第11章能量法精.ppt

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1、第11章能量法第1页，本讲稿共66页第十一章第十一章 能量法能量法 第一节第一节 概述概述 利用功和能的概念及功能原理求解变形体的变形、位利用功和能的概念及功能原理求解变形体的变形、位移、内力或外力的方法。移、内力或外力的方法。外力作用外力作用于变形体使之于变形体使之变形的过程，变形的过程，就是外力对变就是外力对变形体所作功转形体所作功转化为应变能的化为应变能的过程。过程。变形体的势能变形体的势能（应变能）发生变（应变能）发生变化化 作用点沿力的作作用点沿力的作用方向位移用方向位移 外力作功外力作功 变形固体在外变形固体在外力作用下变形力作用下变形 变形固体内力变形固体内力克服分子间互相作克服

2、分子间互相作用而作功用而作功 变形固体在外力变形固体在外力作用下变形作用下变形第2页，本讲稿共66页第二节第二节 互等定理互等定理 一、克拉贝依隆原理一、克拉贝依隆原理 物体的约束条件只引起变形位物体的约束条件只引起变形位移，不引起刚性位移移，不引起刚性位移 外力外力 外力作用点沿外外力作用点沿外力方向的位移力方向的位移 假设假设F1、F2 Fn按相同的按相同的比例增加比例增加弹性位移与外力线形关系弹性位移与外力线形关系 1、2 n按相同的比例按相同的比例增加增加引入参数引入参数=（0 1）1.1.克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理 第3页，本讲稿共66页引入参数引入参数=（0 1）位移增量位移增量

3、忽略高阶微分，力忽略高阶微分，力F1、F2 Fn作功作功第4页，本讲稿共66页根据功能原理，物体的应变能根据功能原理，物体的应变能 线弹性体的应变能等于各外力与其相应位移乘积的二线弹性体的应变能等于各外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。分之一的总和。克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理第5页，本讲稿共66页2.2.组合变形应变能公式组合变形应变能公式 各内力产生的变形分别正交且很微小，内力只在各自引各内力产生的变形分别正交且很微小，内力只在各自引起的位移上作功起的位移上作功 微段内的应变能微段内的应变能 整个线弹性杆件的应变能整个线弹性杆件的应变能 第6页，本讲稿共66页 例：图示轴线为半圆的平面曲

4、杆，作用于例：图示轴线为半圆的平面曲杆，作用于A端的集中力端的集中力F垂直于轴线垂直于轴线所在的平面。试用功能原理求所在的平面。试用功能原理求F力作用点的垂直位移。力作用点的垂直位移。解：任意截面解：任意截面mn的弯矩和扭矩的弯矩和扭矩 第7页，本讲稿共66页微段微段Rd的应变能的应变能 整个曲杆的应变能整个曲杆的应变能 载荷所作功载荷所作功 第8页，本讲稿共66页二、功的互等定理二、功的互等定理1.1.功的互等定理功的互等定理 第9页，本讲稿共66页第10页，本讲稿共66页 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所

5、作的功。二组力在第一组力引起的位移上所作的功。功的互等定功的互等定理理第11页，本讲稿共66页 若两个力相等，则第一个力沿其方向因作用第二个若两个力相等，则第一个力沿其方向因作用第二个力而引起的位移等于第二个力沿其方向因作用第一个力力而引起的位移等于第二个力沿其方向因作用第一个力而引起的位移。而引起的位移。位移互等定理位移互等定理2.2.位移互等定理位移互等定理第12页，本讲稿共66页解：第一组力集中载荷解：第一组力集中载荷F引起梁上各点挠度为引起梁上各点挠度为v(x)第二组力均布载荷第二组力均布载荷q引起梁跨中处挠度引起梁跨中处挠度vC 功的互等定理功的互等定理 例：抗弯刚度为例：抗弯刚度为

6、EI的简支梁承受均布载荷的简支梁承受均布载荷q，已知跨中挠度，已知跨中挠度vC=5ql4/384EI。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷F时，梁的挠曲线时，梁的挠曲线与原始轴线所围成的面积与原始轴线所围成的面积A。第13页，本讲稿共66页例：图示静不定梁，不计剪力影响，用功的互等定理求例：图示静不定梁，不计剪力影响，用功的互等定理求B处约束力。处约束力。解：解除处约束，用相应约束力解：解除处约束，用相应约束力FB代替代替构件作用的第一组力为构件作用的第一组力为F、FB，在，在B处位移为处位移为0功的互等定理功的互等定理 构件作用的第二组力为，在F、FB作用处

