第一矢量分析与场论课件.ppt

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1、第一矢量分析与场论第1页，此课件共57页哦一、矢量的概念及运算一、矢量的概念及运算1.1.概念概念矢量矢量(Vector)标量标量(Scalar）常矢量常矢量:模和方向保持不变模和方向保持不变的矢量的矢量.如重力如重力空空/零矢量零矢量:大小为零大小为零,方向任意方向任意.单位矢量单位矢量:大小为大小为1.1.位置矢量位置矢量:从原点指向点从原点指向点P P的矢量的矢量 .逆矢量逆矢量:通常矢量通常矢量 称为矢量称为矢量 的逆矢量，的逆矢量，两者大小，方向相反两者大小，方向相反.第2页，此课件共57页哦2.2.矢量的运算矢量的运算(1(1）加法和减法）加法和减法任意两个矢量任意两个矢量 与与

2、相加等于两个矢量对相加等于两个矢量对 应分量相加，它们的和仍然为矢量应分量相加，它们的和仍然为矢量.加减法服从交换律和结合律。加减法服从交换律和结合律。常用作图的方法来求矢量的加减法。常用作图的方法来求矢量的加减法。(2)(2)乘积运算乘积运算 标量与矢量的乘积标量与矢量的乘积第3页，此课件共57页哦两个矢量的标量积两个矢量的标量积两矢量的点积定义为一个矢量在另一个矢量两矢量的点积定义为一个矢量在另一个矢量 方向上的投影与另一个矢量模的乘积，结果方向上的投影与另一个矢量模的乘积，结果 是个标量。是个标量。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积等于对应分量的乘积之和。两矢量点积满足交换律和

3、分配律。两矢量点积满足交换律和分配律。当两个非零矢量点积为零当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。则这两个矢量必正交。第4页，此课件共57页哦两个矢量的矢量积两个矢量的矢量积两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。且三者符合右手螺旋法则。两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合律。两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合律。第5页，此课件共57页哦当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。当两个非零矢量叉积为零，则这

4、两个矢量必平行。在直角坐标系中，两矢量的叉积运算可以用行列式在直角坐标系中，两矢量的叉积运算可以用行列式 表示。表示。第6页，此课件共57页哦三个矢量的乘积三个矢量的乘积标量，标量三重积。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。矢量，矢量三重积。注意：先后轮换次序。注意：先后轮换次序。混合积混合积在矢量运算中在矢量运算中,先算叉积先算叉积,后算点积。后算点积。矢量三重积：矢量三重积：教材的教材的1.81.8节给出了一些常用的矢量恒等式，节给出了一些常用的矢量恒等式，以供参考。以供参考。第7页，此课件共57页哦3.3.两个算子两个算子(1(1）哈米尔顿（）哈米尔顿（Hamilton）算子）算子 为了

5、方便，我们引入一个矢性微分算子，为了方便，我们引入一个矢性微分算子，在曲线坐标系中有：在曲线坐标系中有：称之为称之为哈米尔顿算子哈米尔顿算子,记为记为。式中式中 、和和 分别是坐标轴分别是坐标轴 、和和 的的单位矢量，单位矢量，、和和 为坐标系的拉梅系数。为坐标系的拉梅系数。第8页，此课件共57页哦h1h2h3直角坐标系直角坐标系111圆柱坐标系圆柱坐标系11球坐标系球坐标系1rrsin例如在直角坐标系中例如在直角坐标系中具有矢量和微分算子的双重特性具有矢量和微分算子的双重特性第9页，此课件共57页哦(2(2）拉普拉斯）拉普拉斯(Laplace)算子算子 属于一阶微分算子属于一阶微分算子,而在

