2017年高考理科数学全国卷1(含答案).pdf

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1、-绝密启用前-2017 年普通高等学校招生全国统一考试在-理科数学注意事项：注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。此_2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如_-需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。_写在本试卷上无效。_卷3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。_号生 _考 _一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一_项是符合题目要求的。_ _-_ _ _上_1.已知集合A x|x 1,B x|3x_1,则_ _A.AI B x|x

2、 0B.AU B R R_ _ _ _ _C.AU B x|x 1D.AI B _ _ _ _名 _-如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方_姓 _答2._-形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A.14B.8_题_校学业毕-C.12D.43.设有下面四个命题p满足11：若复数z无zR R,则zR R；-p22：若复数z满足z R R,则zR R；p3：若复数z1,z2满足z1z2R R,则z1 z2；p4：若复数zR R,则z R R.效理科数学试题第 1 页（共 18 页）-其中的真命题为A.p1,p3B.

3、p1,p4C.p2,p3D.p2,p44.记Sn为等差数列an的前n项和若a4 a5 24,S6 48,则an的公差为A.1B.2C.4D.85.函数f(x)在(,)单调递减,且为奇函数若f(1)1,则满足1 f(x 2)1的x的取值范围是A.2,2B.1,1C.0,4D.1,36.(11x2)(1 x)6展开式中x2的系数为A.15B.20C.30D357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A.10B.12C.14D.168.右面程序框图是为了求出满足3n

4、2n1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A1000和nn1B.A1000和n n2C.A1000和nn1D.A1000和n n29.已知曲线C1:y cosx,C2:y sin(2x23),则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6理科数学试题第 2 页（共 18 页）个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C2C.把C11上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2D.把C11上

5、各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C210.已知F为抛物线C:y2 4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|DE|的最小值为A.16B.14C.12D.1011.设x,y,z为正数,且2x 3y 5z,则A.2x 3y 5zB.5z 2x 3yC.3y 5z 2xD.3y 2x 5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1

6、,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N 100且该数列的前N项和为2 的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.已知向量a a,b b的夹角为60,|a a|2,|b b|1,则|a a 2b b|.x2y 1,14.设x,y满足约束条件2x y 1,则z 3x 2y的最小值为.x y 0,x2.已知双曲线C:y215a2b21(a 0,b 0)的右顶点为A,以A为圆心,b

7、为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若MAN 60o,则C的离心率理科数学试题第 3 页（共 18 页）为.16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23 题

8、为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为a23sin A.(1)求sinBsinC;(2)若6cos BcosC 1,a 3,求ABC的周长.18.(12 分)如 图,在 四 棱 锥P ABCD中,ABCD,且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PA PD AB DC,APD90,求二面角APBC的余弦值.19.(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件,并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状

9、态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)理科数学试题第 4 页（共 18 页）(1)假 设 生 产 状 态 正 常,记X表 示 一 天 内 抽 取 的 16 个 零 件 中 其 尺 寸 在-(3，3)之外的零件数,求P(X 1)及X的数学期望；在(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件,就认为这条-生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：此_9.9510.129.969.9610.019.92_10.1310.029.2210.0410.059.95_1

10、6_116_经计算得,x _-9.9810.0410.269.911616x 9.97,s 1 x)2i22i116(x1ii116(xi16x2)0.212,_卷i1_号,16生 _考 _用样本平均数_x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值_判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(3，3)之外的数据,用剩下的数_ _-其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i 1,2_ _ _上据估计和(精确到 0.01)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _名 _-附：若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(3 Z 3)0.997 4.0.997 416 0.959 2,0.008 0.09

11、_姓 _答20.(12 分)_-22已知椭圆C:xa2yb21(a b 0),四点P（11,1）,P（20,1）,P（31,32）,P（41,32）中恰有三点在椭圆C上._题(1)求C的方程；_校学业毕-(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明：l过定点.21.(12 分)无-已知函数f(x)ae2x(a2)ex x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.效理科数学试题第 5 页（共 18 页）-(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修