7、位移为第14页，本讲稿共66页第三节第三节 余能定理与卡氏第二定理余能定理与卡氏第二定理 一、余能定理一、余能定理1.1.余能余能 功功 应变能应变能 余功余功 余能余能 第15页，本讲稿共66页应变能应变能 应变能密度应变能密度 余能余能 余能密度余能密度 F-线形关系线形关系 第16页，本讲稿共66页2.2.余能定理余能定理 构件作用平衡载荷系构件作用平衡载荷系Fi，载荷，载荷Fi作用处的相应位移为作用处的相应位移为i 构件平衡状态时构件平衡状态时第17页，本讲稿共66页 余能定理（克罗弟余能定理（克罗弟恩格塞定理）恩格塞定理）当变形体处于平衡状态时，余能当变形体处于平衡状态时，余能VC对

8、任一载荷对任一载荷Fi 的变的变化率等于该载荷位移化率等于该载荷位移i。余能定理研究承受载荷系处于平衡状态的构件满足约束条件及连续条余能定理研究承受载荷系处于平衡状态的构件满足约束条件及连续条件的变形状态，或变形状态所需满足的变形协调条件，在应用余能定理时件的变形状态，或变形状态所需满足的变形协调条件，在应用余能定理时应将余能表达成载荷系的函数。应将余能表达成载荷系的函数。第18页，本讲稿共66页 例：图示结构由非线形材料制成，应力应变关系为 ，B为材料常数。杆件横截面面积为A，长为l。试用余能定理求节点A的位移。解：解：求结构的余能求结构的余能 由节点由节点A的的平衡条件的的平衡条件 材料余

9、能密度材料余能密度 整个结构的余能整个结构的余能 计算节点计算节点A的位移的位移 由余能定理得由余能定理得 第19页，本讲稿共66页二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理 线弹性材料线弹性材料 卡氏第二定理卡氏第二定理 线弹性变形体处于平衡状态时，应变能线弹性变形体处于平衡状态时，应变能V对任一载荷对任一载荷Fi的变化率等于该载荷位移的变化率等于该载荷位移i。第20页，本讲稿共66页轴向拉压构件轴向拉压构件桁架结构桁架结构扭转构件扭转构件第21页，本讲稿共66页弯曲构件弯曲构件组合变形构件组合变形构件第22页，本讲稿共66页 例：图示外伸梁抗弯刚度为例：图示外伸梁抗弯刚度为EI，试求外伸端，试求外伸

10、端C的挠度的挠度vC和左截面和左截面A的的转角转角A。解：解：求支座约束力求支座约束力 解得：解得：求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 第23页，本讲稿共66页 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB段段 BC段段 第24页，本讲稿共66页 求各载荷作用点相应的位移求各载荷作用点相应的位移 AB段段 BC段段 第25页，本讲稿共66页AB段段 BC段段 第26页，本讲稿共66页 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB段段 BC段段 第27页，本讲稿共66页 求各载荷作用点相应的位移求各载荷

11、作用点相应的位移 AB段段 BC段段 第28页，本讲稿共66页AB段段 BC段段 第29页，本讲稿共66页 例：试用卡氏第二定理求图示刚架例：试用卡氏第二定理求图示刚架A点的水平位移，设各杆抗弯刚度均点的水平位移，设各杆抗弯刚度均为为EI（计算中略去轴力和剪力的影响）。（计算中略去轴力和剪力的影响）。解：解：求支座约束力求支座约束力 第30页，本讲稿共66页 求刚架各段的弯矩方程及对载荷求刚架各段的弯矩方程及对载荷F1的偏导数的偏导数 ED段段 DC段段 BC段段 第31页，本讲稿共66页AB段段 AF段段 第32页，本讲稿共66页 求求A点的水平位移点的水平位移 第33页，本讲稿共66页 例

12、：图示刚架的例：图示刚架的EI为常数，在截面为常数，在截面B受力偶受力偶M作用。试求截面作用。试求截面C的转角的转角及及D点的水平位移（计算中略去轴力和剪力的影响）。点的水平位移（计算中略去轴力和剪力的影响）。解：解：增加附加力偶矩，求支座约束力增加附加力偶矩，求支座约束力 在截面在截面C处附加一力偶矩处附加一力偶矩Ma，求支座约束力，求支座约束力 第34页，本讲稿共66页 求刚架各段的弯矩方程及对载荷求刚架各段的弯矩方程及对载荷Ma的偏导数的偏导数 CD段段 BC段段 AB段段 第35页，本讲稿共66页CD段段 求求C截面的转角截面的转角 第36页，本讲稿共66页 增加附加力，求支座约束力增

