2006年广东高考数学试题(理科)及答案.pdf

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1、20062006 年广东高考数学试题（理科）及答案年广东高考数学试题（理科）及答案第一部分第一部分 选择题选择题（共 50 分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的的3x2lg(3x 1)的定义域是1、函数f(x)1 xA.(,)B.(,1)C.(,)D.(,)2、若复数z满足方程z2 2 0，则z3A.2 2 B.2 2 C.2 2i D.2 2i3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是3A.y x ,x

2、R B.y sinx,xR C.y x,xR D.y()x,xR13131 13 313124、如图 1 所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD A11BA B.BC BA2211C.BC BA D.BC BA22A.BC 5、给出以下四个命题：DB图1C如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.16、已知某等差数

3、列共有10 项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5 B.4 C.3 D.217、函数y f(x)的反函数y f(x)的图像与y轴交于点P(0,2)（如图 2 所示），y42y f1(x)1O图 23x则方程f(x)0在1,4上的根是x A.4 B.3 C.2 D.1第1页8、已知双曲线3x2 y29，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于A.2 B.2 2 C.2 D.43x 0y 09、在约束条件下，当3 x 5时，目标函数z 3x 2yy x sy 2x 4大值的变化范围是A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,810、对于任意的两个实数

4、对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)，当且仅当a c,b d；运算“”为：yy 2x 4x y s的 最O图 3x运算“”为：设p,qR，若(1,2)(p,q)(5,0)，(a,b)(c,d)(acbd,bcad)；(a,b)(c,d)(ac,bd)，则(1,2)(p,q)A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)第二部分第二部分 非选择题非选择题（共 100 分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分.11、lim(x241)_.4 x22 x2x12、棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上

5、，则该球的表面积为_.13、在(x)11的展开式中，x5的系数为_.14、在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图 4 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)_；f(n)_（答案用n表示）.图 4第2页三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1

6、5、(本题 14 分)已知函数f(x)sinxsin(x(I)求f(x)的最小正周期；(II)求f(x)的的最大值和最小值；(III)若f()16、(本题 12 分)某运动员射击一次所得环数X的分布如下：2),xR.3，求sin2 的值.4XP060789100.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(I)求该运动员两次都命中 7 环的概率(II)求的分布列(III)求的数学期望E.17、(本题 14 分)如图 5 所示，AF、DE分别世与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O、DO的直O1O1的直径，ADE径，AB AC 6,OE/AD.(I)求

7、二面角B ADF的大小；(II)求直线BD与EF所成的角.318、(本题 14 分)设函数f(x)x 3x 2分别在CABO图 5Fx1、x2处取得极小（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为、，该平面上动点P满足PA PB 4,点Q是点P关于直线y 2(x4)的对称点.求(I)求点A、B的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.第3页219、(本题 14 分)已知公比为q(0 q 1)的无穷等比数列an各项的和为 9，无穷等比数列an各项的和为 81.5(I)求数列an的首项a1和公比q；(II)对给定的k(k 1,2,3,n)，设T(k)是首项为ak，

8、公差为2ak1的等差数列，求T(2)的前 10 项之和；bn，求Sn，并求正整数m(m 1)，使得lim(III)设bi为数列T(k)的第i项，Snb1b2零.Sn存在且不等于nnm（注：无穷等比数列各项的和即当n 时该无穷等比数列前n项和的极限）20、(本题 12 分)A是定义在2,4上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：对任意的x1,2，都有(2x)(1,2)；存在常数L(0 L 1)，使得对任意的x1,x21,2，都有|(2x1)(2x2)|L|x1x2|.(I)设(2x)31 x,x2,4，证明：(x)A(II)设(x)A，如果存在x0(1,2)，使得x0(2x0)，那么这样的x0是

9、唯一的；(III)设(x)A，任取x1(1,2)，令xn1(2xn)，n 1,2,成立不等式|xk p，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，Lk1 xk|x2 x1|1 L第4页20062006 年广东高考数学试题（理科）年广东高考数学试题（理科）参考答案参考答案第一部分第一部分 选择题（选择题（5050 分）分）1、函数f(x)3x21 xlg(3x 1)的定义域是 A.(111 11,)B.(,1)C.(,)D.(,)333 331、解：由1 x 01 x 1，故选 B.33x 1 022、若复数z满足方程z 2 0，则z3A.2 2 B.2 2 C.2 2 i D.2 2 i2、由z

