第16课 实对称矩阵的对角化精.ppt

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1、第第16课课 实对称矩阵实对称矩阵的对角化的对角化第1页，本讲稿共25页性质性质1 1 实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.(.(证明略）证明略）一、实对称矩阵的性质性质性质1 1的意义的意义因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。是实系数方程组。是实系数方程组。注注未必所有的实矩阵对应的特征值都是实数。未必所有的实矩阵对应的特征值都是实数。第2页，本讲稿共25页性质2 实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。是依次与之对应的特征向量。证 设 是对称矩阵 的两个特征值，且则于是为实对

2、称矩阵，即 正交。第3页，本讲稿共25页例：例：A定理定理5.3.1 (实对称矩阵必可对角化实对称矩阵必可对角化)对于任一 阶实对称矩阵 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵。一定存在 n 阶正交矩阵 使得推论：为 阶实对称矩阵，是 的 重特征值，即 的基础解系所含向量个数为则对应于 的特征向量中，线性无关的向量的个数为（则 ）知知道道结结论论即即可可二、实对称矩阵（正交）对角化的结论二、实对称矩阵（正交）对角化的结论第4页，本讲稿共25页证明：证明：A为实对称矩阵，则为实对称矩阵，则A必可对角化。必可对角化。即 的基础解系所含向量个数为第5页，本讲稿共25页例1 设求正交矩阵 ，使得

3、 为对角阵。解第6页，本讲稿共25页当 时，齐次线性方程组为得基础解系令第7页，本讲稿共25页当 时，齐次线性方程组为令得基础解系之间是什么关系？之间是什么关系？第8页，本讲稿共25页令先正交化：再单位化：令第9页，本讲稿共25页单位化得得正交矩阵得正交矩阵唯一吗？唯一吗？第10页，本讲稿共25页求正交矩阵 ，把实对称矩阵 化为对角阵的方法：1.解特征方程求出对称阵 的全部不同的特征值。即求齐次线性方程组的基础解系。3.将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。2.对每个特征值 ，求出对应的特征向量，这样共可得到 个两两正交的单位特征向量4.以 为列向量构成正交矩阵有第11页，本讲稿共25页即

4、必须注意：对角阵中 的顺序要与特征向量 的排列顺序一致。第12页，本讲稿共25页例2 设求正交矩阵 ，使得 为对角阵。解解第13页，本讲稿共25页当 时，由即得基础解系当 时，由即得基础解系第14页，本讲稿共25页当 时，由即得基础解系只需把 单位化，得（考虑为什么？）第15页，本讲稿共25页得正交矩阵有只需把 单位化，得只需把 单位化，得第16页，本讲稿共25页解解秩设 的特征向量为则则例3 设3阶实对称矩阵A的特征值为，已知，已知，相对应的特征向量分别为，相对应的特征向量分别为,求 的值及矩阵 A.第17页，本讲稿共25页得基础解系得基础解系思考思考 求求A，C还有没有别的取法？还有没有别

5、的取法？第18页，本讲稿共25页把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下可对角化的矩阵主要有以下几种应用：几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵例4：已知方阵 的特征值是相应的特征向量是求矩阵第19页，本讲稿共25页解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。即存在可逆矩阵 ,使得其中求得第20页，本讲稿共25页第21页，本讲稿共25页2.求方阵的幂例5：设 求解：可以对角化。齐次线性方程组为当 时，系数矩阵令 得基础解系:第22页，本讲稿共25页齐次线性方程组为当 时，系数矩阵令 得基础解系:令求得即存在可逆矩阵 ,使得第23页，本讲稿共25页第24页，本讲稿共25页是矩阵是矩阵A的一个特征值，且向量的一个特征值，且向量 (1,1,1)T是是A的的a的对应的特征向量；的对应的特征向量；当当A可逆，且可逆，且a0时，时，A1的各行元素之和为多少？的各行元素之和为多少？思考题：设n阶方阵A的各行元素之和为a，试证:矩阵的各行元素之和为多少?第25页，本讲稿共25页