第二讲可靠性模型课件.ppt

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1、第二讲可靠性模型第二讲可靠性模型第1页，此课件共81页哦内容内容w背景知识背景知识w可靠性模型概述可靠性模型概述w单一失效模型单一失效模型w可靠性增长模型可靠性增长模型第2页，此课件共81页哦1.背景知识背景知识随机性和概率随机性和概率磨刀不误砍材工磨刀不误砍材工本部分材料来源于本部分材料来源于http:/第3页，此课件共81页哦样本空间样本空间w1、样本空间：实验的、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为所有可能结果所组成的集合称为样本空间样本空间，记为，记为S=e；w2、样本点、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个一个样本点样本点,记为

2、记为e.w3、由一个样本点组成的单点集、由一个样本点组成的单点集称为一个称为一个基本事件基本事件,也记为也记为e.第4页，此课件共81页哦随机事件随机事件w试验中可能出现或可能不出现的情况叫试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件随机事件”,简称简称“事事件件”.记作记作A、B、C等等n任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.n称事件称事件A发生当且仅当试验的结果是子集发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素中的元素w两个特殊事件两个特殊事件:必然事件必然事件S、不可能事件、不可能事件 w例如例如 对于试验硬币抛对于试验硬币抛3次次，以下，以下A、B、C即为

3、三个随机事件即为三个随机事件:A“至少出一个正面至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“两次出现同一面两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验再如，试验E6中中D“灯泡寿命超过灯泡寿命超过1000小时小时”x:1000 xT(小时）小时）。第5页，此课件共81页哦概率的定义及其运算概率的定义及其运算从直观上来看，事件从直观上来看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A发生的发生的可能性可能性?P（A A）应具有何种性质？）应具有何种性质？?抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬

4、币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的概率有多大？第6页，此课件共81页哦若某实验若某实验E满足满足1.有限性：样本空间有限性：样本空间Se1,e 2 ,e n;2.等可能性：（公认）等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en).则称则称E为古典概型也叫等可能概型。为古典概型也叫等可能概型。古典概型与概率古典概型与概率第7页，此课件共81页哦设设事事件件A中中所所含含样样本本点点个个数数为为N(A)，以以N(S)记记样样本空

5、间本空间S中样本点总数，则有中样本点总数，则有P(A)具有如下具有如下性质性质(1)0 P(A)1；(2)P()1；P()=0(3)AB，则，则 P(A B)P(A)P(B)古典概型中的概率古典概型中的概率:第8页，此课件共81页哦例例:有三个子女的家庭有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少?设设A-A-至少有一个男孩至少有一个男孩,以以H H表示某个孩子是男孩表示某个孩子是男孩N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTTN(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,T

6、TH,THT,TTTN(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THTN(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT第9页，此课件共81页哦某人向目标射击，某人向目标射击，以以A A表示事件表示事件“命中目标命中目标”，P P（A A）=？?定义定义:事件事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA次，则次，则比值比值nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中次重复试验中出现的出现的频率频率，记为，记为fn(A).即即 fn(A)nA/n.频率与概率频率与概率第10页，此课件共81页哦历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，试图证

7、明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。出现正反面的机会均等。实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005第11页，此课件共81页哦 频率的性质频率的性质(1)0 fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性：若可加性：若AB ，则，则 fn(A B)fn(A)fn(B).实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大增大时，时，fn(A)逐渐逐渐 趋向一个稳定值趋向一个稳定值。可将

8、此稳可将此稳定值记作定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率的概率第12页，此课件共81页哦w1.定义定义 若对随机试验若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A，均赋予一实数均赋予一实数P(A)，集合函数，集合函数 P(A)满足条件：满足条件：(1)P(A)0；(2)P(S)1；(3)可列可加性：设可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，是一列两两互不相容的事件，即即AiAj，(i j),i,j1,2,有有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.(1.1)则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。第13页，此课件共81页哦2.概率的性质

9、概率的性质(1)有限有限可加性可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij),i,j1,2,n,则有 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+P(An);(3)事件差事件差 A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)(2)单调不减性单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B)第14页，此课件共81页哦(4)加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(3)互补性互补性：P(A)1 P(A);(5)可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB).第1