13、加附加力，求支座约束力 在截面在截面D附加一水平力附加一水平力Fa，求支座约束力，求支座约束力 求刚架各段的弯矩方程及对载荷求刚架各段的弯矩方程及对载荷Fa的偏导数的偏导数 CD段段 BC段段 AB段段 第37页，本讲稿共66页 求求D点的水平位移点的水平位移 CD段段 BC段段 AB段段 第38页，本讲稿共66页例：圆示平面曲杆，例：圆示平面曲杆，EI为常数。曲杆为常数。曲杆A端固定，自由端端固定，自由端B上作用垂直集上作用垂直集中力中力F。求。求B点的垂直和水平位移。（计算中略去轴力和剪力的影响）点的垂直和水平位移。（计算中略去轴力和剪力的影响）曲杆任意截面的弯矩及对曲杆任意截面的弯矩及对

14、F的的偏导数偏导数 解：解：求求B点的垂直位移点的垂直位移 第39页，本讲稿共66页 求求B点的水平位移点的水平位移在在B点附加一水平力点附加一水平力Fa，曲杆任意截面的弯矩及对，曲杆任意截面的弯矩及对Fa的偏导数的偏导数 第40页，本讲稿共66页第四节第四节 虚功原理虚功原理 一、虚位移、虚功一、虚位移、虚功1.1.虚位移虚位移 2.2.虚功虚功实际位移实际位移 虚位移虚位移 假想的约束所容许的任何微小位移。假想的约束所容许的任何微小位移。作用力沿虚位移所作的功。作用力沿虚位移所作的功。与受力状态无关与受力状态无关 第41页，本讲稿共66页二、虚功原理二、虚功原理外力虚功外力虚功 内力虚功内

15、力虚功 虚功虚功 整个结构整个结构的虚功等于外的虚功等于外力虚功。力虚功。第42页，本讲稿共66页刚体虚功刚体虚功 变形虚功变形虚功 虚功虚功 外力在变形所做功等于外力在变形所做功等于0 整个结构的整个结构的虚功等于变形虚虚功等于变形虚功。功。第43页，本讲稿共66页 虚功原理虚功原理 外力在虚位移上所作的虚功等于内力在虚变形上所作的虚外力在虚位移上所作的虚功等于内力在虚变形上所作的虚功，即外力虚功等于内力虚变形能。功，即外力虚功等于内力虚变形能。力状态力状态 力状态与位移状态相对独力状态与位移状态相对独立无关系，力状态为任意可能立无关系，力状态为任意可能的受力，位移状态为任意可能的受力，位移

16、状态为任意可能的位移。的位移。位移状态位移状态第44页，本讲稿共66页力状态力状态位移状态位移状态实际外力实际外力实际内力实际内力虚位移虚位移虚变形虚变形(已知已知)(未知未知)虚位移法虚位移法 虚功方程表示虚功方程表示力状态的平衡方程力状态的平衡方程力状态力状态位移状态位移状态虚外力虚外力虚内力虚内力实际位移实际位移实际变形实际变形(已知已知)(未知未知)虚力法虚力法 虚功方程表示虚功方程表示位移状态的变形协位移状态的变形协调方程调方程第45页，本讲稿共66页 例：试求图示桁架各杆的内力。设三杆的横截面面积相等，材料相例：试求图示桁架各杆的内力。设三杆的横截面面积相等，材料相同，且是线性的。

17、同，且是线性的。解：设A点有虚位移 虚功原理虚功原理 第46页，本讲稿共66页A点实际位移点实际位移v 由由解得：解得：第47页，本讲稿共66页第五节第五节 单位载荷法与莫尔积分单位载荷法与莫尔积分 一、单位载荷法一、单位载荷法 位移状态位移状态（实际状态）（实际状态）力的状态力的状态（虚拟状态）（虚拟状态）(已知已知)(未知未知)第48页，本讲稿共66页 力状态中的约力状态中的约束力是否做虚功？束力是否做虚功？第49页，本讲稿共66页轴向拉压构件轴向拉压构件扭转构件扭转构件弯曲构件弯曲构件组合变形构件组合变形构件第50页，本讲稿共66页 在虚拟状态中，施加的单位广义力与所求的广义位移在虚拟状