6、场论的研究中还而在场论的研究中还会用到二阶微分算子会用到二阶微分算子,即即拉普拉斯算子拉普拉斯算子:显然显然,它是一个它是一个标量标量算子算子.例如在直角坐标系中例如在直角坐标系中第10页，此课件共57页哦二、矢量微分元二、矢量微分元（1 1）直角坐标系）直角坐标系基本变量基本变量位置矢量位置矢量单位矢量单位矢量面元面元坐标面坐标面三个平面三个平面微分元微分元线元线元体积元体积元1.1.常用坐标系常用坐标系第11页，此课件共57页哦（2 2）圆柱坐标系）圆柱坐标系基本变量基本变量 r r是位置矢量是位置矢量R R在在xoyxoy面上的面上的投影投影.是从是从+x x轴到轴到r的夹角的夹角.z

7、z是是R R在在z z轴上的投影轴上的投影.位置矢量位置矢量第12页，此课件共57页哦单位矢量单位矢量 分别指向：分别指向：r r、和和z z增加的方向。增加的方向。应该指出应该指出:圆柱坐标系中的三个圆柱坐标系中的三个单位矢量除单位矢量除 外，外，和和 都不是都不是常矢量，它们的方向随常矢量，它们的方向随P P点的位置不点的位置不同而变化，但三者始终保持同而变化，但三者始终保持正交正交关关系，并遵循系，并遵循右手螺旋法则右手螺旋法则.第13页，此课件共57页哦坐标面坐标面 表示一个以表示一个以z z轴作轴线的半径轴作轴线的半径为为r r的圆柱面。的圆柱面。表示一个平行于表示一个平行于xoyx

8、oy平面的平面。平面的平面。表示一个以表示一个以z z轴为界的半平面轴为界的半平面.z z=常数常数第14页，此课件共57页哦 如同直角坐标系一样如同直角坐标系一样,圆柱坐标系也具有三个圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面相互垂直的坐标面.但是它们不再都是平面但是它们不再都是平面.第15页，此课件共57页哦微分元微分元面元面元线元线元体积元体积元第16页，此课件共57页哦（3 3）球坐标系）球坐标系基本变量基本变量R R是位置矢量是位置矢量 的大小；的大小；是从是从+x轴到轴到 在在xoy面上的投影面上的投影之间的夹角。之间的夹角。是是 与与z轴的夹角；轴的夹角；位置矢量位置矢量第17页，此课

9、件共57页哦单位矢量单位矢量 的方向指向矢径延伸的的方向指向矢径延伸的方向；方向；的方向垂直于矢径，并的方向垂直于矢径，并在矢径和在矢径和z z轴组成的平面内，轴组成的平面内，指向指向增大的方向；增大的方向；的方向垂直于上述平面，的方向垂直于上述平面，指向指向 增大的方向。增大的方向。三者都不是常矢量，但两两正交，遵循三者都不是常矢量，但两两正交，遵循右手螺旋右手螺旋法则法则。第18页，此课件共57页哦坐标面坐标面表示一个半径为表示一个半径为R R的球面。的球面。表示一个以原点为顶点、表示一个以原点为顶点、以以z z轴为轴线的圆锥面。轴为轴线的圆锥面。表示一个以表示一个以z z轴为界的半平面。

10、轴为界的半平面。=常数常数第19页，此课件共57页哦 如同直角坐标系一样如同直角坐标系一样,球坐标系也具有三个球坐标系也具有三个相互垂直的坐标面相互垂直的坐标面.但是它们不再都是平面但是它们不再都是平面.第20页，此课件共57页哦微分元微分元面元面元线元线元体积元体积元第21页，此课件共57页哦2.2.矢量在不同坐标系之间的变换矢量在不同坐标系之间的变换圆柱坐标系圆柱坐标系（1 1）基本变量之间的转换）基本变量之间的转换直角坐标系直角坐标系第22页，此课件共57页哦（2 2）矢量函数之间的转换）矢量函数之间的转换设矢量设矢量 在直角坐标系中可表示为：在直角坐标系中可表示为：而其在圆柱坐标系中可

