小学奥数之蝴蝶定理.pdf

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1、小学奥数小学奥数-蝴蝶定理蝴蝶定理一、一、基本知识点基本知识点定理定理 1 1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。等于对应底边之比。S1:S2=a:b定理定理 2 2：等分点结论：等分点结论(鸟头定理鸟头定理)如图，三角形AED 的面积占三角形ABC 的面积的3135420定理定理 3 3：任意四边形中的比例关系：任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理蝴蝶定理)1）S1S2=S4S3或S1S3=S2S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AOOC=（S1S2）（S4S3）梯形中的比例关系梯形中的比例关系(梯形蝴蝶

2、定理梯形蝴蝶定理)1）S1S3=a2b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1S3S2S4=a2b2abab4）S 的对应份数为（a+b）2定理定理 4 4：相似三角形性质：相似三角形性质11）abchABCH2）S1S2=a2A2定理定理 5 5：燕尾定理：燕尾定理SABG SAGC=SBGE SGEC=BEECSBGA SBGC=SAGF SGFC=AFFCSAGC SBCG=SADG SDGB=ADDB二、二、例题分析例题分析例例 1 1、如图，、如图，AD DB，AE EF FC，已知阴影部分面积为，已知阴影部分面积为5平方厘米，平方厘米，ABC的面积是

3、的面积是多少平方厘米？多少平方厘米？例例 2 2、有一个三角形、有一个三角形ABC的面积为的面积为 1 1，如图，且，如图，且AD 三角形三角形DEF的面积的面积.AAEFCDB111AB，BE BC，CF CA，求，求234D例例 3 3、如图，在三角形、如图，在三角形 ABCABC 中，中，D D 为为 BCBC 的中点，的中点，上的一点，上的一点，且且 BE=BE=BEFCE E 为为 ABAB三三 角角1AB,AB,已知四边形已知四边形 EDCAEDCA 的面积是的面积是 3535，求求3形形 ABCABC 的面积的面积.2例例 4 4、例 1如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面

4、积和。（单位：厘米）例 5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例 6、如下图，图中 BO=2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？例例 7 7、（小数报竞赛活动试题）（小数报竞赛活动试题）如图，如图，某公园的外轮廓是四边形某公园的外轮廓是四边形 ABCDABCD，被对角线被对角线 ACAC、BDBD 分成四个部分，分成四个部分，AOBAOB面积为面积为 1 1 平方千米，平方千米，BOCBOC 面积为面积为 2 2 平方千米，平方千米，CODCOD 的面积为的面积

5、为 3 3 平方千米，平方千米，公园陆地的公园陆地的面积是面积是 6.926.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例例 8 8、如图：在梯形、如图：在梯形 ABCDABCD 中，三角形中，三角形 AODAOD 的面积为的面积为 9 9 平方厘米，三角形平方厘米，三角形 BOCBOC 的面积为的面积为2525 平方厘米，求梯形平方厘米，求梯形 ABCDABCD 的面积。的面积。3A A9 9O O2525B BD DC C例例 9 9、（2003 北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。如果三

6、角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且3AO 2，DO 3，那么CO的长度是DO的长度的_倍。DAOBC例例 1010、左下图所示的、左下图所示的ABCDABCD 的边的边 BCBC 长长 10cm10cm，直角三角形，直角三角形 BCEBCE 的直角边的直角边 ECEC 长长 8cm8cm，已知，已知2 2两块阴影部分的面积和比EFG两块阴影部分的面积和比EFG 的面积大的面积大 10cm10cm，求，求 CFCF 的长。的长。例例 1111、长方形、长方形ABCDABCD 的面积为的面积为 3636 平方厘米，平方厘米，E E、F F、G G 分别为边分别为边 ABAB、BCBC、

7、CDCD 的中点，的中点，H H为为 ADAD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？4例例 1212、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是1010 厘米和厘米和 1212 厘米，求阴影部厘米，求阴影部分的面积。分的面积。例例 1313、如图，大正方形、如图，大正方形 ABCDABCD 的边长为的边长为 6 6，依以下条件求三角形，依以下条件求三角形 BDFBDF 的面积。的面积。例例 1414、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分（右图是一块长方形耕地，

8、它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为别为 1515、1818、3030 公顷，问图中阴影部分的面积是多少？公顷，问图中阴影部分的面积是多少？例例 1515、如下图，已知、如下图，已知D D 是是 BCBC 的中点，的中点，E E 是是 CDCD 的中点，的中点，F F 是是 ACAC 的中点，且的中点，且ADG的面积比的面积比?EFG的面积大的面积大 6 6 平方厘米。平方厘米。ABC的面积是多少平方厘米AFGBDEC三、三、练习题练习题1 1、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD 中，中，ACAC 和和 BDBD 相交于相交于 O O 点，三角形点，三角形ADOADO

9、 的面积的面积=5=5，三角形，三角形DOCDOC 的面积的面积=4=4，三角形，三角形 AOBAOB 的面积的面积=15=15，求三角形，求三角形 BOCBOC 的面积是多少？的面积是多少？52 2、如图所示，、如图所示，BDBD，CFCF 将长方形将长方形 ABCDABCD 分成分成 4 4 块，块，DEFDEF 的面积是的面积是 4 cm4 cm，CEDCED 的面积是的面积是6cm6cm。问：四边形。问：四边形 ABEFABEF 的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？223 3、如右图、如右图 BE=BE=11BCBC，CD=CD=ACAC，那么三角形，那么三角形 AEDAED

10、的面积是三角形的面积是三角形 ABCABC 面积的面积的_._.34A AD DB BC CE E65、如图所示，已知 ABCD 是长方形，AE:ED=CF:FD=1:2，三角形 DEF 的面积是 16平方厘米，求三角形 ABE 的面积是多少平方厘米？6 6、如右图，如右图，ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，己知三角面积如下图所示是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方单位：平方厘米厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。，阴影部分的面积是多少平方厘米。7 7、正方形正方形 ABFDABFD 的面积为的面积为 100100 平方厘米，直角三角形平方厘米，直角三角形 ABCAB

11、C 的面积，比直角三角形（的面积，比直角三角形（CDECDE的面积大的面积大 3030 平方厘米，求平方厘米，求 DEDE 的长是多少？的长是多少？8 8、已知已知ABC中，中，AB AC 12cm，ABC的面积是的面积是AB,AC的距离是的距离是x,y，那么，那么x y；cm2，P是是BC上任意一点，上任意一点，P到到BA816E2CD9 9、如右图所示，如右图所示，已知三角形已知三角形 ABCABC 面积为面积为 1 1，延长延长 ABAB 至至 D D，使使 BD=ABBD=AB；延长延长 BCBC 至至 E E，使使 CE=2BCCE=2BC；延长延长 CACA 至至 F F，使，使 AF=3ACAF=3AC，求三角形，求三角形 DEFDEF 的面积。的面积。7