第一次课矩阵的初等变换课件.ppt

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1、第一次课矩阵的初等第一次课矩阵的初等变换变换第1页，此课件共38页哦线线线线 性性性性 代代代代 数数数数 教材教材线性代数线性代数 江龙江龙 程林凤等程林凤等 高教出版社高教出版社 主要参考书主要参考书线性代数学习指导线性代数学习指导中国矿业大学出版社中国矿业大学出版社第2页，此课件共38页哦 地点：教1-C300(答疑室)时间：第212周（除第五周），周三7-8节课 答疑安排答疑安排考前安排集中答疑（时间另行通知，地点不变）第3页，此课件共38页哦成绩评定办法平时成绩30%+期末考试70%平时成绩包括：课堂点名+作业+课堂小测验+实验课实验课5分/100分，由实验老师评定小测验15分/10

2、0分，上课时随机进行，每缺一次，扣分不低于5分/100分，期望大家保证出勤点名、作业10分/100分，缺一次扣4分/100分第4页，此课件共38页哦第一章第一章 线性方程组线性方程组1.1 1.1 线性方程组线性方程组 1.2 1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换 1.3 1.3 线性方程组的矩阵解法线性方程组的矩阵解法 第5页，此课件共38页哦一、引例炼铁厂使用不同的含铁原料，不同原料含有铁（Fe）、二氧化硅（SiO2)、氧化钙（CaO)、硫（S),磷（P）、铝（AL2O3)、锌、镍、铜等多种元素，在冶炼之前进行配比中和，达到一定的成份要求。1.1 1.1 线性方程组线性方程组 第6页，

3、此课件共38页哦原料信息原料原料成份信息%序号 产地名称TFeSiO2CaOMgOAl2O3SPTiO21巴西巴粗57.055.020.410.242.480.010.050.062澳洲PB粉53.6690.410.242.480.020.070.073印度印粉54.466.85.890.170.0740.0744巴西卡粉652.5500.8210.020.050.065明达精粉654.381.010.330.0250.086本地精粉652.431.40.190.0227太平精粉652.961.024.581.710.360.010.078安徽安徽块5392.480.204 0.1319马来块

4、马来块53.3414.464.060.0510.020.05410阿里奇矿粉57.85.862.020.036 0.06111马来矿马来粉46.0313.59005.230.076 0.0970.08612澳洲扬迪粉57.855.591.440.080.0413澳洲火箭特粉57.055.022.550.0310.0414澳洲麦克粉61.3342.20.037 0.08215澳洲纽曼粉62.864.072.370.011 0.08216澳洲PB粉61.54.562.430.017 0.087第7页，此课件共38页哦原料信息原料原料成份信息序号比例名称TFeSiO2CaOMgOAl2O3SPTiO

5、21x1巴粗57.055.020.410.242.480.010.050.062x2PB粉53.6690.410.242.480.020.070.073x3印粉54.466.85.890.170.0740.0744中和要求5560.06如果仅使用前三种原料，中和效果见表格最下一行可以列方程组第8页，此课件共38页哦增加一个成分要求，增加一个约束增加一种原料 方程组 17个未知量，9个方程增加一个方程增加一个未知量这里大家也看到，方程的个数同未知数的个数并不要求相同，这点同中学阶段完全不同采用17种原料，8种成分均有要求的情况，列出的第9页，此课件共38页哦方程组是工程师在解决实际问题中经常遇到

6、的，对方程组要解决两方面的问题：一是，方程组的求解问题二是，如果未知量非常多，方程个数也非常多，表达不方便，寻找复杂数学表达式的表达方法-矩阵这两个问题就构成了本课程的核心内容。第10页，此课件共38页哦n元线性方程组的一般形式元线性方程组的一般形式:齐次线性方程组齐次线性方程组:非齐次线性方程组非齐次线性方程组:线性方程组的解集线性方程组的解集:方程组解的全体方程组解的全体 二二.基本概念基本概念第11页，此课件共38页哦(1)如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？(2)如何求方程组的通解？如何求方程组的通解？要解决的问题：要解决的问题：第12页

7、，此课件共38页哦例例1.1 解线性方程组解线性方程组 消元法是解方程组的基本方法消元法是解方程组的基本方法简单的回忆一下加减消元法简单的回忆一下加减消元法三三 解法解法第13页，此课件共38页哦例例1.1 解线性方程组解线性方程组 解解 第14页，此课件共38页哦回代回代 第15页，此课件共38页哦加减消元法实质是对线性方程组进行三种同解变换加减消元法实质是对线性方程组进行三种同解变换（1）交换任意两个方程的位置；）交换任意两个方程的位置；（2）任一个方程的两边同乘一个非零的实数；）任一个方程的两边同乘一个非零的实数；（3）任一个方程的倍数加到另一个方程上）任一个方程的倍数加到另一个方程上