11、表示为：而其在圆柱坐标系中可表示为：下面我们要做的工作就是推导出同一矢量在下面我们要做的工作就是推导出同一矢量在两种不同坐标系下的转换关系。两种不同坐标系下的转换关系。第23页，此课件共57页哦已知：已知：第24页，此课件共57页哦xy由图可知：由图可知：所以得所以得或或第25页，此课件共57页哦球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系（1 1）基本变量之间的转换）基本变量之间的转换第26页，此课件共57页哦或或（2 2）矢量函数之间的转换）矢量函数之间的转换第27页，此课件共57页哦三、标量场的梯度三、标量场的梯度1.1.标量场的等值面标量场的等值面 一个标量场一个标量场可以用一个标量函数来表示

12、。可以用一个标量函数来表示。在直在直角坐标系中，可将角坐标系中，可将表示为：表示为：=(x,y,z)对于标量场，常用对于标量场，常用等值面等值面来描述所谓等来描述所谓等值面，是指在标量场值面，是指在标量场(x,y,z)中，使中，使u u取相同数取相同数值的所有点组成的曲面值的所有点组成的曲面第28页，此课件共57页哦(x,y,z)=C,C为任意常数标量场标量场(x,y,z)的等值面方程为：的等值面方程为：在几何上一般表示一个曲面，在几何上一般表示一个曲面，在这个曲面在这个曲面上的各点，虽然坐标上的各点，虽然坐标(x,y,z)不同，但函数不同，但函数值相等，称此曲面为标量场值相等，称此曲面为标量

13、场的等值面。随着的等值面。随着C的取值不同，得到一系列不同的等值面。的取值不同，得到一系列不同的等值面。第29页，此课件共57页哦2.2.方向导数方向导数设设P为标量场为标量场中的一点，中的一点，设在某一设在某一时刻，在该场中取相邻的两个等值面，函数值时刻，在该场中取相邻的两个等值面，函数值分别为分别为和和。由等值面。由等值面上的上的P点出发，点出发，引出一条射线引出一条射线，到达等值面，到达等值面上的上的P1点，点，记为记为，如果当，如果当时时的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数在在P点点沿沿方向的方向的方向导数。方向导数。第30页，此课件共57页哦 方向导数方向导数 是

14、函数是函数 在在P处沿处沿方向方向对距离的变化率对距离的变化率.沿沿l方向增大方向增大;沿沿l方向减小方向减小在直角坐标系中，在直角坐标系中，设函数设函数在在P(x,y,z)处可微，则有处可微，则有式中，式中，cos,cos,cos为为l方向的方向余弦。方向的方向余弦。第31页，此课件共57页哦3.3.标量场的梯度标量场的梯度（1 1）定义）定义 标量场中某点标量场中某点梯度梯度的大小为该点最大的方向导数，其的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。方向为该点所在等值面的法线方向。第32页，此课件共57页哦直角坐标系中梯度的表达式为：直角坐标系中梯度的表达式为：理解理解标量

15、函数标量函数在在P点沿点沿的方向导数等于梯度的方向导数等于梯度在该方向上的投影在该方向上的投影;标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量,其大小是方向导数的最其大小是方向导数的最大值，即大值，即的最大空间变化率。的最大空间变化率。0第33页，此课件共57页哦例例 三维高度场的梯度三维高度场的梯度例例 电位场的梯度电位场的梯度高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最数值等于该点位移的最 大变化率；大变化率；指向地势升高的方向。指向地势升高的方向。电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。指向电位

16、增加的方向。数值等于该点的最大方向数值等于该点的最大方向 导数；导数；第34页，此课件共57页哦四、矢量场的散度四、矢量场的散度1.1.矢量场的矢量线矢量场的矢量线 矢量场空间中任意一点矢量场空间中任意一点P P处的矢量可以处的矢量可以用一个矢性函数用一个矢性函数F=F(P)(P)来表示。当选定了来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以写成如下形式：直角坐标系后，它就可以写成如下形式：第35页，此课件共57页哦 对于矢量场对于矢量场F(x,y,z)，可以用一些有向曲线，可以用一些有向曲线来来形象的表示形象的表示F在空间的分布，称为在空间的分布，称为矢量线矢量线(ector Line)。在曲线上的