10、2 0 z 2i z 2 2i，故选 D.3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.y x,x R B.y sin x,x R C.y x,x R D.y3231()x,xR23、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选 A.4、如图 1 所示，D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD 11BA B.BC BA2211C.BC BA D.BC BA2214、CD CB BD BC BA，故选 A.2A.BC 5、给出以下四个命题如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么

11、这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是第5页A.4 B.3 C.2 D.15、正确，故选 B.6、已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是A.5 B.4 C.3 D.25a1 20d 156、d 3，故选 C.5a 25d 3017、函数y f(x)的反函数y f方程f(x)0的根是x A.4 B.3 C.2 D.17、f(x)0的根是x 2，故选 C8、已知双曲线3

12、x y 9,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于221(x)的图象与 y 轴交于点P(0,2)(如图 2 所示)，则A.2 B.2 3 C.2 D.438、依题意可知a 3,c a2b239 2 3，e c2 3 2，故选 C.a3x 0y 09、在约束条件下，当3 s 5时，x y sy 2x 4目标函数z 3x 2y的最大值的变化范围是A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,89、由x y sx 4 s交点为A(0,2),B(4 s,2s 4),C(0,s),C(0,4)，y 2x 4y 2s 4z 8（1）当3 s 4时可行域是四边形 OABC，

13、此时，7（2）当4 s 5时可行域是OAC此时，zmax 8故选 D.10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）(c,d)当且仅当ac,bd;运算“”为：第6页(a,b)(c,d)(ac bd,bc ad)，运算“”为：(a,b)(c,d)(a c,b d)，设p,qR，若(1,2)(p,q)(5,0)则(1,2)(p,q)A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)p 2q 5p 110、由(1,2)(p,q)(5,0)得,2p q 0q 2所以(1,2)(p,q)(1,2)(1,2)(2,0),故选 B.第二部分第二部分 非选择题（非选择题（100100

14、分）分）二、填空题11、lim(x241)22 x4 x4111)lim2x22 x2 x44 x11、lim(x212、若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12、d 3 3 R 113 3 S 4R2 2722513、在x 的展开式中，x的系数为x13、Tr15211rr11r2r11 C11x()11r(2)11rC11x 2r 11 5 r 8x11r11r3C11(2)3C11 1320所以x的系数为(2)14、在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第 2、3、4、堆

15、最底层（第一层）分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数，则f(3)；f(n)（答案用 n 表示）.14、f(3)10，三、解答题f(n)n(n 1)(n 2)6第7页15、（本小题满分 14 分）已知函数f(x)sin x sin(x 2),xR（）求f(x)的最小正周期；（）求f(x)的最大值和最小值；（）若15 解：f()3，求sin2的值.4f(x)sin x sin(x 2)sin x cosx 2sin(x 2 2;12；4)（）f(x)的最小正周期为T（）f(x)的最大值

16、为2和最小值（）因为16、（本小题满分 12 分）f()3377，即sin cos 2sincos,即sin2 441616某运动员射击一次所得环数 X 的分布列如下：X0-67Y089100.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.()求该运动员两次都命中 7 环的概率；()求分布列；()求的数学希望.16 解：()求该运动员两次都命中 7 环的概率为P(7)0.20.2 0.04；()的可能取值为 7、8、9、10P(7)0.04P(8)20.20.3 0.32 0.21P(9)20.20.3 20.30.3 0.32 0.39第8页P(10)2

17、0.20.2 20.30.2 20.30.2 0.22 0.36分布列为P789100.040.210.390.36()的数学希望为E 70.0480.2190.39100.36 9.07.17、（本小题满分 14 分）如图 5 所示，AF、DE 分别是O、O1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC 是O 的直径，ABAC6，OE/AD.()求二面角 BADF 的大小；()求直线 BD 与 EF 所成的角.17、解：()AD 与两圆所在的平面均垂直,ADAB,ADAF,故BAD 是二面角 BADF 的平面角，依题意可知，ABCD 是正方形，所以BAD45.即二面角 BADF 的大小