8、第16页，此课件共38页哦例例1.2 解方程组解方程组 解解 第17页，此课件共38页哦第18页，此课件共38页哦观察线性方程组观察线性方程组 实质是同一个方程，决定方程组的是方程的系数及常数项，系数和常数项可看做是一个数表第19页，此课件共38页哦一一 定义定义1.2 1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换第20页，此课件共38页哦思考题：四个1字可以构造多少个矩阵？强调：矩阵除了元素之外，重要的是数字的排列方式，也就是今后常说的矩阵的结构第21页，此课件共38页哦(1)11的矩阵就是一个数。的矩阵就是一个数。(2)行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A，称为，称为 n 阶

9、方阵或阶方阵或 n 阶矩阵。阶矩阵。(3)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵或称为行矩阵或 n 维行向量。维行向量。ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量。维列向量。(4)只有一列的矩阵只有一列的矩阵【注注】几种特殊矩阵几种特殊矩阵第22页，此课件共38页哦(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵矩阵(约定未写出元素全为零约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。称为单位矩阵。(7)矩阵矩阵称为对角矩阵。记作称为对角矩阵。记作第23页，此课件共38页哦二二 两个矩阵相等两个矩阵相等设设 ，如果，如果则称则称

10、 A A 与与与与 B B 相等相等相等相等，记作，记作 A=B。问问：与与 相等吗？相等吗？强调 矩阵相等：结构相同、对位元素相同第24页，此课件共38页哦(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，矩阵的三种矩阵的三种初等行变换（习惯上行用初等行变换（习惯上行用初等行变换（习惯上行用初等行变换（习惯上行用r r标示，列用标示，列用标示，列用标示，列用C C标示）标示）标示）标示）(1)交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为记为记为类似定义三种类似定义三种初等列变换初等列变换初等

11、列变换初等列变换以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的初等变换初等变换初等变换初等变换三三 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第25页，此课件共38页哦矩阵的初等行变换举例。矩阵的初等行变换举例。第26页，此课件共38页哦第27页，此课件共38页哦【注注2】初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换第28页，此课件共38页哦定义定义行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵及

12、及行最简行最简行最简行最简(阶梯阶梯阶梯阶梯)形矩阵形矩阵形矩阵形矩阵(行最简行最简形就是所谓的最简单的形就是所谓的最简单的“代表代表”)书书P9 P9 定义定义1.1.4行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵第29页，此课件共38页哦行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：行最简阶梯形行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为台阶上的第一个元素为1,1,且其所在列其它元素全为零。且其所在列其它元素全为零。第30页，此课件共

13、38页哦 矩阵矩阵(2)称为称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，矩阵矩阵(4)称为称为行最简行最简行最简行最简(阶梯阶梯阶梯阶梯)形矩阵形矩阵形矩阵形矩阵第31页，此课件共38页哦下面矩阵也是下面矩阵也是行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵下面矩阵是下面矩阵是行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵定义定义定义定义定义定义定义定义第32页，此课件共38页哦【定理定理1.1】每个非零矩阵都可以经过有限次初等行变换化为每个非零矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵进而化为行最简阶梯形矩阵.例例1第33页，此课件共38页哦【问题问题】如果可以利用初等列变换

14、，矩阵如果可以利用初等列变换，矩阵B可以化简成的最可以化简成的最简单形式是什么？简单形式是什么？加注：阶梯形不加注：阶梯形不唯一，最简阶梯唯一，最简阶梯形唯一形唯一第34页，此课件共38页哦接例接例1形状为形状为第35页，此课件共38页哦等价具有下列性质：等价具有下列性质：如果矩阵如果矩阵B可以由矩阵可以由矩阵A经过一系列行初等变换得到，则称经过一系列行初等变换得到，则称A与与B行等价，记为行等价，记为 。如果矩阵如果矩阵B可以由矩阵可以由矩阵A经过一系列初等经过一系列初等列列变换得到，则变换得到，则称称A与与B列等价，记为列等价，记为 。（1）自反性自反性 A A（2）对称性对称性 若若A B，则，则 B A（3）传递性传递性 若若A B，B C，则，则 A C定义定义1.6 如果矩阵如果矩阵B可以由矩阵可以由矩阵A经过一系列初等经过一系列初等变换得到，则称变换得到，则称A与与B等价，记为等价，记为 。第36页，此课件共38页哦等价标准形是唯一的。等价标准形是唯一的。【结论结论】用初等变换必能将矩阵化为如下用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形等价标准形等价标准形等价标准形此页可以考虑不要此页可以考虑不要第37页，此课件共38页哦作业P114 第38页，此课件共38页哦