18、态中，施加的单位广义力与所求的广义位移相对应。相对应。求求K点垂直位移点垂直位移求求K点水平位移点水平位移求求K点指定方向位移点指定方向位移 单位载荷箭头指向任意设定，结果正负表示实际位移方向与所设单位载荷单位载荷箭头指向任意设定，结果正负表示实际位移方向与所设单位载荷指向是否一致。指向是否一致。第51页，本讲稿共66页求求K、J点相对线位移点相对线位移求求K截面角位移截面角位移求求K、J截面相对角位移截面相对角位移第52页，本讲稿共66页求节点求节点C垂直位移垂直位移求节点求节点F、D相对线位移相对线位移求杆求杆CF转角转角求杆求杆CF、CD相对相对转角转角第53页，本讲稿共66页 例：图示

19、简支梁，集中力例：图示简支梁，集中力F作用于跨中点。材料的应力作用于跨中点。材料的应力应应变关系为变关系为 ，C为常量，为常量，和和为绝对值。试求集中力为绝对值。试求集中力F作用作用点点D的垂直位移。的垂直位移。解：解：求求d的表达式的表达式 横截面的弯矩横截面的弯矩 令令 第54页，本讲稿共66页 虚设相应单位载荷，计算引起的内力虚设相应单位载荷，计算引起的内力 设在设在D点处作用一单位力，则虚拟内力弯矩点处作用一单位力，则虚拟内力弯矩 由单位载荷法计算实际位移由单位载荷法计算实际位移 第55页，本讲稿共66页 例：图示桁架，设两杆的横截面面积为例：图示桁架，设两杆的横截面面积为A，材料应力

20、，材料应力应变关应变关系为系为 。试求节点。试求节点B的垂直位移。的垂直位移。解：解：计算各杆在实际载荷下的变形计算各杆在实际载荷下的变形 第56页，本讲稿共66页 虚设相应单位载荷，计算引起的内力虚设相应单位载荷，计算引起的内力 设在设在B点处作用一单位力，则两杆虚拟内力轴力点处作用一单位力，则两杆虚拟内力轴力 由单位载荷法计算实际位移由单位载荷法计算实际位移 第57页，本讲稿共66页二、莫尔积分二、莫尔积分线弹性结构线弹性结构 第58页，本讲稿共66页轴向拉压构件轴向拉压构件扭转构件扭转构件弯曲构件弯曲构件组合变形构件组合变形构件第59页，本讲稿共66页 例：图示刚架，例：图示刚架，AB段

21、受均布载荷段受均布载荷q作用。试求作用。试求A点的铅垂位移点的铅垂位移vA和和B截面转角截面转角B。解：解：在在A A点加一铅垂的单位力，分别列出原点加一铅垂的单位力，分别列出原载荷和附加单位力的分段弯矩方程载荷和附加单位力的分段弯矩方程 AB段段 BC段段 第60页，本讲稿共66页 在在B截面加一单位力偶，分别列出原载荷和附加单位力的分段弯矩截面加一单位力偶，分别列出原载荷和附加单位力的分段弯矩方程方程 AB段段 BC段段 第61页，本讲稿共66页 例：图示桁架，各杆的例：图示桁架，各杆的EA相等。在图示载荷作用下，试求相等。在图示载荷作用下，试求A、C两节点两节点的相对位移的相对位移AC。

22、解：将杆件编号，在解：将杆件编号，在A、C两节点沿两节点沿AC连线加一对等值反向的单位力，连线加一对等值反向的单位力，分别求得原载荷和附加单位载荷时各杆的轴力分别求得原载荷和附加单位载荷时各杆的轴力 第62页，本讲稿共66页杆件编号123456789第63页，本讲稿共66页 例：图示桁架，各杆的例：图示桁架，各杆的EA相等。节点相等。节点B承受集中力承受集中力F和和2F作用，试求杆作用，试求杆BC的转角。的转角。解：在杆解：在杆BC的两个端点加一对等值反向且垂直杆的力的两个端点加一对等值反向且垂直杆的力F0=1/l，分别求得，分别求得原载荷和附加单位载荷时各杆的轴力原载荷和附加单位载荷时各杆的轴力 第64页，本讲稿共66页杆件BCABCDADAC第65页，本讲稿共66页例：图示活塞环，试计算在力例：图示活塞环，试计算在力F作用下切口两侧的相对转角。作用下切口两侧的相对转角。解：在活塞环解：在活塞环A、B两截面分别加单位集中力偶，分别求得原载荷两截面分别加单位集中力偶，分别求得原载荷和附加单位集中力偶作用时的内力和附加单位集中力偶作用时的内力第66页，本讲稿共66页