17、每一点处，在曲线上的每一点处，场矢量都位于该点处的场矢量都位于该点处的切线上（如图示）。切线上（如图示）。像像静电场的静电场的电力线电力线、磁场的、磁场的磁力线磁力线、流速场中的、流速场中的流线流线等，等，都是矢量线的例子。都是矢量线的例子。第36页，此课件共57页哦2.2.矢量场的通量矢量场的通量 将曲面的一个面元用将曲面的一个面元用 来表示来表示,其方向其方向取面元的法线方向取面元的法线方向,即即:的指向有两种情况的指向有两种情况:开曲面闭合曲面第37页，此课件共57页哦 在矢量场在矢量场F中取一个中取一个面元面元d dS及该面元的及该面元的法向法向单位矢量单位矢量n。由于所取的。由于所取

18、的面元面元dS很小，很小，因此可认因此可认为在面元上各点矢量场为在面元上各点矢量场F的值相同，的值相同，F与面元与面元dS的标量积称为矢量场的标量积称为矢量场F穿过穿过dS的的通量通量(lux)。即：即：F第38页，此课件共57页哦因此矢量场因此矢量场F穿过整个曲面穿过整个曲面S S的通量为：的通量为：如果如果S S是一个闭曲面，是一个闭曲面，则通过闭合曲面则通过闭合曲面的的总通量总通量可表示为：可表示为：净通量净通量=流出流出-流入流入第39页，此课件共57页哦 0 0(有正源有正源)0 0(有负源有负源)=0 0(无源无源)若若S S 为闭合曲面，可以根据为闭合曲面，可以根据净通量净通量的

19、大小的大小判断闭合面中源的性质判断闭合面中源的性质:第40页，此课件共57页哦设有矢量场设有矢量场F，在场中任一点在场中任一点P处作一个包处作一个包含含P点在内的任一闭合曲面点在内的任一闭合曲面S，设，设S所限定的所限定的体积为体积为V，当体积当体积V以任意方式缩向以任意方式缩向P点点时，时，取下列极限取下列极限:3.3.矢量场的散度矢量场的散度第41页，此课件共57页哦 如果上式的极限存在，如果上式的极限存在，则称此极限为则称此极限为矢量场矢量场A在点在点P P处的处的散度（散度（DivergenceDivergence），），记作：记作：在直角坐标系中，在直角坐标系中，散度的表达式为散度的

20、表达式为第42页，此课件共57页哦散度代表矢量场的通量源的分布特性散度代表矢量场的通量源的分布特性它表示场中一点处通量对体积的变化率，也它表示场中一点处通量对体积的变化率，也 就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的 通量，称为该点处通量，称为该点处源的强度源的强度；矢量的散度是一个标量，它表示从单位体积矢量的散度是一个标量，它表示从单位体积 内散发出的通量（内散发出的通量（通量密度通量密度）；）；F=0 F=0(无源无源）F F=0 0(负负源源)F=F=0 0 (正源正源)理解：理解：第43页，此课件共57页哦 由于由于 是通量体密度，即穿过包围单位体积

21、是通量体密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合体积分后，为穿出闭合面面S S的通量，即：的通量，即：该公式表明了区域该公式表明了区域V中场中场F与边界与边界S上的场上的场F之间的关系。之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。高斯散度定理高斯散度定理理解：理解：4.4.散度定理散度定理第44页，此课件共57页哦1.1.环量环量设有矢量场设有矢量场F，l为场中的为场中的一条封闭的一条封闭的有向曲线有向曲线，定义矢，定义矢量场量场F环绕闭合路径环绕闭合路径l的线的线积分积分为该矢量的为该矢量的环量环量（Circulati