10、5页，此课件共81页哦随机变量的概念随机变量的概念定义定义.设设S=eS=e是试验的样本空间，如果量是试验的样本空间，如果量X X是是定义在定义在S S上的一个单值实值函数即对于每一个上的一个单值实值函数即对于每一个e e S S，有一实数，有一实数X=X(e)X=X(e)与之对应，则称与之对应，则称X X为为随机变量随机变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、等表示等表示随机变量的特点随机变量的特点:1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件第16页，此课件共81页哦w顾顾名名思思义义

11、，随随机机变变量量就就是是“其其值值随随机机会会而而定定”的的变变量量，正正如如随随机机事事件件是是“其其发发生生与与否否随随机机会会而而定定”的的事事件件机机会会表表现现为为的的试试验验结结果果，一一个个随随机机试试验验有有许许多多可可能能的的结结果果，到到底底出出现现哪哪一一个个要要看看机机会会，即即有有一一 定定的的概概率率最最简简单单的的例例子子如如掷掷骰骰子子，掷掷出出的的点点数数X是是一一个个随随机机变变量量，它它可可以以取取1，6等等6个个值值到到底底是是哪哪一一个个，要要等等掷掷了了骰骰子子以以后后才才知知道道因因此此又又可可以以说说，随随机机变变量量就就是是试验结果函数从这一

12、点看，它与通常的函数概念又没有什么不同试验结果函数从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同w把把握握这这个个概概念念的的关关键键之之点点在在于于试试验验前前后后之之分分：在在试试验验前前我我们们不不能能预预知知它它将将取取何何值值，这这要要凭凭机机会会，“随随机机”的的意意思思就就在在这这里里，一一旦旦试试验验后后，取取值值就就确确定定了了比比如如你你在在星星期期一一买买了了张张奖奖券券，到到星星期期五五开开奖奖在在开开奖奖之之前前，你你这这张张奖奖券券中中奖奖的的金金额额X是是一一个随机变量，其值耍到星期五的个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验抽奖试验”做过以后才能知道做过以后才能知道

13、第17页，此课件共81页哦w 明明白白了了这这一一点点就就不不难难举举出出一一大大堆堆随随机机变变量量的的例例子子比比如如，你你在在某某厂厂大大批批产产品品中中随随机机地地抽抽出出100个个，其其中中所所含含废废品品数数X；一一月月内内某某交交通通路路口口的的事事故故数数X；用用天天平平秤秤量量某某物物体体的的重重量量的的误误差差X；随随意意在在市市场场上上买买来来一一架电视机，其使用寿命架电视机，其使用寿命X等等，都是随机变量等等，都是随机变量w若若把把随随机机变变量量X取取所所有有可可能能值值的的概概率率计计算算出出来来，列列成成一一个个表表格格，则则很很容容易易算算出出任任何何一一个个由

14、由X取取值值落落在在某一区域表示的事件，如掷骰子，至少掷出某一区域表示的事件，如掷骰子，至少掷出1点的概率。点的概率。第18页，此课件共81页哦w关关于于随随机机变变量量(及及向向量量)的的研研究究，是是概概率率论论的的中中心心内内容容这这是是因因为为，对对于于一一个个随随机机试试验验，我我们们所所关关心心的的往往往往是是与与所所研研究究的的特特定定问问题题有有关关的的某某个个或或某某些些量量，而而这这些些量量就就是是随随机机变变量量当当然然，有有时时我我们们所所关关心心的的是是某某个个或或某某些些特特定定的的随随机机事事件件例例如如，在在特特定定一一群群人人中中，年年收收入入十十万万元元以以

15、上上的的高高收收入入者者，及及年年收收入入在在8000元元以以下下的的低低收收入入者者，各各自自的的比比率率如如何何，这这看看上上去去像像是是两两个个孤孤立立的的事事件件可可是是，若若我我们们引引进进一一个个随随机机变变量量的的X：X随随机机抽抽出出一一个个人人其其年年收收入入，则则X是是我我们们关关心心的的随随机机变变量量上上述述两两个个事事件件可可分分别别表表为为X10万万和和X0.8万万w这这就就看看出出：随随机机事事件件这这个个概概念念实实际际上上是是包包容容在在随随机机变变量量这这个个更更广广的的概概念念之之内内也也可可以以说说：随随机机事事件件是是从从静静态态的的观观点点来来研研究

