2015年安徽高考理科数学试卷及答案.pdf

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1、20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷安徽卷)数学数学(理科理科)参考公式:如果事件 A 与 B 互斥,那么P(A B)P(A)P(B);标准差:s 1(x1 x)2(x2 x)2n(xn x)2,其中x 1(x1 x2n xn).一、选择题：本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1.设 i 是虚数单位,则复数2i在复平面内所对应的点位于（）1i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是（）（A）y cosx（B）

2、y sin x（C）y ln x（D）y x 1【答案】A.3.设p:1 x 2,q:2 1,则 p 是 q 成立的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A.4.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y 2x的是（）x2y2x2y2x22221（B）y 1（C）x 1（D）y 1（A）x 44442【答案】C5.已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是（）（A）若,垂直于同一平面,则与平行（B）若m,n平行于同一平面,则m与n平行（C）若,不平行,则在内不存在与平行的直线（D）若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同

3、一平面【答案】D6.若样本数据x1，x2，x10的标准差为8,则数据211正(主)视图112俯视图211侧(左)视图22x11,2x21,2x101的标准差为（）（A）8（B）15（C）16（D）32【答案】C7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（）（A）13（B）23（C）12 2（D）2 2【答案】B.8.C是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 2a,C 2a b,则下列结论正确的是（）（A）b 1（B）a b（C）ab 1（D）4a b C【答案】D.C2a+bb2aAB第 1 页 共 5 页9.函数fxaxbxc2的图象如图所示,则下列结论成立的是（）（A）a 0

4、,b 0,c 0（B）a 0,b 0,c 0（C）a 0,b 0,c 0（D）a 0,b 0,c 0【答案】C10.已知函数fx sinx(,均为正的常数)的最小正周期为,当2时,函数fx取得最小值,则下列结论正确的是（）3（A）f2 f2 f0（B）f0 f2 f2x（C）f2 f0 f2（D）f2 f0 f2【答案】A二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置-212O5128122x175311.(x)的展开式中x的系数是（用数字填写答案）x【答案】3512.在极坐标中，圆8sin上的点到直线开始a=1,n=13(R)距离的最大值是|a1.4

5、14|0.005?是1a11an=n+1否输出n结束【答案】613.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为【答案】414.已知数列an是递增的等比数列,a1a4 9,a2a3 8,则数列an的前n项和等于n【答案】2 1.315.设x axb 0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）(1)a 3,b 3;(2)a 3,b 2;(3)a 3,b 2;(4)a 0,b 2;(5)a 1,b 2.【答案】(1)(3)(4)(5)三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题卡上的指

6、定区域内3,AB 6,AC 3 2,点 D 在BC边上,AD BD,求AD的长.42解:在ABC中,BC2 AC2 AB22AC ABcosA 183623 26()90,即BC 3 10;23 10从而AC2 BC2 AB22BCABcosB,cosB;103 10又AD BD,所以BDcosB BD 3,所以AD BD 10.1016.(本小题满分 12 分)在ABC中,A17.(本小题满分 12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或 3 件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测

7、出是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设X表示直到检测出 2 件次品或 3 件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值.解:(1)P(第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品)233;5410(2)X的可能取值为 200,300,400X 200表示前 2 次取出的是次品;第 2 页 共 5 页X 300表示前 2 次取出的是 1 件次品和 1 件正品,第三次取出的是次品;或前 3 次取出的都是正品;X 400表示前 3 次取出的是 1 件次品和 2 件正品,第四次取出的是 1 件次品;前 3 次取出的是 1 件次品和 2件正品,第四次取出的是 1 件正品

8、.11323122C2C3 A33;A21,2A3C2C36.P(X 300)P(X 200)2P(X 400)3A510A510A5410136E(X)200300400 350.1010102n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.18.(本小题满分 12 分)设nN*,xn是曲线y x(1)求数列xn的通项公式;22(2)记Tn x1x321.x2n1,证明:Tn解:(1)y (2n2)x2n14n2n21在 点(1,2处,当x 1时,y 2n2,所 以 曲 线y x)的 切 线 为y x2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标xny 2 (2 n 2)x(;因此曲线12

9、n12(2n1)2222f(n)4nT 4nx x x(2)由(1)知x2n1(,令)n132n1,则f(n)0;22n4n222x2f(n1)4(n1)x12x3n12n124n24n1n1x2n1因为()12222f(n)4nx1x3x2n1n2n24n 4n2n;n1所以f(n)在nN*A12111单调递增的,因此f(n)f(1)4x 4()21,所以f(n)1,即Tn.24n19.(本小题满分 13 分)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EF B1C;(2)