12、44：坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x 3cos,(y sin为参数),直线l的参数方程为x a 4t,(y 1tt为参数).(1)若a 1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为17,求a.23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数f(x)x2ax4,g(x)|x1|x1|(1)当a 1时,求不等式（f x）g（x）的解集；(2)若不等式（f x）g（x）的解集包含1,1,求a的取值范围.理科数学试题第 6 页（共 18 页）2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案一、选择题1.【答案】A【解析】本题考查集合的运算及简

13、单不等式的求解.由3x1,得x 0,所以B x|x 0,故AI B x|x 0,故选A.2.【答案】B【解析】本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P 2228,故选B.3.【答案】B【解析】本题考查复数的计算和命题真假的判断.对于命题p1,设z a bi(a,bR R),由1z1a bia bia2b2R R,得b 0,则zR R成立,故命题p1正确；对于命题pa,bR R),由z2(a2b22,设z a bi()2abiR R,得a gb 0,则a 0

14、或b 0,复数z可能为实数或纯虚数,故命题p2错误；对于命题p3,设z1 a bi(a,bR R),z2 c di(c,d R R),由理科数学试题第 7 页（共 18 页）z1gz2(ac bd)(ad bc)iR R,得ad bc 0,不一定有z1 z2,故命题p3错误；对于命题p4,设z a bi(a,bR R),则由zR R,得b 0,所以z aR R成立,故命题p4正确.故选B.4.【答案】C【解析】本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用.等差数列an中,S(a a6)n612 48,则a1 a616 a2 a5,又a4 a5 24,所以a4 a2 2d 24 16 8,得d

15、4,故选C.5.【答案】D【解析】本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数f(x)在(,)上为单调递减函 数,且 为 奇 函 数,则f(1)f(1)1,所 以 原 不 等 式 可 化 为f(1)f(x2)f(1),则1 x21,即1 x 3,故选D.6.【答案】C【解析】本题考查二项式定理中项的系数问题.对于(11x2)(1 x)6,若要得到x2项,可以在(11621x2)中选取 1,此时(1 x)中要选取含x2的项,则系数为C6；当在(1x2)中选取1x2时,(1 x)6中要选取含x4的项,即系数为C46,所以,展开式中x2项的系数为C26C4630,故选 C.7.【答案】B【解析】本题考

16、查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A BCE和下方的三棱柱BCE B1C1A构成,其中面CC1A1A和面BB(24)21A1A是梯形,则梯形的面积之和为212.故选B.8.【答案】D【解析】本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n2n1 000的最小偶数,可判断出循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果,所以判断语句应为A1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n n 2,故选D.9.【答案】D理科数学试题第 8 页（共 18 页）【解析】本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.首先利用诱导公式化异名为

17、同名.y sin(2x23)cos(2x232)cos(2x6)cos2(x12),由y cosx的图象得到y cos2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变；由y cos2x的图象得到y cos2(x12)的图象,需将y cos2x的图象上的各点向左平移12个单位长度,故选D.10.【答案】A【解析】如图所示,设直线AB的倾斜角为,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1,则|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,过点F向AA1引垂线FG,得|AG|AF|AF|p|AF|cos,则|AF|=p1cos,同理,|BF|=p1cos,则|AB|AF|BF|2psi

18、n2,即|AB|4sin2,因l与l2垂直,故直线DE的倾斜角为2或2,理科数学试题第 9 页（共 18 页）则|DE|4cos2,则|AB|DE|444416sin2cos2sin2cos2(12sin2)2sin22,则易知|AB|DE|的最小值为 16.故选 A.11.【答案】D【解析】由2x 3y 5z,可设(2)2x(33)3y(55)5z t,因为x,y,z为正数,所以t 1,因为2 62368,33 63269,所以2 33；因为2 10251032,55 1025,所 以2 55,所 以55 2 33.分 别 作 出y (2)x,y (33)x,y (55)x的图像,如图.则3

19、y 2x 5z,故选 D.12.【答案】A【解 析】本 题 考 查 了 等 比 数 列 求 和、不 等 式 以 及 逻 辑 推 理 能 力.不 妨 设1(12)(1 2 2n1)(1 22t)2m(其中m、n、tN N,0t n),则有N n(n1)2t 1,因为N 100,所以n 13.由等比数列的前n项和公式可得2n1n2 2t11 2m.因为n 13,所以2n n 2,所以2n1 2nn2,即2n1n2 2n因为2t110,所以2m 2n1n2 2n,故m n1,因为2t112n11,所以2m 2n2n3,故m n1.所以m n1,从而有n 2t13,因为n 13,所以t 3.当t 3时

