培优3三数和的完全平方公式.pdf

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1、初中数学培优讲座初中数学培优讲座 3 3三数和的完全平方公式三数和的完全平方公式三个数和的平方公式三个数和的平方公式:(a b c)2 a2b2 c2 2ab 2bc 2ca证明证明：(a b c)2(a b)c2(a b)2 2(a b)c c2 a22abb22ac2bcc2 a b c 2ab2bc2ca222等式成立语言描述：语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两数的积的 2 倍。一般地，我们有一般地，我们有(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca即三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数的积的三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数

2、的积的 2 2 倍。倍。这个公式叫做（乘法的）三数和的完全平方公式三数和的完全平方公式。扩展：扩展：几个数的和的平方，等于这几个数中每个数的平方和加上其中每两个数的积的 2 倍。练习：练习：运用三数和的完全平方公式计算：（1）(abc)；（2）(abc)；（3）(abc)；（4）(abc)。例例 1 1运用三个数的完全平方公式计算：运用三个数的完全平方公式计算：（1）(x2y z)；（2）（a-2b+c）2；（3）(mn3)。解：解：（1）(x2y z)x(2y)z 2 x(2y)2(2y)z 2 z x2222222222 x2 4y2 z2 4xy 4yz 2xz；（2）(a2bc)a(2

3、b)c 2a(2b)2(2b)c 2ca2222 a24b2c24ab4bc2ac；（3）(mn3)2 m2(n)2(3)2 2m(n)2(n)(3)2(3)(m)m2n292mn6n6m m22mnn26m6n9。1例例 2 2已知abc 4，abbcac 4，求a b c的值解：解：a b c (a b c)2(ab bc ac)8例例 3 3运用三数和的完全平方公式计算：（1）213；（2）128。解：（1）213 (200 103)200 10 3 220010 2103 2320022222222222222 4000010094000601200 45369；（2）128 (100

4、302)221002302(2)2210030230(2)2(2)100100009004600012040016384。强化训练：强化训练：1运用三数和的完全平方公式计算：（1）(x3y z)；（2）(1 y 4z)；（3）(3ab2c)；（4）(x x2)；（5）(2x3y 4z)；（6）(x 3y 4z)。2下面各式的计算错在哪里？应该怎样改正？（1）(a b c)（2）(a b c)22222222 a2b2c2 2ab 2bc 2ca；a2b2c2 2ab 2bc 2ca。23运用三数和的完全平方公式计算：（1）142；（2）128。4已知a 22111x3,b x4,c x5，求代

5、数式a2b2c22ab2bc2ac的值2010202225已知a,b,c为三角形的三边，a b c 8，abbcac 4，求abc的值6.有理数a、b、c满足下列条件:a+b+c=0且abc0,那么 (A)是正数 (B)是零(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或02111的值是().abc知识拓展：因为(ab)2(bc)2(ca)2 2a22b22c22ab2bc2ca=2(a b c ab bc ca)所以a b c ab bc ca=2222221(a b)2(b c)2(c a)2（熟记该公式）2应用举例：【例 4】已知a 200 x2007，b 200 x2008，c 200 x2

6、009，求多项式a2b2c2abbcac的值解：因为a b c ab bc ca=又 a-b=1,b-c=1,c-a=2所以a b c ab bc ca=2222221(a b)2(b c)2(c a)221(a b)2(b c)2(c a)221(1)2(1)2 22=322222【例 5】已知三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c 且 a,b,c 满足等式3(a b c)(abc)，请说明该三角形是什么三角形？解：3(a b c)(abc)222 3（a b c)=a b c 2ab 2bc 2ca2222222222即2(a b c ab bc ca)=0所以(a b)(b c)(c a)=0因为三个非负数的和为 0，则每个都等于 0所以 a=b=c,所以ABC 是等边三角形.练习：2227.如果 x-y=2+1,y-z=2-1,那么 x+y+z-xy-yz-zx=_2228.已知 a 十 x=2011，bx=2012,cx=2013，且 abc=24，则9.若a,b,c是实数,且a+b+c=23,a2+b2+c2=4,则(a-2b+c)1994=_.10.如果：a0，14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，那么，abc=_222abc111=_.bcacababc3