2017全国一卷理科数学高考真题及答案.pdf

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1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x1000的最小偶数n，那么在AA1 000 和n=n+1BA1 000 和n=n+2CA1 000 和n=n+19已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2)，则下面结论正确的是3个单位长度，得到曲6A把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的线C2D

2、把C1上各点的横坐标缩短到原来的曲线C2个单位长度，得到曲121倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲261倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到21210已知F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线2l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16xB14yzC12D1011设xyz为正数，且2 3 5，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是A440B330C220D110200101二、填空题：本题共 4 小题，

3、每小题 5 分，共 20 分。13已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则|a a+2 b b|=.x2y 114设x，y满足约束条件2x y 1，则z 3x2y的最小值为.x y 0 x2y215已知双曲线C：221（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的ab一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为

4、折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。3a217（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，ABBAP CDP 90（1）证明：平面PAB平面PAD

5、；（2）若PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下

6、面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：11611611622xi 9.97，s 经计算得x(xi x)(xi16x2)2 0.212，其中xi为抽取16i116i116i1的第i个零件的尺寸，i 1,2,16，用样本标准差s作为的估计值用样本平均数x作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天 3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）的生产过程进行检查剔除(2附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(3 Z 3)0.997 4，0.997 416 0.959 2，0.008 0.0920.（12 分）33x2y2已知椭圆C：22=1（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），

7、P3（1，），P4（1，）中恰有22ab三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.21.（12 分）已知函数（f x)ae+(a2)e x.（1）讨论f(x)的单调性；2xx（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为y sin,x a 4t,（t为参数）.y 1t,（1

8、）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f（x）=x+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1 时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.22017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2B3B4C5D6C7B8D9D10A11D12A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132 314-515

9、2 331615cm3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。a217（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.解：（1）由题意可得SABC21a2，bcsin A 23sin A2化简可得2a 3bcsin A，根据正弦定理化简可得：2sin A 3sin BsinCsin A sin BsinC（2）222。32sin

10、 BsinC 123由，cos A cosA B sin BsinC cosBcosC A 123cosBcosC 6因此可得B 3C，231中可得：sinCsinC sinCcosC sin2C 0，3223将之代入sinBsinC 化简可得tanC 3 C,B，366利用正弦定理可得b a31sin B 3，sin A322同理可得c 3，故而三角形的周长为3 2 3。18.（12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，ABBAP CDP 90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角A-PB-C的余弦值.（1）证明：AB/CD,CD PDAB P

11、D,又AB PA,PA PD P,PA、PD都在平面PAD内，故而可得AB PAD。又AB在平面PAB内，故而平面PAB平面PAD。（2）解：不妨设PA PD AB CD 2a，以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标：P 0,0,2a,A因此可得PA 2a,0,0,B 2a,2a,0,C 2a,2a,0，2a,0,2a,PB 2a,2a,2a,PC 2a,2a,2a，假设平面PAB的法向量n1故而可得x,y,1，平面PBC的法向量n2m,n,1，即n1n1PA 2ax 2a 0 x 1n1PB 2ax 2ay 2a 0 y 01,0,1，n2 PC 2a

12、m 2an 2a 0 m 02同理可得。2，即n20,2,1n2 PB 2am 2an 2a 0 n 2因此法向量的夹角余弦值：cos n1,n212 3。3323。3很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，

13、就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：11611611622xi 9.97，s 经计算得x(xi x)(xi16x2)2 0.212，其中xi为抽取16i116i116i1的第i个零件的尺寸，i 1,2,16，用样本标准差s作为的估计值用样本平均数x作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天 3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）的生产过程进行检查剔除(2附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(3 Z 3)0.997 4，0.997 416 0.95

14、9 2，0.008 0.09解：（1）PX 11 PX 010.99741610.9592 0.0408由题意可得，X满足二项分布X B16,0.0016，因此可得EX16,0.0016160.0016 0.0256（2）1由（1）可得PX 1 0.0408 5%，属于小概率事件，故而如果出现(3,3)的零件，需要进行检查。2由题意可得 9.97,0.212 3 9.334,310.606，故而在9.334,10.606范围外存在这一个数据，因此需要进行检查。此时：x 9.97169.2210.02，15115x x 0.09。15i120.（12 分）33x2y2已知椭圆C：22=1（ab0

15、），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有22ab三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.解：（1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，3）不可能同时在椭圆上，2P3（1，33），P4（1，）一定同时在椭圆上，2233），P4（1，），22因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（1，代入椭圆方程可得：b 1,131 a 2，a24x2故而可得椭圆的标准方程为：y21。4（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，不妨设直线P2A为：y kx 1,P2

16、B为：y 1 kx 1.y kx 122联立x2 4k 1 x 8kx 0，2 y 1 4假设Ax1,y1，Bx2,y2此时可得：28k1 4k281 k1 41 kA2,2,，,B224k 1 4k 141 k1 41 k11 41 k此时可求得直线的斜率为：kABy2 y1x2 x11 4k22241 k14k 181 k41 k1228k4k21，化简可得kAB 11 2k2，此时满足k 1。21当k 1时，AB两点重合，不合题意。2118k1 4k22当k 时，直线方程为：y ，x 22221 2k4k 14k 14k即y 21.（12 分）已知函数（f x)ae+(a2)e x.（1

17、）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解：（1）对函数进行求导可得f x 2ae2x2x2 4k 1 x21 2k，当x 2时，y 1，因此直线恒过定点2,1。xa 2ex1aex1ex1。xx1当a 0时，f x ae 1 e 1 0恒成立，故而函数恒递减xx2当a 0时，f x ae 1 e 1 0 x ln1 1，故而可得函数在,ln上单调递aa减，在ln1,上单调递增。a1 1 lna 1，aa（2）函数有两个零点，故而可得a 0，此时函数有极小值fln要使得函数有两个零点，亦即极小值小于 0，111 0a 0，令ga lna 1，aaa 1对函数进行求导

18、即可得到ga 0，故而函数恒递增，2a1又g1 0，ga lna 1 0 a 1，a故而可得lna 因此可得函数有两个零点的范围为a0,1。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为y sin,x a 4t,（t为参数）.y 1t,（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.解：11x2将曲线 C 的参数方程化为直角方程为 y21，直线化为直角方程为y x 1a9441

19、313y x（1）当a 1时，代入可得直线为y x，联立曲线方程可得：44，44x29y2 921x 25或x 3，故而交点为21,24 或解得3,025 25y 0y 24253cos 4sin a 411x 3cos,（2）点到直线y x 1a的距离为d 17，y sin,4417即：3cos 4sin a 4 17，化简可得17a 4 3cos 4sin17 a 4，根据辅助角公式可得13 a 5sin 21 a，又5 5sin 5，解得a 8或者a 16。23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f（x）=x+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1 时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.解：2x 12x将函数gx x 1 x 1化简可得gx21 x 12xx 1（1）当a 1时，作出函数图像可得fx gx的范围在F和G点中间，联立y 2x2y x x 4可得点G17 117 1，因此可得解集为,17 11,。2222（2）即fx gx在1,1内恒成立，故而可得x ax 4 2 x 2 ax恒成立，根据图像可得：函数y ax必须在l1,l2之间，故而可得1 a 1。