20、,N 95,不合题意；当t 4时,N 440,满足题意,故所求的最小值为440.二、填空题13.【答案】2 3【解析】本题考查向量数量积的计算.由题意知a a gb b|a a|g|b b|cos60 21121,则|a a 2b b|2(a a 2b b)2|a a|24|b b|24a a gb b 444 12.所以|a a 2b b|2 3.14.【答案】5理科数学试题第 10 页（共 18 页）【解析】本题考查利用线性规划求解最值.由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.平 移 直 线3x 2y 0可 知,目标函 数z 3x 2y在A点 处 取 最小 值,又 由x 2y 1,解得2x

21、 y 1x 1,即A(1,1),所以y 1,zmin 3(1)21 5.15.【答案】2 33【解析】本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M、N在渐近线y bax上,如图,AMN为等边三角形,且|AM|b,则A点到渐近线y bax的距离为32b,又将y bax变形为一般形式为bx ay 0,则A(a,0)到渐近线bx ay 0的距离d|ba|ababa2b2c,所以3a3c2b,即c2,所以双曲线离心率e ca2 33.16.【答案】4 15【解析】由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO并延长交AB于H,连接理科数学试题第 11 页（共 18 页）DO、DH.则DO 平面AB

22、C.令OH x cm,则OC 2x cm,DH (5 x)cm,得OD(5 x)2 x22510 x cm,AB 2 3 cm.则V1 1DABC3(2g 2 3x g 3x)g2510 x 3x2g 2510 x 15x252x cm3,令f(x)15x252x,则x(0,2)时,f(x)15(2 x 5 2x x2g15 2x)15(10 x 5x2f(x)5 2x,则当单调递增,当x(2,2.5)时,f(x)单调递减,所以当x 2时,体积取最大值,为34 5 4 15 cm3.三、解答题17.【答案】解：(1)由题设得1a21a2acsin B 3sin A,即2csin B 3sin

23、A.由正弦定理得12sinCsin B sin A3sin A.故sin BsinC 23.(2)由题设及(1)得cosBcosC sin BsinC 112,即cos(BC)2.所以B C 23,故A 3.由题设得12bcsin A a23sin A,即bc 8.由余弦定理得b2c2bc 9,即(bc)23bc 9,得bc 33.故ABC的周长为333.【解析】本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用.18.【答案】解：(1)由已知BAP CDP 90o,得AB AP,CD PD.由于AB/CD,故AB PD,从而AB 平面PAD.又AB 平面PAB,所以平面PAB 平面P

24、AD.理科数学试题第 12 页（共 18 页）(2)在平面PAD内作PF AD,垂足为F.由(1)可知,AB 平面PAD,故AB PF,可得PF 平面ABCD以F为坐标原点,uFAu u r.的方向为x轴正方向,|uuuABr|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F xyz.由(1)及已知可得A(222,0,0),P(0,0,22),B(22,1,0),C(2,1,0)所以uPCuu r(22uuu r2,1,22),uCBuu r(2,0,0),uPAuu r(22,0,2),AB (0,1,0)设n (x,y,z)是平面PCB的法向量,则uuu r2nPCx y2z 0,uCBuu r

25、0,0,即2n22x 0.可取n (0,1,2).设m (x,y,z)是平面PAB的法向量,则uuu r2mPAmuABuu r 0,即 0,2x22z 0,y 0.可取m (1,0,1).则cos n,m n gm|n|m|33.所以二面角APBC的余弦值为33.【解析】本题考查了立体几何中面面垂直的证明和二面角问题.理科数学试题第 13 页（共 18 页）19.【答案】(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为 0.997 4,从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为 0.002 6,故X B(16,0.002 6),因此P(X 1)1 P(X 0)10.997 416 0.040

26、8.X的数学期望为EX 160.00260.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有 0.002 6,一天内抽取的 16 个零件中,出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有 0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x 9.97,s 0.212,得的估计值为 9.97,的估计值为 0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3,3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔 除(3,3)之 外 的 数 据9.