22、on），），记作记作:环量表示矢量绕线旋转趋势的大小。环量表示矢量绕线旋转趋势的大小。注意注意:方向方向 的确定的确定.五、矢量场的旋度五、矢量场的旋度第45页，此课件共57页哦矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场都是描绘矢量场F性质的重要物理量性质的重要物理量.若矢量穿若矢量穿过封闭曲面的通量不为过封闭曲面的通量不为0，则表示该封闭曲面，则表示该封闭曲面内存在通量源；同样，若矢量沿封闭曲线的内存在通量源；同样，若矢量沿封闭曲线的环量不为环量不为0，则表示该封闭曲线内存在另一，则表示该封闭曲线内存在另一种源种源漩涡源。漩涡源。理解：理解：环

23、量是一标量，其大小不仅与闭合曲线的环量是一标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关，还取决于该曲线相对于矢量的取大小有关，还取决于该曲线相对于矢量的取向。向。第46页，此课件共57页哦设设P为矢量场中的任一点，为矢量场中的任一点，作一个包含作一个包含P点的微小面元点的微小面元S，其周界为其周界为l，它的正向与面元，它的正向与面元S的法向矢量的法向矢量n成右手螺旋关成右手螺旋关系系(如图所示如图所示)。当曲面当曲面S在在P点处保持以点处保持以n为法矢不变的条件下，为法矢不变的条件下，以任意方式缩向以任意方式缩向P点，若其极限存在，则称为矢量场点，若其极限存在，则称为矢量场在在P点处沿点处沿n方向的方

24、向的环量面密度环量面密度。2.2.旋度旋度第47页，此课件共57页哦 在给定点上，上述极限对不同的面元是不同的。为在给定点上，上述极限对不同的面元是不同的。为此，我们引入如下定义，称为矢量场此，我们引入如下定义，称为矢量场F的的旋度旋度，记为：，记为：可见，旋度是一个矢量，其大小是矢量可见，旋度是一个矢量，其大小是矢量A在给在给定处的定处的最大环量面密度最大环量面密度，其方向就是当面元的取向使，其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时该面元的方向环量面密度最大时该面元的方向.第48页，此课件共57页哦在直角坐标系中，旋度的表达式为：在直角坐标系中，旋度的表达式为：第49页，此课件共57页哦理解

25、：理解：矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。在矢量场中，若在矢量场中，若F 0 0,称之为称之为旋度场旋度场(或涡或涡旋场旋场)，J J 称为称为旋度源旋度源(或涡旋源或涡旋源)；点点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。若矢量场处处若矢量场处处F=0，称之为无，称之为无旋场旋场(或保守或保守场场)。第50页，此课件共57页哦3 3.斯托克斯斯托克斯(Stockes)(Stockes)定理定理F是是环量密度，即围绕单位面积环路上的环环

26、量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为量。因此，其面积分后，环量为矢量函数的线积分与面积分的互换。矢量函数的线积分与面积分的互换。该公式表明了区域该公式表明了区域S S中场中场F F与边界与边界L L上的上的场场F F之间的关系之间的关系斯托克斯定理斯托克斯定理理解：理解：第51页，此课件共57页哦 若若 是否意味着是否意味着 呢呢?是一个空矢量是一个空矢量 垂直于垂直于 是一个空矢量是一个空矢量第52页，此课件共57页哦 在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算和和解解:第53页，此课件共57页哦 求标量场求标量场 通过点通过点M M（1 1，0 0，1 1）的等值面方程。的等值面方程。解解:M M点的坐标：点的坐标：M M点标量场的值：点标量场的值：所以，等值面方程为：所以，等值面方程为：或或第54页，此课件共57页哦第55页，此课件共57页哦第56页，此课件共57页哦 求标量场求标量场 在点在点M M（1 1，0 0，1 1）处）处沿沿 的方向导数。的方向导数。第57页，此课件共57页哦