10、求二面角E A1D B1的余弦值.CD,因此四边形ABCD是(1)证明:因为AA1B1B,ABCD均为正方形,所以A1B111EB1FA,所D1DCB以A1D B1C;而B1C 面A1DE,A1D 面A1DE,所以B1C 面A1DE,又因为过B1,C,D1平面交面A1DE于EF,所以EF B1C.(2)取B1C中点M,取A1D中点H,连HM,HD1,则HM CD,由四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形知CD A1D,HD1 A1D,因此A1D 面MHD1,设面MHD1交EF于N.连HN,则A1D HN,A1D HM,所以MHN为二面角E A1D B1的平面角.由(1)知EF B

11、1C,又E为B1D1的中点,所以N为MD1的中点.设四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD的边长为 2,在Rt MHD1中,A1B1AEHMNFD116.MD122HN2 MH2MN2MH6在MHN中,cosMHN.2HN MH2HN3MH 2,HD12,HN MN 6所以二面角E A1D B1的余弦值为.BC3x2y220.(本小题满分 13 分)设椭圆 E 的方程为221(a b 0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点abD第 3 页 共 5 页B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|2|MA|,直线OM的斜率为(1)求 E 的离心率e;5.107,求 E 的方程

12、.2解:(1)由点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|2|MA|,知BM 2MA,(2)设点C坐标为(0,b),N为线段AC中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为即点M分线段BA的比为 2,所以点M(5b52a b,所以,即a 5b,由,);又直线OM的斜率为102a1033a2 b2c2得e2(2)因 为2 54,e.552222xyN为 线 段AC中 点,所 以N(a,b)即N(5b,b),而 直 线AB的 方 程 为1,即abx5y 5b;而点N关于直线AB的对称点纵坐标为b22 5(5b5b5b)722b;又点N关于直线AB的对称点的66x2y

13、271为所求.纵坐标为,所以b 2,因此,a 5b 2 5,所以2042221.(本小题满分 13 分)设函数f(x)x ax b.(1)讨论函数f(sin x)在(,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;2 22(2)记f0(x)x a0 xb0,求函数|f(sin x)f0(sin x)|在,上的最大值 D;2 2a2(3)在(2)中.取a0 b0 0,求z b满足条件D 1时的最大值.4解:(1)令t sin x,x(1)当 a,),t(1,1),f(x)x2ax b开口向上,对称轴为x;22 2a 1,即a 2时,f(sin x)在(,)内是单调递增的;22 2a2aab;2)

14、当 1,即2 a 2时,函数f(sin x)在t 处取得极小值,f(sin x)极小 422a 3)当1,即a 2时,f(sin x)在(,)内是单调递减的;22 2另:f(sin x)sin xasin xb,f(sin x)2sin xcosxacosx cosx(2sin xa),因为x(所以cosx 0,由f(sin x)cosx(2sin xa)0得sin x 2,),2 2a.2a2aab;1)当 1,即2 a 2时,函数f(sin x)在sin x 处取得极小值,f(sin x)极小 4222)当a 2时,f(sin x)在(3)当a 2时,f(sin x)在(,)内是单调递增的

15、;2 2,)内是单调递减的;2 2第 4 页 共 5 页(2)令t sin x,x,t1,1,2 2|f(sin x)f0(sin x)|f(t)f0(t)|(a a0)t bb0|(a a0)t(bb0)|,所以|f(sin x)f0(sin x)|在,上的最大值D max|(aa0)(bb0)|,|(aa0)()(bb0)|2 222(bb0)|2|(aa0)()(bb0)|2 2(aa0)(bb0)22a a0a a0a a0a a0所以当或时,D|(aa0)(bb0)|;当或时D|(aa0)(bb0)|.22b b0b b0b b0b b0aa(3)在(2)中,a0 b0 0时,D m

16、ax|ab|,|a()b|max|b|,|b|;由2222aaaaa 0a 0a 0a 0或时,D|或时D|b|2|b|2 2ab;所以当b|;当b|.2222b 0b 0b 0b 0a 0a 0a 0a 0aa因此,当或时,由D|或时D|b|1;当b|1.22b 0b 0b 0b 0a2aab如图,当z b与直线b 1或b 1相切时,z最大,4226aa2a5z=b-24把1 b代入z b得a 2a4z 4 0,所以424a+b=-1a222-b=14a32244(4z 4)0得z,因此z b满足条件D 1时的44221224-最大值为.a44 3 2 1O1234因为|(aa0)2a-b=-121234a+b=12第 5 页 共 5 页