血药浓度问题.pdf

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1、血药浓度问题血药浓度问题(1)(1)20132013 年闽南师范大学大学生数学建模竞赛年闽南师范大学大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了我们仔细阅读了20132013 年闽南师范大学大学年闽南师范大学大学生数学建模竞赛的选手须知生数学建模竞赛的选手须知。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式以任何方式（包括电话、（包括电话、电子邮件、电子邮件、网上咨询等）网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则我们知道，抄袭别

2、人的成果是违反竞赛规则的的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、竞赛的公正、公平性。公平性。如有违反竞赛规则的行为，如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们将受到严肃处理。我们的竞赛编号为：我们的竞赛编号为：130148130148我们的选择题号为：我们的选择题号为：B B参赛队员（打印并签

3、名）参赛队员（打印并签名）：队员队员 1 1：陈怡萍：陈怡萍队员队员 2 2：卓碧连：卓碧连队员队员 3 3：林炳伟：林炳伟评阅编号：评阅编号：20132013 年闽南师范大学大学生数学建模竞赛组委年闽南师范大学大学生数学建模竞赛组委会会血药浓度问题血药浓度问题一、摘要一、摘要药物在血液中的浓度，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中药物含即单位体积血液中药物含量（纳克量（纳克/毫升，毫升，1 1 纳克纳克=1010克）克），简称血药浓度。，简称血药浓度。9 9药物经口服而进入体内，因代谢而逐步消除药药物经口服而进入体内，因代谢而逐步消除药物。物。大量的临床实践表明，大量的临床实践表明，相同剂量

4、的药物对人相同剂量的药物对人不同人有不同疗效。不同人有不同疗效。而药物作用的强度与药物在而药物作用的强度与药物在血浆中的浓度成正比，血浆中的浓度成正比，药物在体内的浓度随着时药物在体内的浓度随着时间而变化。此建模通过检测部分时间的血药浓间而变化。此建模通过检测部分时间的血药浓度度，结结 合合 药药 物物 代代 谢谢 动动 力力 学学 的的 部部 分分 公公 式式（），以及问题中的数据可，以及问题中的数据可推算出口服一定药物后的最高血药浓度推算出口服一定药物后的最高血药浓度 CmaxCmax。随代谢的进行，随代谢的进行，体内的血药浓度会逐渐降低，体内的血药浓度会逐渐降低，当当血药浓度降低到一定值

5、时，血药浓度降低到一定值时，为保证药效需要再次为保证药效需要再次服药，服药，模型中给出第二次服药与第一次服药的时模型中给出第二次服药与第一次服药的时间间隔以及第二次服药的药剂量，间间隔以及第二次服药的药剂量，为病人的再次为病人的再次服药提供了好的参考。模型中还给出了服药提供了好的参考。模型中还给出了 2424 小时小时之内的血药浓度曲线，之内的血药浓度曲线，可以直观地看出血药浓度可以直观地看出血药浓度的变化情况。的变化情况。二、问题重述二、问题重述药物在血液中的浓度，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中药物含量即单位体积血液中药物含量（纳克（纳克/毫升，毫升，1 1 纳克纳克=1010 9 9

6、克）克），简称血药浓度，简称血药浓度，随着时间而变化。随着时间而变化。血药浓度的大小直接影响到药物的疗效。血药浓度的大小直接影响到药物的疗效。因此，研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程对于临床医学的发展具有因此，研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程对于临床医学的发展具有重要的指导意义和实用价值。现有一体重重要的指导意义和实用价值。现有一体重 6060 千克的人在千克的人在t t=T T1 1=0=0 时时,第一次口第一次口服某药服某药(剂量为剂量为 0.10.1 克克)，经，经n次检测得到的血药浓度数据见附录次检测得到的血药浓度数据见附录 1 1。假设相同体。假设相同体重的人的药物代谢

