专项练习题集 定义法求轨迹方程.pdf

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1、 2016 年专项练习题集-定义法求轨迹方程选择题1、点 p（x，y）是平面中的一个动点，满足：(x4)2 y2(x4)2 y210，则点 p 的轨迹方程是（）x2y21A259x2y21B259x2y2C1925x2y2D1925分值：5答案：A【考查方向】本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键。【易错点】不能将(x4)2 y2看做点（x,y）和点（4,0）之间的距离。【解题思路】利用椭圆的定义即可得出【解析】点 p（x，y）在运动过程中满足关系式：(x4)2 y2(x4)2 y210，点 p 到两定点 F（4，0），F（-4，0）的距离之和满足：|PF|+|PF|=1o8故点

2、P 的轨迹是以点 F，F为焦点，10 为长轴长的椭圆x2y2易知，c=4,a=5,b=3,椭圆的方程为1，故选 A2592、已知圆c1：（x+3）2+y2=4，圆c2（x3）2+y2=100，动圆 c 与圆c1、圆c2都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆【分值】5【答案】A【考查方向】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程、圆与圆的位置关系及其判定。菁优网版权所有【易错点】找不出cc1+cc2为定值这一关系。【解题思路】设动圆的半径为 r，由相切关系建立圆心距与 r 的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题【解析】设动圆的半径为 r，动圆圆心为 c（x，y），

3、因为动圆与圆c1：（x+3）2+y2=4 及圆c2（x3）2+y2=100 都内切，则cc1=r2，cc2=10rcc1+cc2=8c1c2=6因此动圆圆心为 c 的轨迹是焦点为c1、c2，中心在（0，0）的椭圆故选 A3、设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：x2+y24x=0 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（）Ay2=8xBy2=8xCy2=8x 或 y=0（x0）Dy2=8x 或 y=0【分值】5【答案】C【考查方向】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题【易错点】忽视讨论 x.【解题思路】设出动圆圆心 M 的坐标，利用动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：x2+y24x=

4、0 相外切，建立方程，化简可得动圆圆心 M 的轨迹方程【解析】设动圆圆心 M 的坐标为（x，y），则动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：x2+y24x=0 相外切(x2)2 y2 x 2当 x0 时，y=0；当 x0 时，y2=8x故选 C4、若动圆过定点 A（2，0）且和定圆（x2）2+y2=4 外切，则动圆圆心 P 的轨迹方程为（）y2Ax 132y2Bx 1(x0)32y21Cx 32y2Dx 1(x0)32【分值】5【答案】D【考查方向】考查了双曲线的定义、两圆外切的性质和动点轨迹求法等知识，属于中档题【易错点】容易错误的把轨迹看成整支双曲线。【解题思路】设定圆（x2）2+y2=4 的

5、圆心为 B，根据外切两圆的性质得点 P 到 B、A 两点的距离之差等于 2，由此可得点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的左支上，可得本题的答案【解析】设动圆的半径为 R，动圆圆心为 P，点 A 在动圆上，|PA|=R又定圆（x2）2+y2=4 的圆心为 B（2，0），半径为 2，定圆与动圆 P 相外切圆心距|PB|=R+2由此可得|PB|PA|=（R+2）R=2（常数），点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的左支。y2易知：双曲线焦点在 x 轴，a 1,c 2，所以方程为x 1(x0)32故选：D5、已知圆 C：（x+2）2+y2=36 和点 B（2，0），P 是圆上一点，线段 BP

6、的垂直平分线交 CP 于 M 点，则 M 点的轨迹方程是（）Ay2=6xx2y2B195x2y2C195Dx2+y2=9【分值】5【答案】B【考查方向】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MB|=6|BC|，是解题的关键和难点【易错点】不能得出|MC|+|MB|=6。【解题思路】根据线段中垂线的性质可得，|MB|=|MP|，又|MP|+|MC|=半径 6，故有|MC|+|MB|=6|BC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b 值，即得椭圆的标准方程解析：由圆的方程可知，圆心 C（2，0），半径等于 6，设点 M 的坐标为（x，y），BP 的垂直平分线交 CQ 于点 M，|M

7、B|=|MP|又|MP|+|MC|=半径 6，|MC|+|MB|=6|BC|依据椭圆的定义可得，点 M 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2a=6，c=2，b=5，x2y2故椭圆方程为1，95故选 B填空题6、ABC 的三边|BC|AC|BA|成等差数列，A、C 两点的坐标分别为（0,1），（0，-1），则点 B 的轨迹方程是【分值】3x2y2【答案】1（0y2）34【考查方向】本题主要考查椭圆的定义，熟练掌握等差数列的定义、椭圆的定义是解题的关键。【易错点】忽视|BC|AC|BA|，而导致曲线为整条椭圆。【解题思路】利用等差数列的定义可得，|BC|+|BA|=2|AC|=4|AC|利用椭

8、圆的定义即可得出解：ABC 的三边|BC|AC|BA|成等差数列，|BC|+|BA|=2|AC|=4|AC|由题意的定义可知：点 B 的轨迹方程是以点 A，C 为焦点（c=1），a=2 为半长轴长的椭圆的一部分，b2=a2c2=41=3x2y2点 B 的轨迹方程是134ABC 的三边|BC|AC|BA|，0y2x2y2故答案为1（0y2）347、如图，AB，P,C、D，且 AD，AD BC，AD=2，BC=4，AB=6，若 tanADP+2tanBCP=5，则点 P 在平面 内的轨迹是。【分值】3【答案】椭圆的一部分【考查方向】本题考查椭圆的定义，注意定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大

