2021-2022学年高二物理竞赛课件：一维谐振子势场.pptx

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1、一维谐振子势场一维谐振子势场2 有一个质量为的粒子在一维谐振子势场有一个质量为的粒子在一维谐振子势场中运动在动能的非相中运动在动能的非相对论近似下，定态能量为，定态对论近似下，定态能量为，定态波函数为波函数为其中为归一化常数考虑其中为归一化常数考虑T与与p的相对论修正，计算能级的移动至的相对论修正，计算能级的移动至阶阶提示：提示：一维谐振子势场一维谐振子势场3注意：相对论公式只是对动能的修正，总能量为注意：相对论公式只是对动能的修正，总能量为而总能量是静能与动能之和，所以而总能量是静能与动能之和，所以解：解：由前面分析可知由前面分析可知这是非简并微扰问题。能量的一级修正为这是非简并微扰问题。能

2、量的一级修正为考虑利用题考虑利用题目目所给出的条件所给出的条件递推递推公式公式4则则其精度符合题其精度符合题目目要求。要求。5 电子在类氢离子势场电子在类氢离子势场 中的定态中的定态 能量为能量为 ，定态波函数为，定态波函数为 。这是在动能这是在动能 的非相对论近似下得到的非相对论近似下得到 的结果。现在考虑的结果。现在考虑 的相对论修正至的相对论修正至 阶，阶，即修正项为即修正项为 计算能级计算能级 的移动至的移动至 阶。阶。提示：提示：分析：分析：这显然是简并的微扰论问题。其中这显然是简并的微扰论问题。其中6解：解：利用公式利用公式则则可知，可知，的所有非对角元均为的所有非对角元均为0。利

3、用利用 的本征值的本征值 是是 简并的简并的,相应的本征函数为相应的本征函数为 为求矩阵元方便为求矩阵元方便寻找同寻找同H0的关系的关系7也就是说，也就是说，我我们可以选们可以选 作为作为0级近似波函数级近似波函数使使 从而从而 对角化。对角化。（已经（已经介绍介绍：新新选的选的0级波函数是使级波函数是使 对角化的）。对角化的）。即即每每一个分裂能级对应一个一个分裂能级对应一个 ，可用非简并，可用非简并态微扰方法来处理态微扰方法来处理简并微扰问题简并微扰问题。此时。此时8代入上式代入上式将将及及得得以上用到以上用到Bohr半径半径9一原子在一原子在 向磁场向磁场 中除了能级的中除了能级的Zee

4、man分分裂外裂外,还受到还受到 的微扰的微扰其中其中 为为Bohr磁子磁子,为为Bohr半径半径,为电子电荷为电子电荷（）已知氢原子基态波函数，（）已知氢原子基态波函数，求一级微扰能求一级微扰能（）估计这项修正的能级（设（）估计这项修正的能级（设 高斯），高斯），同同ZeemanZeeman分裂分裂(量级量级)比较比较;（）分析这个修正的物理意义（）分析这个修正的物理意义。10分析：氢原子的基态能级是非简并的，应该使用分析：氢原子的基态能级是非简并的，应该使用 非简并微扰论非简并微扰论解解：（：（1）一级微扰能即能量的一级修正一级微扰能即能量的一级修正（2）Zeeman效应中给出了分裂强度效

5、应中给出了分裂强度故其比值为故其比值为11其中精其中精细细结结构构常数为常数为电子的静能为电子的静能为玻尔玻尔磁子是个已知量磁子是个已知量且且 B=104高斯高斯可以得到可以得到 =2.1210-6。（3）是是原子的磁四极矩同磁场的作用能！原子的磁四极矩同磁场的作用能！12（）给出此体系的（）给出此体系的Hamiltonian量及其本征函数量及其本征函数 与本征值与本征值。一根质量均匀分一根质量均匀分布长布长度为的度为的杆杆，以它的中，以它的中 心为心为固固定点，定点，被约被约束在一平束在一平面面上转动。此上转动。此杆杆具有具有 质量质量 和和固固定于两定于两端端的电荷的电荷 与与 。（2）如

6、有一个处于该转动平）如有一个处于该转动平面面的的恒恒定定弱弱电场作用电场作用 于这个体系，用微扰方法求基态于这个体系，用微扰方法求基态新新的本征函的本征函 数（一级近似）与本征能量（二级近似）数（一级近似）与本征能量（二级近似）（3）如果外电场很强，求基态近似波函数与能量。）如果外电场很强，求基态近似波函数与能量。提示提示:1.这是个刚性转子问题，应该会按照平动的形式写这是个刚性转子问题，应该会按照平动的形式写 出相应的哈密顿；出相应的哈密顿；2.外场强和弱时对转子的影响肯定不一样，应该会外场强和弱时对转子的影响肯定不一样，应该会 分别处理。分别处理。13解：解：（1）设）设杆杆沿沿z轴转动，

7、轴转动，xy为转动平为转动平面面。无外场。无外场的哈密顿可以比的哈密顿可以比照照平动方式写出平动方式写出其本征值与本征函数分别为其本征值与本征函数分别为（2）可以考虑所加）可以考虑所加弱弱电场的方向沿电场的方向沿x方向，方向，即即当所加外电场较当所加外电场较弱弱时，转子时，转子可以在可以在xy平平面面内转动，但受内转动，但受到外场的微扰，转动不是很到外场的微扰，转动不是很均匀。均匀。-Q+Qd/2z14基态零级近似能量基态零级近似能量 是非简并的，零级近似是非简并的，零级近似波函数为波函数为 ，由此求出微扰矩阵元，由此求出微扰矩阵元将相应的波函数代入，有将相应的波函数代入，有利用能量的二级近似和波函数的一级近似公式利用能量的二级近似和波函数的一级近似公式取无限处为取无限处为0势点，则其微扰项是势点，则其微扰项是