7、的情况相同。请根据附录重的人的药物代谢的情况相同。请根据附录 1 1 的数据回答下面的问题：的数据回答下面的问题：1.1.请建立一个合适的血药浓度模型描述上述口服药在体内的变化过程；请建立一个合适的血药浓度模型描述上述口服药在体内的变化过程；2.2.根据附录根据附录 1 1 的数据和你所建立的血药浓度模型，的数据和你所建立的血药浓度模型，把其中参数估计出来；把其中参数估计出来；并并给出该体重给出该体重 6060 千克的人第一次服药（千克的人第一次服药（0.10.1 克剂量）后的最高血药浓度克剂量）后的最高血药浓度 C Cmaxmax(纳克纳克/毫升毫升)；3.3.为保证药效为保证药效,在血药浓

8、度降低到在血药浓度降低到 437.15437.15（纳克纳克/毫升）毫升）时应再次口服药物时应再次口服药物,其其剂量应使最高浓度等于剂量应使最高浓度等于 C Cmaxmax(纳克纳克/毫升毫升)。求第二次口服的时间与第一次口服的。求第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔和剂量；时间的间隔和剂量；4.4.画出符合画出符合 3 3 的二次服药情况下在的二次服药情况下在 2424 小时之内的血药浓度曲线，并给出二小时之内的血药浓度曲线，并给出二次服药后时间间隔次服药后时间间隔t t 3 3,1515,2020的血药浓度；的血药浓度；5.5.设某种药物的最佳疗效是要求其血药浓度控制在某个范围内，设某

9、种药物的最佳疗效是要求其血药浓度控制在某个范围内，要求其血药要求其血药浓度的波动范围尽量小，同时最小的血药浓度不低于浓度的波动范围尽量小，同时最小的血药浓度不低于 520520（纳克（纳克/毫升）毫升）。考虑到。考虑到人体机体的安全，要求每次服药的剂量不能超过人体机体的安全，要求每次服药的剂量不能超过 0.250.25 克，时间间隔不少于克，时间间隔不少于 2.52.5小时。请利用上述的模型，从药物疗效和人体机体的安全角度出发，设计一种小时。请利用上述的模型，从药物疗效和人体机体的安全角度出发，设计一种最佳的给药方案，给出包括药剂量，间隔时间和血药浓度的波动范围等。最佳的给药方案，给出包括药剂

10、量，间隔时间和血药浓度的波动范围等。三、参考数据与参数说明三、参考数据与参数说明现有一体重现有一体重 6060 千克的人在千克的人在 t t=T=T1 1=0 0 时时,第一次第一次口服某药口服某药(含剂量含剂量 X=0.1(X=0.1(克克)，经经 3 3 次检测得到数次检测得到数据如下据如下:t t=3(=3(小时小时)时血药浓度为时血药浓度为 763.9(763.9(纳克纳克/毫毫升升)()(血药浓度血药浓度C(t)y(t)V(纳克纳克/毫升毫升),),V V 表示未知血表示未知血液容积液容积(毫升毫升).).t t=18(18(小时小时)时血药浓度为时血药浓度为 76.3976.39纳

11、克纳克/毫升，毫升，t=20(t=20(小时小时)时血药浓度为时血药浓度为 53.4(53.4(纳克纳克/毫升毫升).).y(t)Ka：表示：表示t时刻体内药量时刻体内药量：未知的吸收速度常数：未知的吸收速度常数F F：未知的吸收比例常数：未知的吸收比例常数K K：未知的消除速度常数：未知的消除速度常数.C(t):C(t):表示表示t时刻体内血药浓度时刻体内血药浓度单位（纳单位（纳克克/毫升）毫升）V V：表示身体内的血液的容积：表示身体内的血液的容积X:X:表示服药的剂量表示服药的剂量单位（克）单位（克）四、问题分析四、问题分析本题要解决人体服药后，本题要解决人体服药后，血液中药物的含量是多

12、血液中药物的含量是多少及下一次服药的时间间隔与服药剂量的问题。少及下一次服药的时间间隔与服药剂量的问题。属于微分方程类型。因为药物是一次服入体内属于微分方程类型。因为药物是一次服入体内的，可根据药物动力学知识中的“二室模型”的，可根据药物动力学知识中的“二室模型”。题目已经给出了微分方程，题目已经给出了微分方程，所以由微分方程得到所以由微分方程得到数学模型。最后可以利用数学模型。最后可以利用MATLABMATLAB软件对所提软件对所提供的数据进行拟合，得到血液中药物含量供的数据进行拟合，得到血液中药物含量C(t)C(t)与时间与时间t的一个函数关系式。然后求出最高血药的一个函数关系式。然后求出

