最新数学模型——最佳广告编排方案.pdf

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1、精品文档最佳广告编排方案实验八【实验目的】了解线性规划问题及其可行解、基本解、最优解的概念。1 通过对实际应用问题的分析，初步掌握建立线性规划模型的基本步骤和方法。2 软件求解有关线性规划的命令。3学习掌握 MATLAB【实验内容】其目的是争取尽可能多地招徕顾客。广播上做公司的宣传广告，一家广告公司想在电视、下表是公司进行市场调研的结果：每次做广告费用（千元）受每次广告影响的顾客数（千人）受每次广告影响的女顾客数（千人）电视白天45350260网络媒体最佳时段8688045025430160杂志12180100）受广告影响的妇女超这家公司希望总广告费用不超过 750（千元），同时还要求：（1

2、次，最）电视广告的费用不超过 450（千元）；（3）电视广告白天至少播出 42 过 200 万；（次；（4）通过网络媒体、杂志做的广告要重复 5 到 8 次。佳时段至少播出 2【实验准备】现代工农业、环线性规划是运筹学中产生较早的一个分支，如今在国防科技、经济学、境工程、生物学等众多学科和领域里起着十分广泛的应用。线性线性规划是在一组线性条件的约束之下，求某一个线性函数的最值问题。一般地，规划的数学模型为：cxcxcxmaxorminz)(nn1212baaaxxxmi.s.t）),（1,2,1 (or ,i1iini2n21xnj,0,1,2,j用矩阵、向量符号，可以简化线性规划模型的表示：

3、abacaxn11111211aaaxbccxbA,n22221222aabacxnnn2nnn1n则线性规划问题可写为：maxxcorminz()orAxb.ts.2）（,()xin0,1,2,ixcxcz常数向费用系数决策变量，这里，称为 目标函数为目标函数的，为，是i精品文档精品文档AxbbA，常数矩阵常数矩阵为线性规划的系数矩阵系数矩阵，,)它是称为约束条件约束条件，量量；(or.ts的缩写，意思是“满足约束条件”。是为利润（费用）向量利润（费用）向量，其中 subject to 1线性规划线性规划的标准形式的标准形式 线性规划问题的标准形式为xcminzAxb.s.t）（3x0任何一

4、种线性规划都可以等价地转换为标准形式。松弛变量法松弛变量法（1）约束条件标准化 如果约束条件中有不等式：abaaxxx 1ii2inin21或aabaxxx jnj2jj1n21将上述约束条件转换成下面等价形式：通过引入两个非负变量 x，xn+2n+1aaaxbxxx 1ii1inni2n21x01n或aabaxxxx jn2jj1j2nn21x02n可见约束不等式均可转换为约束等式。（2）目标函数的标准化maxxccxminzz，可以转换为求（）若原问题是求（即可。）线性规划问题的解线性规划问题的解2xxxxxAx0b称为线性（3 在（）中满足约束条件）的向量，n21xcz达到最小值的，使目

5、标函数可行解可行解，全体可行解组成的集合称为可行域可行域规划问题的。可行解称为最优最优解解PPPmBAB构如果矩阵，的某的列向量列所构成的方阵，是满秩的，则1iimi2AB的剩余部分组成的子矩阵记为为线性规划问题的一个成线性规划的一组基，称基阵基阵，xxxxx为基变量基变量的列相对应，称为；非基变量非基变量的分量与N 1xbBNNBAA），则（可以写成）。，则相应地可以写成的分量与（，NBBxNAxbB。在约束的列相对应，称B。当基相对应的，0）称为与中令所有非基变量取值为零时，得到的解基解基解（x0B的列向量构，相应的基阵，则称其为基可行解基可行解解所有的分量都取非负时，即满足Bx可行基可行

6、基。既是最优解，又是基可行解的。称为最优基解成）有可行解，那么一定有基可行解。1 如果线性规划（3 定理定理如果线性规划（3）有最优解，那么一定存在一个基可行解是最优解。定理定理 2）有最优解，只要从基可行解上寻找最优解就以上定理说明了如果所给的线性规划（3 就可以在有限次计行了。由于基可行解的个数是有限的，只要对所有的基可行解一一检查，算后确定最优解或断定该问题无最优解。3求解线性规划的求解线性规划的MATLAB命令命令（1）MATLAB5.2及以下版本使用命令求解线性规划模型：xcminz（4）精品文档精品文档s.t.AxbmncnmbA1 为列向量。这里为 1列向量，矩阵，为x=lp(c

