小升初数学培优讲义全46讲—第40讲 容斥原理.pdf

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1、让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义第第 4040 讲讲容斥原理容斥原理考点解读考点解读1 1、考察范围：、考察范围：AB、ABC 类型。2 2、考察重点：、考察重点：求三者公共区域数，总数。3 3、命题趋势：、命题趋势：一般出现在填空题后面几道，大题选考。知识梳理知识梳理容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。容斥原理在计数时，必容斥问题容斥问题：有重复包含关系的问题。须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得

2、计算的结果 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。1 1、两种量的容斥原理问题、两种量的容斥原理问题如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A 类 B 类元素个数总和=属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数。即 AB=A+B-AB2 2、三种量的容斥原理问题、三种量的容斥原理问题如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么，A 类和 B 类和 C 类元素个数总和=A 类元素个数+B 类元素个数+C 类元素

3、个数既是 A 类又是 B 类的元素个数既是A 类又是 C 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。即 ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC典例剖析典例剖析1让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【例【例 1 1】在 1-30 的自然数中，是 2 的倍数或者 3 的倍数的数共有多少个？【变式练习】【变式练习】1、在 1-200 的自然数中能被 3 或 5 整除的数有多少个？【例【例 2 2】三年级同学有 56 人参加科技和美术两个课外兴趣小组。其中参加科技组的有 36人，参加美术组的有 28 人，两个小组都参加的有多少人？【变式练习

4、】【变式练习】1、某区 100 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有 75 人，既懂英语又懂俄语的有 20人，那么懂俄语的教师有多少人？2、一个班有36 个学生，在一次测验中，答对第一题的有25 人，答对第二题的有23 人，两题都答对的有 15 人，那么两题都不对的有多少人？2让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【例【例 3 3】有一根 180 厘米长的绳子，从一端开始，每 3 厘米作一个记号，每 4 厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？【变式练习】【变式练习】1、有一根 120 厘米长的绳子，从一端开始，每 5 厘米作一个记号，每 6 厘米也做一个记号，然后将有

5、记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？2、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10 等份，第二种将木棍分成12 等份，第三种将木棍分成15 等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【例【例 4 4】一次数学测验中只有两道题，结果全班有10 人全对，第一题有 25 人做对，第二踢有 18 人做错，那么两题都做错的有多少人？3让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义【变式练习】【变式练习】1、某班在一次测验中有28 人语文获优，30 人数学获优，其中语文、数学双优的有1 人，另外还有 1 人语文、数学均未获优，这个共有多少学生？2、有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块

6、木板长25 厘米，中间钉在一起的长5 厘米，现在木板有多长？【例【例 5 5】100 个学生中只有 1 人没有学过外语。学过英语的有39 人，学过法语的有 49 人，学过俄语的有 41 人。既学过英语也学过法语的有14 人，既学过英语也学过俄语的有13 人，既学过法语也学过俄语的有9 人。问：三种语言都学过的有多少人？【变式练习】【变式练习】1、某校共 100 名学生参加运动会，其中 39 人参加游泳比赛，49 人参加田径比赛，414让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义人参加球类比赛，既参加游泳又参加田径比赛的有14 人，既参加田径又参加球类比赛的有13 人，既参加游泳又参加球类比赛的有 9

7、人，还有 1 人这三项比赛都不参加，求这三项比赛都参加的有多少人？2、某学校五年级共有 110 人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组。已知参加语文小组的有 52 人，只参加语文小组的有16 人；参加英语小组的有61 人，只参加英语小组的有 15 人；参加数学小组的有 63 人，只参加数学小组的有 21 人。那么三组都参加的有多少人？A A、温故知新温故知新1、一个班有45 个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书。借语文课外书的有 39 人，借数学课外书的有 32 人。语文、数学两种课外书都借的有多少人？2、三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加

8、科技组的有 36 人，参加美术组的有28 人，两个小组都参加的有8 人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组？课后精练课后精练5让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义3、某班学生中参加语文小组的有20 人，参加数学小组的有 22 人。既参加语文又参加数学小组的有 10 人，既未参加语文又未参加数学的有15 人。问该班学生共有多少人？4、有两块木板，一块长 72 厘米，另一块长 56 厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块，重叠部分是 20 厘米。求钉成后的木板长多少厘米？5、某班学生参加数、理、化三科考试：数、理、化优秀的学生分别是 30 人、28 人、25 人。数+理、理+化、数+化都优秀的学生分别

9、有20 人、16 人、17 人，三科全优秀的有 10 人。问：数、理、化三科至少有一科优秀的有多少人？6、六年级 100 名同学，每人至少爱好体育、文艺、科学三项中的一项。其中：爱好体育的55 人，爱好文艺的 56 人，爱好科学的 51 人，三项都爱好的 15 人；只爱好体育和科学的46让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义人，只爱好体育和文艺的 17 人。问只爱好体育的有多少人？有多少人只爱好科学和文艺两项？7、某班语文、数学、外语三门课程，期中成绩统计如下：至少有一门课程得满分的学生只有 18 人，语文得满分的有9 人，数学得满分的有 11 人，外语得满分的有8 人，语文数学都得满分的有 5

10、 人，数学外语都得满分的有3 人，语文外语都得满分的有4 人。问：语文、数学两门课程中至少有一门得满分的有多少人？语文、数学、外语都得满分的有多少人？B B、拓展提升拓展提升1、某班有学生 46 人，其中 28 人学钢琴，35 人学电脑，37 人学美术，40 人学奥数，那么这个班至少有多少人四项都学？2、在迎新联欢晚会上，共有90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出，如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7 人；只参7让优秀成为一种习惯小升初数学培优讲义加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？3、图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名，已知这100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有 33、44 和 55 本，其中同时由甲、乙签名的是 29 本，同时由甲、丙签名的是 25本，同时由乙、丙签名的是 36 本。问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一个人借阅过？8