18、为 45；()以 O 为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0），A（0，003 2，0），B（3 2，0，0）,D（0，3 2，8），E（0，0，8），F（0，3 2，0）第9页所以，BD (3 2,3 2,8),FE (0,3 2,8)BD FE|BD|FE|018 64100 8282108210cos BD,EF 设异面直线 BD 与 EF 所成角为，则cos|cos BD,EF|直线 BD 与 EF 所成的角为arccos18、（本小题满分 14 分）8210设函数f(x)x 3x 2分别在x1、3x2处取得极小值、极大值.xoy

19、平面上点 A、B 的坐标分别为(x1,f(x1)、(x2,f(x2),该平面上动点 P 满足PA PB 4,点 Q 是点 P 关于直线y 2(x 4)的对称点.求()点 A、B 的坐标；()动点 Q 的轨迹方程3218 解:()令f(x)(x 3x 2)3x 3 0解得x 1或x 1当x 1时,f(x)0,当1 x 1时,f(x)0,当x 1时,f(x)0所以,函数在x 1处取得极小值,在x 1取得极大值,故x1 1,x21,f(1)0,f(1)4所以,点 A、B 的坐标为A(1,0),B(1,4).()设p(m,n)，Q(x,y)，PAPB 1m,n1m,4n m21n24n 4y m1y

20、n1 x n 2 4kPQ，所以，又 PQ 的中点在y 2(x 4)上，所以22x m22消去m,n得x 8y 2 92219、（本小题满分 14 分）已知公比为q(0 q 1)的无穷等比数列an各项的和为 9，无穷等比数列a()求数列an的首项a1和公比q；2n各项的和为81.5第10页()对给定的k(k 1,2,3,n),设T()设bi为数列T(i)(k)是首项为ak，公差为2ak1的等差数列.求数列T(k)的前 10 项之和；的第i项，Sn b1 b2 bn，求Sn，并求正整数m(m 1)，使得Sn存在且不等于零.nmlim(注：无穷等比数列各项的和即当n 时该无穷数列前 n 项和的极限

21、)a1a1 31q 919 解:()依题意可知,22q a1813251q2()由()知,an 33n1,所以数列T(2)的的首项为t1 a2 2,公差d 2a21 3,1S101021093 155,即数列T(2)的前 10 项之和为 155.22()bi=aii 12ai1=2i 1aii 1=32i 13ni1i 1，nSn4518n 272nn12nn1，limm=limmSn 4518n27 mmnnnn323n2n当 m=2 时，lim20、（本小题满分 12 分）A 是由定义在2,4上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：对任意x1,2，都有(2x)(1,2)；存在常数L(0 L

22、 1)，使得对任意的x1,x21,2，都有|(2x1)(2x2)|L|x1 x2|（）设(x)3SnSn1lim=，当 m2 时，=0，所以 m=2mnnmn2n1 x,x2,4，证明：(x)A()设(x)A,如果存在x0(1,2),使得x0(2x0),那么这样的x0是唯一的;()设(x)A,任取xl(1,2),令xn1(2xn),n 1,2,证明:给定正整数 k,对任意的正整数 p,成立不第11页等式|xklLk1 xk|x2 x1|1 L3解：对任意x1,2,(2x)1 2x,x1,2,33(2x)35,133 35 2,所以(2x)(1,2)对任意的x1,x21,2，|(2x1)(2x2

23、)|x1 x2|231 2x13231 2x11 x21 x232，3312x12312x11 x231 x2，所以 0212x12312x11 x231 x2222,令=L，0 L 1，|(2x1)(2x2)|L|x1 x2|22333312x112x11 x21 x2所以(x)A(1,2),x0 x0使得x0(2x0),x0(2x0)则反证法:设存在两个x0,x0由|(2 x0)(2 x0)|L|x0 x0|，得|立。/x0 x0|L|x0 x0|，所以L 1，矛盾，故结论成/x3 x2(2x2)(2x1)L x2 x1，所以xn1 xn Ln1x2 x1|xkp xk|xkpLk1 xkp1xkp1 xkp2xk1 xk|x2 x1|1 L xkp xkp1 xkp1 xkp2 xk1 xkLkp2x2 x1 Lkp3x2 x1+Lk1LK1x2 x1x2 x11 L第12页