27、22,剩 下 数 据 的 平 均 数 为115(169.979.22)10.02,因此的估计值为10.02.16x2i160.2122169.9721591.134,剔除(3,3)之外的数据 9.22,i1剩下数据的样本方差为,1(1591.1349.222151510.022)0.008,因此的估计值为0.008 0.09.【解析】本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.20.【答案】(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由1a21b21a234b2知,C不经过点P1,所以点P2在C上.1b21,因此a2 4,13解得a24bb21.21,C

28、的方程为x2故4 y21.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x t,由题设知理科数学试题第 14 页（共 18 页）t 0,且|t|2,可得A,B的坐标分别为(t,4t24t22),(t,2).4t222则k1k22t4t 22t 1,得t 2,不符合题设.从而可设l:y kxm(m 1).将y kx m代入x24 y21得(4k21)x28kmx4m24 0.由题设可知 16(4k2m21)0.(x8km4m2设A41,y1),B(x2,y2),则x1 x2 4k21,x1x24k21.而ky111 k2xy211x2kx1m1kx2mx11x22

29、kx1x2(m1)(x1 x2)x,1x2由题设k1k2 1,故(2k 1)x1x2(m1)(x1 x2)0.即(2k 1)g4m2484k21(m1)gkm4k21 0.解得k m12.当且仅当m 1时,0,于是l:y m12xm,即y 1 m12x2,所以l过定点(2,1).【解析】解析本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题.21.【答 案】(1)f(x)的 定 义 域 为(,),f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a 0,则f(x)0,所以f(x)在(,)单调递减.(ii)若a 0,则由f(x)0的x lna.当x(,lna)时,f(

30、x)0；当x(lna,)时,f(x)0理科数学试题第 15 页（共 18 页）所以f(x)在(,lna)单调递减,在(lna,)单调递增.(2)(i)若a 0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.(ii)若a 0,由(1)知,当x lna时,f(x)取 得 最 小 值,最 小 值 为f(lna)11alna.当a 1时,由于f(lna)0,故f(x)只有一个零点；当a(1,)时,由于11alna 0,即f(lna)0,故f(x)没有零点；当a(0,1)时,11alna 0,即f(lna)0.又f(2)ae4(a2)e22 2e22 0,故f(x)在(,lna)有一个零点.设正整数n30满足n0

31、 ln(a1),则f(nnnnn0)e0(ae0 a 2)n0 e0n0 20n0 0.由于ln(3a1)lna,因此f(x)在(lna,)有一个零点.综上,a的取值范围为(0,1).【解析】本题考查了利用导数讨论函数的单调性和函数的零点问题.【答案】解：(1)曲线C的普通方程为x222.y291.当a 1时,直线l的普通方程为x 4y 3 0.x4y3 0,21由x2x 3,x 25,2解得 9 y 1y 0或24y 25.从而C与l的交点坐标为(3,0),(2125,2425).(2)直线l的普通方程为x4y a4 0,故C上的点(3cos,sin)到l的距离为d|3cos4sina4|1

32、7.当a 4时,d的最大值为a9a917,由题设得1717,所以a 8；当a 4时,d的最大值为a1a117,由题设得1717,所以a 16.理科数学试题第 16 页（共 18 页）综上,a 8或a 16.【解析】本题考查参数方程的应用.23.【答案】解：(1)当a 1时,不等式f(x)g(x)等价于x2 x|x1|x1|4 0.当x 1时,式化为x23x4 0,无解；当1 x1时,式化为x2 x2 0,从而1 x1；当x 1时,式化为x2 x4 0,从而1 x 1 172.所以f(x)g(x)的解集为x|1 x 1 172.(2)当x1,1时,g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1,等价于当x1,1时f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一,所以f(1)2且f(1)2,得1 a 1.所以a的取值范围为1,1.【解析】本题考查参数方程的应用.理科数学试题第 17 页（共 18 页）理科数学试题第 18 页（共 18 页）