第1章复变函数精.ppt

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1、第1章 复变函数第1页，本讲稿共57页第一章 复变函数1.1 复数及代数运算第2页，本讲稿共57页1.1.1 复数的概念l设 ，为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为 ，其中 满足 ，称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为l l各数集之间的关系可表示为 第3页，本讲稿共57页1.1.2 复数的代数运算l设复数 ，定义 与 的四则运算如下：l加法：l减法：l乘法：l除法：l复数四则运算规律：l（1）加法交换律 第4页，本讲稿共57页l（2）乘法交换律 l（3）加法结合律 l（4）乘法结合律 l（5）乘法对于加法的分配律 l复数运算的其它结果：l（1）l（2）l（3）若 ，则

2、与 至少有一个为零，反之亦然.第5页，本讲稿共57页l共轭复数的运算性质：l（1）l（2）l（3）l（4）l（5）l（6）l（7）为实数.第6页，本讲稿共57页l例例1 化简 .l解解 第7页，本讲稿共57页l例例2 设 ，求 及 .l解解 l所以 第8页，本讲稿共57页l1.2 复数的几何表示第9页，本讲稿共57页l1.复数的几何表示l由复数 的定义可知，复数是由一对有序实数 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为 ，纵坐标为 的点 表示复数 （如图1.1），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 与数 看作同义词.图1.1 图1.2 1.2

3、.1、复平面第10页，本讲稿共57页l2.复数的向量表示l复数 还可以用起点为原点，终点为 l 的向量 来表示（如图1.1），与 分别是 在 轴与 轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.l3.复数的模与辐角l复数的模 如图1.1中的向量 的长度称为复数 的模，记作 或 ，即第11页，本讲稿共57页l复数的辐角 设复数 对应的向量为 （如图1.1）,与实轴正方向所夹的角 ，称为复数 的辐角,记作 ，即l l并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.l4.复数的三角表示式l 称l为复数 的三角表示式.l5.复数的指数表示式l 称 为复数 的指数表示式.第12页，本讲

4、稿共57页l例例3 求 和 .l解解 l 第13页，本讲稿共57页l例例4 求 的三角表示式与指数表示式.l解解 l 因为 ,所以l l设l则l又因为 位于第II象限，l所以 ,l于是 第14页，本讲稿共57页1.2.2、复球面1.南极、北极的定义南极、北极的定义第15页，本讲稿共57页 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内的点与复平面内的点之间存在着一一对应的关系之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的我们可以用球面上的点来表示复数点来表示复数.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.

5、2.复球面的定义我们规定我们规定:复数中有一复数中有一个唯一的个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上的无穷与复平面上的无穷远点相对应远点相对应,记作记作 .因而球面上的北极因而球面上的北极 N就是复数无穷大就是复数无穷大 的几何表示的几何表示.第16页，本讲稿共57页3.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面或简称复平面.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数 来说,实部,

6、虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.第17页，本讲稿共57页3 无穷远点:关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义：第18页，本讲稿共57页l1.3.复数的乘幂与方根第19页，本讲稿共57页1.3.1.复数的乘幂l设 为正整数，个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即l若 ，则有l当 时，得到著名的棣莫弗 （De Moivre）公式第20页，本讲稿共57页l例例1 求 .l解解 l因为 l l所以 l 已知 ，求 .l解解 l因为 l 第21页，本讲稿共57页所以第22页，本讲稿共57页1.3.2.复数的方根l 称满

7、足方程 的复数 为 的 次方根，记作 l或记作 .l例例1 解方程 .l解解 因为l所以 第23页，本讲稿共57页可求出6个根，它们是 第24页，本讲稿共57页l例例2 计算l解解 因为l 所以 l即 第25页，本讲稿共57页1.4 区域第26页，本讲稿共57页1.区域为了阐述区域的概念,我们先介绍以下定义:l邻域邻域 平面上以 为心，为半径的圆：内部所有点 的集合称为点 的 邻域 .l内点l外点l境界点第27页，本讲稿共57页l区域:直观说来,区域就是宗量z在复平面的取值范围.严格说,区域是满足以下两个条件的点集:(1)全由内点组成 (2)具有连通性闭区域:区域B及其境界线所组成的点集称为闭

8、区域,用 来表示第28页，本讲稿共57页2.单连通域与多连通域l复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一条简单闭曲线的内部是单通区域,单通区域特点:属于B的任何一条简单闭曲线,在B内可以缩成一点.l一个区域如果不是单连通区域,就称为多连通区域.第29页，本讲稿共57页1.5 复变函数第30页，本讲稿共57页l1.定义定义 设 G为给定的平面点集，若对于G中每一个复数 ，按着某一确定的法则 ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在 G上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作 .其中 称为自变量，称为因变量.1.5

9、.1 复变函数的概念第31页，本讲稿共57页2.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合:第32页，本讲稿共57页4.复变函数的表示形式例如例如,第33页，本讲稿共57页5.复变函数的几何意义:把集合G表示在一个复平面上，称为z-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为w-平面。函数f 可理解为,复平面上的集合G；到另一个复平面上点集的对应。第34页，本讲稿共57页6.映射的定义:第35页，本讲稿共57页7.反函数的定义:第36页，本讲稿共57页根据反函数的定义,当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射今后不再区别函数与映射.第37页，本

10、讲稿共57页例1解解第38页，本讲稿共57页解：这一映射可以看作是下列两个映射的复合映射：是关于实轴的对称映射，而映射例2：考虑映射把 都作在同一个复平面上。显然，映射第39页，本讲稿共57页把z映射成 ，其幅角与z的幅角相同，模为满足我们把中心在原点、半径为1的圆称为单位圆。于是，映射第40页，本讲稿共57页称为关于单位圆的对称映射，对应的点称为关于单位圆的互相对称点。w=1/z把原点以外的任何点映射为另外一个点。把z及w表示在不同的扩充复平面，并规定第41页，本讲稿共57页如果把复变函数的实部和虚部分别记作那么,复变函数可以归结为一对二元实变函数,因此实变函数论的许多定义,公式,定理都可以

11、移植到复变函数论中第42页，本讲稿共57页l例例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.l解解 设 ，代入 得 l比较实部与虚部得 ，第43页，本讲稿共57页l例例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数 ，（）l化为一个复变函数.l解解 设 ，则将 ，以及代入上式，经整理后，得 第44页，本讲稿共57页1.6 复变函数的极限和连续性第45页，本讲稿共57页l1定义:1.6.1.复变函数极限的定义复变函数极限的定义注意注意:第46页，本讲稿共57页定理一:证明2.复变函数极限与其实部和虚部极限关系:第47页，本讲稿共57页第48页，本讲稿共57页定理二:第49页，本讲稿共57页例1证证(一一)第50页，本讲稿共57页根据定理一可知根据定理一可知,证证(二二)第51页，本讲稿共57页第52页，本讲稿共57页例2证证第53页，本讲稿共57页根据定理一可知根据定理一可知,第54页，本讲稿共57页3 复变函数的连续性定理三:定义:定理四:第55页，本讲稿共57页例6第56页，本讲稿共57页4 复变函数连续的性质性质:定义:第57页，本讲稿共57页