13、最高血药浓度浓度 CmaxCmax 第二次口服的时间与第一次口服的第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔时间的间隔 T T2 2(小时小时)和剂量和剂量 X X2 2(克克)，最后做出符最后做出符合合 2 2 的二次服药情况下在的二次服药情况下在 2424 小时之内的血药浓小时之内的血药浓度曲线。度曲线。五、建模假设五、建模假设1 1 设相同体重的人的药物代谢的情况相同设相同体重的人的药物代谢的情况相同.2 2 假设人体血液体积一定。假设人体血液体积一定。3 3 假设人体对药物的吸收、消化、排泄功能正常假设人体对药物的吸收、消化、排泄功能正常六、数学建模与求解六、数学建模与求解（一）模型建立

14、与求解（一）模型建立与求解我们将代入实际数值来用我们将代入实际数值来用 MatlabMatlab 模拟作图模拟作图令令 a=0.1a=0.1，k=-0.1k=-0.1，代入作图，代入作图执行程序结果如下：执行程序结果如下：0.10.090.080.070.060.050.040.030.020.01001020304050607080上图即口服药情况下，人体内药物浓度的变上图即口服药情况下，人体内药物浓度的变化曲线。从图中可以看出，随着时间的推移，人化曲线。从图中可以看出，随着时间的推移，人体内的药物浓度最终会为体内的药物浓度最终会为 0 0。dy KaF X exp(Kat)K ydty(t

15、)C(t)V-（1 1）-（2 2）用用 matlabmatlab 求解微分方程（求解微分方程（1 1）可得）可得y(t)=C2/exp(K*t)y(t)=C2/exp(K*t)+(Ka*F*X)/(exp(Ka*t)*(K(Ka*F*X)/(exp(Ka*t)*(K-Ka)Ka)由由 t=0,y(t)=0t=0,y(t)=0 可得可得C2=C2=(Ka*F*X)/(Ka*F*X)/(Ka-K)(Ka-K)-（3 3）由（由（2 2）（3 3）可得）可得C(t)=C(t)=(Ka*F*X)(Ka*F*X)（exp(-K*t)-exp(-K*t)-exp(-Ka*t)exp(-Ka*t)）/(K

16、a-K)/V-(4)(Ka-K)/V-(4)FXk令令 A=A=V(K)（4 4）式可以化为）式可以化为kaaC(t)=Aexp(-Kt)-Aexp(-C(t)=Aexp(-Kt)-Aexp(-KaKat)-t)-（5 5）不妨设不妨设 KKa,K x=3,18,20;x=3,18,20;x=ones(3,1)x;x=ones(3,1)x;y=6.638,4.336,3.978;y=6.638,4.336,3.978;b=regress(y,x);b=regress(y,x);b bb=b=7.10707.1070-0.1553-0.1553即：即：lnA=7.107lnA=7.107A=12

17、20.48A=1220.48K=0.1553K=0.1553将此组数据带入原方程，利用将此组数据带入原方程，利用 t t=3(=3(小时小时)时血药时血药(t)浓度为浓度为 763.9(763.9(纳克纳克/毫升毫升)()(血药浓度血药浓度C(t)yV(纳克纳克/毫毫升升)可可以以解解出出kC(t)=A(exp(-kt)-exp(-C(t)=A(exp(-kt)-exp(-kt),t),aa=2.1316=2.1316，即即求解问题（求解问题（2 2）:编写编写 MM 文件：文件：x=0:1/12:24;x=0:1/12:24;y=1220.48*(exp(-0.1553*x)-exp(-2.