7、,A,b)求解线性规划模型（4）；x=lp(c,A,b,vlb,vub)指定决策变量的上下界 vlbxvub；x=lp(c,A,b,vlb,vub,x0)指定迭代的初始值 x0；Axb中前 n 个约束条件等式约束；n 表示 x=lp(c,A,b,vlb,vub,x0,n)可以用 help lp查阅有关该命令的详细信息。（2）MATLAB5.3以上版本使用命令MATLAB5.3以上的版本中优化工具箱（Optimization Toolbox）作了相当大的改进，虽然保留了lp 命令，但已经使用新的命令 linprog 取代 lp，并且在未来版本中将删除 lp 命令。求解的线性规划模型：xcminz

8、Axb.ts.（5）xAeqbequpxlbx=linprog(c,A,b)求解线性规划模型（4）；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)求解模型（5），问题中没有指定 x 的上下界；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)求解线性规划模型（5）；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)指定迭代的初始值 x0；如果模型（5）中不包含不等式约束条件，可用代替 A 和 b 表示缺省；如果没有等式约束条件，可用代替 Aeq 和 beq 表示缺省；如果某个 x 无下界或上界，可i以设定 lb（i）inf 或 ub（i）inf；用x,Fval代替上

9、述各命令行中左边的 x，则可得到在最优解 x 处的函数值 Fval；可以在 MATLAB帮助文件中查阅有关该命令的详细信息。【实验方法与步骤】【实验方法与步骤】建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号来表示它们；第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式；第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。1 1引例问题的分析与模型的建立首先，确定决策变量，要求如何安排白天电视、最佳时段电视、网络媒体、杂志广告的xxxx；次数，用符号表示，分别设定为，3421其次，确定所有的约束条件，广告总费用不超过

10、750（千元），则有xxxx750 122586453421精品文档精品文档受广告影响的女顾客数不少于 200 万，则有xxxx10016026020004503412电视广告费用不超过 450（千元），且白天至少播 4 次，最佳时段至少播出 2 次，则有xxxx2 4，450，45 862211由于网络媒体和杂志广告要重复 5 到 8 次，则有xx858，534最后，确定问题的目标函数，由题意知确定广告编排方案，使得受各种广告影响的潜在xxxxz最多。故该问题完整的线性规划模型如下：880430 顾客总数：3501803412xxxxmaxz180880 4303503412xxxx.s.t

11、122575045863412xxxx10016020002604503412xxxx450 4508603412xxxx8 0003421xxxx8 0003421xxxx，54，52，34122MATLAB计算机求解计算机求解用 MATLAB求解的程序代码：c将目标函数标准化%取 c=-350-880-430-180;a=45 86 25 12;-260-450-160-100;45 86 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;b=750;-2000;450;8;8;lb=4;2;5;5;x的上界，取表缺省%无等式约束条件和 x,Fval=linprog(c,a,b,lb,)Optimi

12、zation terminated successfully.x=4.00003.13958.00008.0000Fval=-9.0428e+003【结果分析】引例问题的目标函数是求受广告影响的最多顾客人数，而 MATLAB命令 linprog 针对线xccz在求得，将目标函数化成标准形式，5 性规划模型（）求最小值，那么我们取z受广告影响的最多潜在顾客人数为我们即可得到根据约束条件，的最大值，的最小值后，人。9042800 lp可以求得相同的结果。在这里，用命令【练习与思考】1一服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少 50 人，周五和周 精品文档精品文档日每天至少 70 人

13、，周六至少85 人。现规定应聘者需连续工作5 天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少。如果周日的需要量由 75 增至 90 人，方案应如何改变？33m 万 m（立方）和 12 每月的进气量分别为 2某地液化气公司两营业点 A 和 B9 万（立方），联合供应 4 个居民区 a、b、c、d，4 个居民区每月对气的需求量依次分别为 7.53333。营业点 A 离 4 个居民区的距离分别为 m7km、3km m、6 万 m、3 万万 m4.5、万 6km、5.5km，营业点 B 离 4 个居民区的距离分别为 4km、8km、5km、2km。问如何分配供3km）达到最小？气量使得总运输量（万 m3某工厂制造甲、乙两种产品，每种产品消耗煤、电、工作日及获利如下表所示，现有煤 360t（吨），电力 200kwh，工作日 300 个。请制定一个使总利润最大的生产计划。煤（t）电（kwh）工作日 单位利润（元/t）700043 9甲 120005510乙精品文档