小学数论知识点梳理.pdf

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1、小学知识点梳理数论1奇偶性问题（1）奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。最小的奇数是，最小的偶数是（2）奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数。性质 2：偶数奇数=奇数。性质 3：偶数个奇数相加得偶数。性质 4：奇数个奇数相加得奇数。性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。偶数偶数=偶数（）反证法例：桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”.请说明：无论

2、经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使 9 只杯子口全朝下，必须经过 9 个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。二位值原则形如：abc=100a+10b+c三、整除性（）

3、概念一般地，如 a、b、c 为整数，b0，且 ab=c，即整数 a 除以整除 b（b 不等于 0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是 0），我们就说，a 能被 b 整除（或者说 b 能整除a）。记作 ba.否则，称为 a 不能被 b 整除，（或 b 不能整除 a），记作 b a。如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。（）性质性质 1：（整除的加减性）如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。即：如果 ca，cb，那么 c（ab）。例如：如果 210，26，那么 2（106），并且 2（106）。也就是说，被除数

4、加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a.即：如果 bca，那么 ba，ca。性质 3：（整除的互质可积性）如果b、c 都能整除 a，且b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a。即：如果 ba，ca，且（b，c）=1，那么 bca。例如：如果 228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质 4：（整除的传递性）如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。即：如果 cb，ba，那么 ca。例如：如果 39，927，那么 327。性质 5：a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整

5、除。（）数的整除特征能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。突破口能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。判断能被 3（或 9）整除的数还可以用“弃（或）法”：例如：能被整除么？解：，在数字中只剩，不是的倍数，所以不能被整除。能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。能被 7（11

6、或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除，依此反复检验。例如：判断 3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为 8212819，又 13819，所以 132821，进而 133546725.上述办法也可以用来判断余数和末位数；对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。四带余除法一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0），那么一定有另外两个整数 q 和 r，0

7、rb，使得a=bq+r当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 r0 时，我们称a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为 ab=qr，0rba=bq+r五、质数和合数约数又叫因数：在正整数范围内 整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。例如：a=bc b 和 c 就都叫做 a 的约数（1）一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。（2）自然数除 0 和 1 外，按约数的个数分为质数和合

8、数两类。任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。（3）最小的质数是 2，2 是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是 4。（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（和），可能是一个质数和一个合数（和），可能是两个合数（和）或 1 与另一个自然数。（）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：24=2223 2402223 25（）以内的质数有个：、六、约数与倍数（）公约数和最大公约数几个

9、数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：是和的最大公约数，可记做：（，）（）公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：36 是 12 和 18 的最小公倍数，记作12，18=36。（）最大公约数和最小公倍数的关系如果用 a 和 b 表示两个自然数、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a，b）a，b=ab。（多用于求最小公倍数）、（a，b）a，ba，b、a，b是（a，b）的倍数，（a，b）是a，b的约数、（a，b）是 ab和 ab的约数，也是（a，b）a，b和（a，b）a，b

10、的约数（）求最大公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。例如：、（短除法）用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？解：（30，60，75）=53=15这个数最大是 15。、（分解质因数法）求和的最大公约数是多少？解：（这个质分解常用到），所以最大公约数是在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。、（辗转相除法）用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。解：4811=21981+849，1981=2849+283，849=3283，（4811，1981）=283。补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公

11、约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。（）约数个数公式一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数每个质因数的个数（即指数指数）加 1 的连乘的积。设自然数 n 的质因子分解式如 n=p1p2。pk 那么：n 的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)。(ak+1)n 的所有约数和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1+Pk+Pk+pk）例如：求 240 的约数的个数。解：240222235=2240 的约数的个数是（41）（1+1）（11）=20，240 有 20 个约数。43151唯

12、一分解定理唯一分解定理任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即n=p1p2。pk七、同余定理同余定义：若两个整数 a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a，b 对于模 m 同余，用式子表示为 ab(modm)若两个数 a，b 除以同一个数 c 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 c 整除。两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差。两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积。孙子定理（中国剩余定理）:同余问题中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。

13、又称中国剩余定理:孙子算经中的题目：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？八、完全平方数性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那麼我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意 A+B，A-B 同奇偶性。约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为 3 的是质数的平方。质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。平方和。完全平方数特征完全平方数特征221.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3.除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4.约数个数

14、为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：X-Y=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）=X+2XY+Y完全平方差公式：（X-Y）=X-2XY+Y22222222九、辗转相除法（又叫欧几里得原理）辗转相除法是求最大公约数的另一种方法。具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是 0 为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。例如：求 112 和

15、 77 的最大公约数。辗转相除法的过程如下；把 112 和 77 并列用 77 去除 112，写好，用三条竖线隔商 1（写在左边），余数开。35。即：11277=1 余 35 7735=2 余 7 357=5余 0当最后余数是 0 时，辗转相除的过程已经完成，最后的除数 7 就是 112 和 77 的最大公约数。辗转相除法的算理是根据：在a=bq+r，中，除数 b 和余数 r 能被同一个数整除，那么被除数 a 也能被这个数整除。或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。如果用辗转相除法求两个数的最大公约数时，最后的余数是1，那么这两个数就是互质数，或者说，它们只有公约数1。枚举、归纳、反证、构造、配对、估计十、数论解题的常用方法：