函数增减性曲线凹凸性和拐点.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录关于关于函数的增减性曲线的凹凸性与拐点函数的增减性曲线的凹凸性与拐点第一张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20221返回返回上页上页下页下页目录目录一、函数增减性一、函数增减性图图1图图2第二张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20222返回返回上页上页下页下页目录目录1.利用导数来判定函数的单调性利用导数来判定函数的单调性解解 第三张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20223返回返回上页上页下页下页目录目录 解解 经验经验第四张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20224返回返回上页上页下页下

2、页目录目录解：解：经验经验:从例从例2、例、例3可以看到在讨论函数的单调性或单调区可以看到在讨论函数的单调性或单调区间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点都可能成为单调区间的分界点都可能成为单调区间的分界点.第五张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20225返回返回上页上页下页下页目录目录求单调区间的基本步骤：求单调区间的基本步骤：（1）确定定义区间；确定定义区间；（2）求函数求函数f(x)的导数；的导数；（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；（4）以以驻点驻点和和导数

3、不存在点导数不存在点为分界点，把定义区间分为分界点，把定义区间分成若干个小区间，并成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符讨论在这些小区间上，导数的符号，号，进而确定单调区间。进而确定单调区间。第六张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20226返回返回上页上页下页下页目录目录2.利用导数来证明不等式利用导数来证明不等式所以所以第七张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20227返回返回上页上页下页下页目录目录二、函数的二、函数的极极值值第八张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20228返回返回上页上页下页下页目录目录2.函数函数取得极取得极值

4、值的的充充要要条件条件 说明：说明：第九张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/20229返回返回上页上页下页下页目录目录下面下面给给出判出判断极断极值值点的点的两种两种不同方法不同方法.第十张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202210返回返回上页上页下页下页目录目录3.第一第一充充分分条件条件（The First Sufficient Condition）（极极小小值值）第十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202211返回返回上页上页下页下页目录目录（是是极极值值点点情形情形）（不是不是极极值值点点情形情形）第十二张，PPT共四十页，创作

5、于2022年6月10/16/202212返回返回上页上页下页下页目录目录第十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202213返回返回上页上页下页下页目录目录根根据据上述讨论，上述讨论，第十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202214返回返回上页上页下页下页目录目录解解 所以所以第十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202215返回返回上页上页下页下页目录目录解解 所以所以 第十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202216返回返回上页上页下页下页目录目录4.第二第二充充分分条件条件（The Second Suffi

6、cient Condition）第十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202217返回返回上页上页下页下页目录目录解题步骤：解题步骤：第十八张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202218返回返回上页上页下页下页目录目录解解 第十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202219返回返回上页上页下页下页目录目录函数的函数的最大最大值值最最小小值值（Extreme Problems）在在很多学科很多学科领领域域与与实际实际问题问题中中，经经常遇常遇到在一定到在一定条件条件下下如何如何用用料最省料最省、成本、成本最低最低、时间、时间最短最短、效益

7、最高效益最高等问题，等问题，这这类类问题我们问题我们称称为为最最优优化问题化问题.在数在数学学上，它们上，它们常常归归结为结为求求某某一个函数（一个函数（称称为为目目标标函数函数）在）在某某个个范范围围内的内的最大最大值值、最最小小值值问题（问题（简简称称为为最最值值问题问题）第二十张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202220返回返回上页上页下页下页目录目录我们来看一下下面的我们来看一下下面的几幅几幅图：图：第二十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202221返回返回上页上页下页下页目录目录解解 第二十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16

8、/202222返回返回上页上页下页下页目录目录求求最大最大值值与与最最小小值值思思路路：第二十三张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202223返回返回上页上页下页下页目录目录（解（解答答见见下页）下页）（补补充充题）题）第二十四张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202224返回返回上页上页下页下页目录目录第二十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202225返回返回上页上页下页下页目录目录三、三、曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性及拐点（Inflection Point）1、曲线凹凸的定义显然，曲线显然，曲线AB与与BC 都是单调增加的，都是单

9、调增加的，但它们单调但它们单调增加的变化方式却有所不同。增加的变化方式却有所不同。这说明：这说明：仅靠单调性来仅靠单调性来描述曲线的性态是不够的。描述曲线的性态是不够的。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。第二十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202226定义定义:如果在某区间内曲线位于每一点处切如果在某区间内曲线位于每一点处切线的上方，则称此曲线在该区间内是线的上方，则称此曲线在该区间内是凹的凹的（或称（或称上凹上凹）(concave)；如果在某区间内曲；如果在某区间内曲线位于每一点处切线的下方，则称此曲线在该线位于每

10、一点处切线的下方，则称此曲线在该区间内是区间内是凸的凸的（或称（或称下凹下凹）(convex)。连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点拐点(inflection point)。高等数学 第二章 第四节 06-04第二十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月x1x2xyo 1 1 2凹凹(concave)高等数学 第二章 第四节 06-05第二十八张，PPT共四十页，创作于2022年6月xyo 1 2x2x1凸凸(convex)高等数学 第二章 第四节 06-06第二十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月返回返回上页上页下页下页目录目录直接利用定义

11、来判别曲线的凹凸性是比较困难的，直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性 第三十张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202230返回返回上页上页下页下页目录目录2、曲线凹凸性的判定、曲线凹凸性的判定（证明略）（证明略）第三十一张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202231返回返回上页上页下页下页目录目录解解 第三十二张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202232返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点第三十三张，PPT共四十页，创作

12、于2022年6月10/16/202233返回返回上页上页下页下页目录目录1.函数单调性的判别法函数单调性的判别法（定理（定理1）内容小结内容小结（1）会会利用导数来判定函数的单调性利用导数来判定函数的单调性（2）会会利用导数来证明一些不等式利用导数来证明一些不等式（3）利用导数来证明方程根的唯一性利用导数来证明方程根的唯一性2.函数凹凸性的定义函数凹凸性的定义3.函数凹凸性的判别定理（函数凹凸性的判别定理（定理定理2）（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）（2）会利用凹凸性来证明一些不等式会利用凹凸性来证明一些不等式第三十四张，PPT共四十页，创作于2022年6

13、月10/16/202234返回返回上页上页下页下页目录目录解解 第三十五张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202235返回返回上页上页下页下页目录目录四四、函数图、函数图形形的描的描绘绘第三十六张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202236返回返回上页上页下页下页目录目录第三十七张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202237返回返回上页上页下页下页目录目录第三十八张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202238返回返回上页上页下页下页目录目录第三十九张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/202239返回返回上页上页下页下页目录目录感感谢谢大大家家观观看看第四十张，PPT共四十页，创作于2022年6月10/16/2022