2n1 2 n 2n 2 n若要使前N项和为 2 的整数幂，则N 数k*n14即2 1 2 n kN N，n1 n2项的和2k1应与2 n互为相反k log2n 3k 5n 29，则N 291 2925 440故选 A-6-二、填空题：本题

11、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量a，b的夹角为60，a 2，b 1，则a 2b _【答案】2 3【详解】22a 2b(a 2b)2 a 2 a 2b cos60 2 b 4 4 4 12 21 22 222 222a 2b 12 2 3x 2y 114.设x，y满足约束条件2x y 1，则z 3x 2y的最小值为_x y 0【答案】5x 2y 1【详解】不等式组2x y 1表示的平面区域如图所示x y 0yACB1xx+2y-1=02x+y+1=03zx，223z求z的最小值，即求直线y x 的纵截距的最大值223z当直线y x 过图中点A时，纵截距最大22由z 3x

12、 2y得y 2x y 1由解得A点坐标为(1,1)，此时z 3(1)21 5x 2y 1x2y215.已知双曲线C:22，（a 0，b 0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，ab圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若MAN 60，则C的离心率为_2 33【详解】如图，【答案】-7-OA a，AN AM bMAN60，AP 3b，OP 2322OA PAa2b243bAP2tanOP322a b43bbb2，解得a2 3b2又tan，a3aa2b24b212 3e 121a3316.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为元O上的点

13、，DBC，ECA，FAB分别是一BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_【答案】4 15【详解】由题，连接OD，交BC与点G，由题，OD BCOG 3BC，即OG的长度与BC的长度或成正比6设OG x，则BC 2 3x，DG 5 x三棱锥的高h DG2OG22510 x x2 x 2510 xSABC 2 33x1 3 3x221则V SABCh 3x22510 x=325x410 x53-8-5令fx 25x410 x5，x(0,)，

14、f x100 x350 x42令f x 0，即x42x3 0，x 2则fx f280则V 3 80 45体积最大值为4 15cm3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。2a17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3sin A（1）求sinBsinC；（2）若6cos BcosC 1，a 3，求ABC的周长【提示】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.1a2【详解】（1）ABC面积S.

15、且S bcsin A23sinAa21bcsin A3sin A2322a bcsin A2322由正弦定理得sin AsinBsinCsin A，22由sin A 0得sinBsinC.321（2）由（1）得sinBsinC，cosBcosC 36ABC cosA cos B C cosB C sinBsinCcosBcosC 又A0，A60，sin A1213，cosA22由余弦定理得a2 b2c2bc 9aasinB，c sinC由正弦定理得b sin Asin A-9-a2bc sinBsinC 82sin A由得b c 33a b c 333，即ABC周长为33318.（12 分）如

16、图，在四棱锥P ABCD中，ABCD中，且BAP CDP 90（1）证明：平面PAB 平面PAD；（2）若PA PD AB DC，APD 90，求二面角A PB C的余弦值【详解】（1）证明：BAP CDP 90PA AB，PD CD又ABCD，PD AB又PDPA P，PD、PA 平面PADAB 平面PAD，又AB 平面PAB平面PAB 平面PAD（2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OEABOECD四边形ABCD为平行四边形AB由（1）知，AB 平面PADOE 平面PAD，又PO、AD 平面PADOE PO，OE AD又PA PD，PO ADPO、OE、AD两两垂直以O为坐标原点，建立

17、如图所示的空间直角坐标系O xyz0，0、B设PA 2，D 2，0 2、PB PD 2，2，2，0、P 0，02、C 2，2，0，2，2，2、BC 2 2，0，0设n x,y,z为平面PBC的法向量nPB 02x2y 2z 0由，得nBC 02 2x 0令y 1，则z 2，x 0，可得平面PBC的一个法向量n 0,1,2APD 90，PD PA又知AB 平面PAD，PD 平面PADPD AB，又PAAB APD 平面PAB-10-即PD是平面PAB的一个法向量，PD 2,0,2cos PD,n PDnPD n22 3 3333由图知二面角A PB C为钝角，所以它的余弦值为19.（12 分）为

18、了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N，2（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在3，3之外的零件数，求PX 1及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3，3之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.96 10.01 9.929.9810

19、.0410.269.9110.13 10.029.22 10.04 10.059.951161 1622xi16x2 0.212，其中xi为经计算得x xi9.97，s xi x16i116i1i11616抽取的第i个零件的尺寸，i 1，2，用样本标准差s作为的估计值，利用估计用样本平均数x作为的估计值 3，3之外的数据，用剩下值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布N，0.997 416 0.9592，0.008 0.092,则P3 Z 3 0.997 4 3之内的概率为0.9974，落在【详解】（1）由题可知尺寸落在 3，3，3之

20、外的概率为0.00260PX 0 C161 0.99740.997416 0.95920PX 11 PX 01 0.9592 0.04080.0026由题可知X B16，EX160.0026 0.0416 3之外的概率为0.0026，（2）（i）尺寸落在 3，3之外为小概率事件，由正态分布知尺寸落在 3，因此上述监控生产过程的方法合理（ii）39.9730.2129.3343 9.9730.212 10.606 39.334，10.606 3，-11-10.606，需对当天的生产过程检查9.229.334，因此剔除9.22剔除数据之后：29.97169.2210.02152222222229.