9、小比较【易错点】忽视定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较【解题思路】根据题意，易得 tanADP=，tanBCP=，又由tanADP+2tanBCP=5，且 AD=2，BC=4，可得 AP+BP=10，比较可得AP+BPAB，由椭圆的定义分析可得答案解析：由 AD，可得 ADAP，tanADP=，四边形 ABCD 是梯形，则 ADBC，可得 BC，BCBP，则 tanBCP=，又由 tanADP+2tanBCP=5，且 AD=2，BC=4，可得 AP+BP=10，又由 AB=6，则 AP+BPAB，故 P 在平面 内的轨迹是椭圆的一部分，8、点 M 到点 F（0，3）的距离比它到直

10、线 l：y4=0 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程是【分值】3【答案】x2=12y【考查方向】考查了两点间的距离公式、轨迹方程的求法、抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题【易错点】在去|x-3|的绝对值时，不能根据平面几何原理，得 y3。解题思路：设 M（x，y），由两点间的距离公式建立关于 x、y 的方程，结合平面几何原理将方程化简整理，即可得到点 M 的轨迹方程【解析】设 M（x，y），依题意得点 M 到点 F（0，3）的距离比它到直线 l：y43=0 的距离小 1，由两点间的距离公式，得(x 0)2(y 3)2 y 4 1，根据平面几何原理，得 y4，原方程化为(x0)2(y3)2

11、3 y两边平方，得 x+（y+3）=（3y），整理得 x=12y即点 M 的轨迹方程是 x=12y故答案为：x2=12y综合题9、已知 F（2，0），以 F 为圆心的圆，半径为 r，点 A（2，0）是一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 FP 相交于点Q在下列条件下，求点 Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线（1）r=222222时，点 P 在圆上运动；【分值】6y2【答案】x 1，是双曲线；32【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决

12、问题的关键属于中档题【易错点】不能找出 QA=QP 及|QAQF|=|QPQF|=FP 这两个关系式。【解题思路】由题意得 QA=QP，则|QAQF|=|QPQF|=FP=r=2，即动点 Q到两定点 F、A 的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点 Q的轨迹是：以 F，A 为焦点，FA 为焦距长的双曲线【解析】（1）当 r=2 时，A 为F 外一定点，P 为F 上一动点线段 AP 的垂直平分线交直线 FP 于点 Q，则 QA=QP，则|QAQF|=|QPQF|=FP=r=2，即动点 Q 到两定点 F、A 的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点 Q 的轨迹是：以 F，A 为焦点

13、，FA 为焦距长的双曲线，故 2a=2，2c=4，?a=1，c=2，b=32y2故方程为：x 1，是双曲线；3（2）r=8 时，点 P 在圆上运动【分值】6x2y2【答案】1，是椭圆1612【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键属于中档题【易错点】不能找出 QA=QP，FP=FQ+QP 这两个关系式。【解题思路】由题意 QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，所以 FQ+QA=8故曲线是以A、F 为焦点，长轴长为 8 的椭圆，由此能求出曲线的方程【解析】（

14、2）当 r=8 时，由题意：QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，所以 FQ+QA=9故曲线是以 A、F 为焦点，长轴长为 8 的椭圆，其 2a=8，2c=4，?a=4，c=2，b=2 3，x2y2方程为：1，是椭圆161210、已知圆F1:x2 y2 2x=15，点F2（1，0），P 是圆F1上任意一点，线段PF2的垂直平分线和半径PF1相交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹 的方程；【分值】5【答案】【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于 0，以及点满足直线方程，属于中档题【易错

15、点】找不出和为定值这一条件。QF2【解题思路】连结，运用垂直平分线定理可得，QP QF2，可得QF1 QF2 QF1+QP 4 F1F2 2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；解析：（1）将化为：（x+1）2+y2=16，QF2连结，运用垂直平分线定理可得，QP QF2，可得F1、F2QF1 QF2 QF1+QP 4 F1F2 2，故动点 Q 的轨迹是以为焦x2y221(a b 0)2点，长轴长为 4 的椭圆设其方程为：ab可知 a=2，c=1，所以点 Q 的轨迹的方程为；（2）若直线 y=k（x1）与（1）中的轨迹 交于 R，S 两点，问是否在x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动时，总有O

16、TS=OTR？说明理由【分值】7【答案】存在 T（4，0）【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于 0，以及点满足直线方程，属于中档题【易错点】不能将条件OTS=OTR 转化为 kTS+kTR=0。【解题思路】假设存在 T（t，0）满足OTS=OTR设 R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，由直线的斜率之和为 0，化简整理，即可得到存在 T（4，0）【解析】（2）假设存在 T（t，0）满足OTS=OTR设 R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由韦达定理有，其中0 恒成立，由OTS=OTR（显然 TS，TR 的斜率存在），故 kTS+kTR=0 即，由 R，S 两点在直线 y=k（x1）上，故 y1=k（x11），y2=k（x21）代入得，即有 2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t=0，将代入，即有：，要使得与 k 的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在 T（4，0），使得当 k 变化时，总有OTS=OTR