18、1316*x);y=1220.48*(exp(-0.1553*x)-exp(-2.1316*x);plot(x,y)plot(x,y)max(y)max(y)求的：求的：ans=ans=921.0527921.0527即：即：Cmax=921.1Cmax=921.1问题（问题（3 3）中问题由）中问题由 MATLABMATLAB 中的中的 workspaceworkspace中的中的 x yx y 得出得出T=6.6h=6.6h2当当 t=1.3t=1.3 时，时，C(t)C(t)达到最大值。达到最大值。编写编写 MM 文件：文件：syms x;syms x;x=solve(1220.48*x

19、*(exp(-0.1553*1.3)-exp(-2.1x=solve(1220.48*x*(exp(-0.1553*1.3)-exp(-2.1316*1.3)/10(8)+1220.48*(exp(-0.1553*7.9)-exp(316*1.3)/10(8)+1220.48*(exp(-0.1553*7.9)-exp(-2.1316*7.9)=921.0527,x)-2.1316*7.9)=921.0527,x)求的：求的：x=x=61153103.13029441216377136832657261153103.130294412163771368326572所以所以X=0.06115=0

20、.06115克克2求解问题（求解问题（4 4）：编写编写 MM 文件采用分段函数的方法：文件采用分段函数的方法：x1=0:0.001:6.6;x1=0:0.001:6.6;y1=1220.48*(exp(-0.1553*(x1)-exp(-2.1316*x1)y1=1220.48*(exp(-0.1553*(x1)-exp(-2.1316*x1)x2=6.6:0.001:24;x2=6.6:0.001:24;y2=1220.48*61153103*(exp(-0.1553*(x2-6.6)-exy2=1220.48*61153103*(exp(-0.1553*(x2-6.6)-exp(-2.1

21、316*(x2-6.6)/10(8)+1220.48*(exp(-0.155p(-2.1316*(x2-6.6)/10(8)+1220.48*(exp(-0.1553*x2)-exp(-2.1316*x2);3*x2)-exp(-2.1316*x2);x=x1,x2;x=x1,x2;y=y1,y2;y=y1,y2;plot(x,y)plot(x,y)求解问题（求解问题（5 5）由以上的模型可得出最佳的给药方案是时间间由以上的模型可得出最佳的给药方案是时间间隔为隔为 2.5h,2.5h,服药量为服药量为 0.06g0.06g七、模型的评价七、模型的评价模型优点模型优点1 1此模型对人体口服药物后

22、的血药浓度的变化给此模型对人体口服药物后的血药浓度的变化给出了清晰的交代，出了清晰的交代，对药物的吸收和再吸收提供了对药物的吸收和再吸收提供了参考参考2.2.模型可行性强模型可行性强模型缺点模型缺点次模型给出的数据太少，精确度不够次模型给出的数据太少，精确度不够八、参考文献八、参考文献1 1、赵静、但琦，、赵静、但琦，数学建模与数学实验数学建模与数学实验，高等，高等教育出版社，教育出版社，20072007 年年2 2、刘来福、黄海洋、曾文艺，、刘来福、黄海洋、曾文艺，数学模型与数学数学模型与数学建模建模，北京师范大学出版社，北京师范大学出版社，20072007 年年3 3、邓薇，、邓薇，MAT

23、LABMATLAB函数速查手册函数速查手册，人民邮电，人民邮电出版社，出版社，20082008 年年4 4、符号计算系统教程张韵华编著符号计算系统教程张韵华编著 北京：科北京：科学出版社学出版社5 5、数学建模案例分析数学建模案例分析 白其峥主编白其峥主编 北京北京:海海洋出版社洋出版社6 6、数学建模案例精选数学建模案例精选 朱道元等编著朱道元等编著 北京：北京：科学出版社科学出版社7 7、数学建模导论数学建模导论 陈理荣主编陈理荣主编 北京北京:北京邮北京邮电大学出版社电大学出版社8 8、数学建模：数学建模：原理与方法原理与方法 蔡锁章主编蔡锁章主编 北京：北京：海洋出版社海洋出版社9 9、数学建模的理论与实践数学建模的理论与实践 吴翊，吴孟达，成吴翊，吴孟达，成礼智编著礼智编著 长沙：国防科技大学出版社长沙：国防科技大学出版社