21、9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.0229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02222210.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02 0.0080.008 0.0920.（12 分）33x2y21，1P 0，1P1，P 1，已知椭圆C：221a b 0，四点P，123422ab中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；2115（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点【详解】（1

22、）根据椭圆对称性，必过P3、P4PP4三点又P4横坐标为 1，椭圆必不过P1，所以过P2，3，31，P31，将P20，代入椭圆方程得2 1b21，解得a2 4，b2131124b2ax2椭圆C的方程为：y214（2）当斜率不存在时，设l:x m，Am，yA，Bm，yAyA1yA12 1mmm得m2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足当斜率存在时，设ly kx bb 1kP2A kP2BAx1，y1，Bx2，y2y kx b222联立2，整理得1 4kx 8kbx 4b 4 02x 4y 4 08kb4b24x1 x2，x1x21 4k21 4k2y11y21x2kx1 b x2 x1

23、kx2 b x1k k则P2AP2Bx1x2x1x2-12-8kb28k 8kb28kb1 4k24b2 41 4k28kb 14b 1b 1 1，又b1b 2k 1，此时64k，存在k使得 0成立直线l的方程为y kx2k 1当x 2时，y 1所以l过定点2，121.（12 分）2xx已知函数fx aea 2e x（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围【详解】（1）由于fx ae2xa 2ex x2xxxx故f x 2aea 2e 1ae 12e 1当a0时，aex1 0，2ex1 0从而f x 0恒成立fx在R R上单调递减当a0时，令f x 0，从而aex1 0，

24、得x lnax，lnalnalna，fxfx0极小值单调减单调增综上，当a 0时，f(x)在R R上单调递减；当a 0时，f(x)在(,lna)上单调递减，在(lna,)上单调递增（2）由（1）知，当a0时，fx在R R上单调减，故fx在R R上至多一个零点，不满足条件当a0时，fmin flna1令ga11lna a1lnaa111 上单调令 ga1 lnaa 0，则 ga2 0从而ga在0，aaaga 0增，而g1 0 故当0 a 1时，当a1时ga 0 当a1时ga 0若a1，则 fmin1不满足条件若a1，则fmin1条件1 lna ga 0，故fx 0恒成立，从而fx无零点，a1ln

25、a 0，故fx 0仅有一个实根xlna 0，不满足a若0 a 1，则 fmin11aa2lna 0，注意到lna 0 f121 0aeee-13-1 3 lna上有一个实根，而又ln1 ln lna故fx在1，aa且 3 31ln13ln 3aafln(1)e a 2ln1aeaa 3 3 3 313 a a 2ln11ln1 0aaaaln故fx在lna，31上有一个实根a lna上单调减，在lna，单调增，故fx在R R上至多两又fx在，个实根ln lna及lna，又fx在1，31上均至少有一个实数根，故fx在R Ra上恰有两个实根综上，0 a 1（二）选考题：共10 分。请考生在第22、

26、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参考方程x 3cos，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数y sin，x a 4t，方程为（t为参数）y 1t，（1）若a 1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a【详解】（1）a 1时，直线l的方程为x 4y 3 0 x2曲线C的标准方程是 y21，921x 4y 3 0 x x 325联立方程x2，解得：或，2y 024 y 1y 9252124则C与l交点坐标是3，0和，2525（2）直线l一般式方程是x 4y 4a 0设曲线C上点p3cos，sin

27、则P到l距离d 3cos 4sin 4 a175sin 4 a17，其中tan34依题意得：dmax17，解得a 16或a8-14-23.选修 4-5：不等式选讲2已知函数fx x ax 4，gx x 1 x 1（1）当a 1时，求不等式fxgx的解集；1，求a的取值范围（2）若不等式fxgx的解集包含1，【详解】（1）当a 1时，fx x2 x 4，是开口向下，对称轴x 2x，x 1gx x 1 x 1 2，1x1，2x，x 11的二次函数2当x(1,)时，令x2 x 4 2x，解得x 17 12gx在1，上单调递增，fx在1，上单调递减17 11，此时fxgx解集为21时，gx 2，fx f1 2当x1，当x，1时，gx单调递减，fx单调递增，且g1 f1 217 11，f x g x 综上所述，解集21恒成立（2）依题意得：x2 ax 42在1，1恒成立即x2ax 20在1，21 a120则只须，解出：1a121a 1 20 1故a取值范围是1，-15-