16、究随随机机现现象象，而而随随机机变变量量则则是是一一种种动动态态的的观观点点，一一如如数数学学分分析析中中的的常常量量与与变变量量的的区区分分那那样样变变量量概概念念是是高高等等数数学学有有别别于于初初等等数数学学的的基基础础概概念念同同样样，概概率率论论能能从从计计算算一一些些孤孤立立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量第19页，此课件共81页哦离散型随机变量离散型随机变量定义定义:若随机变量若随机变量X取值取值x1,x2,xn,且取这些值的且取这些值的概率依次为概率依次为p1,p2,pn,则称则称X为离散型随机变量

17、，为离散型随机变量，而称而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或或 X Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk第20页，此课件共81页哦(1)pk 0,k1,2,;(2)例例1 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只黑。现从中任取只黑。现从中任取3只球只球(不放回不放回)，求，求抽得的白球数抽得的白球数X为为k的概率。的概率。解解 k可取值可取值0，1，2分布律的性质分布律的性质第21页，此课件共81页哦几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（一）贝

18、努里（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布概型与二项分布1.(0-1)分布分布 若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1)k0，1或或第22页，此课件共81页哦若以若以X X表示表示n n重贝努里试验事件重贝努里试验事件A A发生的次数，则称发生的次数，则称X X服从服从参数为参数为n,pn,p的二项分布。的二项分布。记作记作XBXB（n,p)n,p),其分布律为：其分布律为：2.定义定义 设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n n次，每次试验中，事件次，每

19、次试验中，事件A A发生的发生的概率均为概率均为p p，则称这，则称这n n次试验为次试验为n n重贝努里试验重贝努里试验.第23页，此课件共81页哦例例.从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗,假设在各个交通岗是否遇假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是并且遇到红灯的概率都是1/3.1/3.(1)(1)设设X X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数,求求X X的分布律的分布律.(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红灯的概率次红灯的概率.(1)1)XB(6,1/3),XB(6,1/3),

20、于是于是,X X的分布律为的分布律为:第24页，此课件共81页哦泊松泊松定理定理 设随机变量设随机变量XnB(n,p),(n0,1,2,),且且n很大，很大，p很小，记很小，记=np，则，则 第25页，此课件共81页哦（二（二.）泊松泊松(Poisson)分布分布P()XPXk ,k0,1,2,(0)第26页，此课件共81页哦泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，泊松分布是二项分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小时，二项分布就可近似地很小时，二项分布就可近似地看成是参数看成是参数=np的的泊松分布泊松分布第27页，此课件共81页哦随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、

21、分布函数的概念一、分布函数的概念 定义定义 设设X是随机变量，对任意实数是随机变量，对任意实数x，事件，事件X x的概的概率率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即，即 F(x)P X x.易知，对任意实数易知，对任意实数a,b(ab),P aX bPX bPX a F(b)F(a).第28页，此课件共81页哦分布函数的性质分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且，且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必

22、是某个随机反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。第29页，此课件共81页哦一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 例例 设随机变量设随机变量X具分布律如右表具分布律如右表解解X012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。第30页，此课件共81页哦连续型随机变量连续型随机变量:一、概率密度一、概率密度 1.定义定义:对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函数，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意

23、实数，使对任意实数x，都有，都有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)为为X的的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度或密度函数简称概率密度或密度函数.常记为常记为X f(x),(-x+)第31页，此课件共81页哦密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为第32页，此课件共81页哦二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1.均匀分布均匀分布 若Xf(x)则称则称X在在(a,b)内服从均匀分布。记作内服从均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数对任意实数c,d(acd0的指数分布。的指数分布。其分布函数为其分布函数为第34页，此课件共81页哦正态分布是实践中应用最为广泛，在

24、理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。别重要的地位。3.正态分布正态分布第35页，此课件共81页哦其中其中 为实数，为实数，0，则称，则称X服从参数为服从参数为 ,2的的正态分正态分布布,记为记为N(,2)，可表为，可表为XN(,2).若随机变量随机变量第36页，此课件共81页哦(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；f()maxf(x).正态分布有两个特性正态分布有两个特性：第37页，此课件共81页哦(2)的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布

25、越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布第38页，此课件共81页哦4.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0，21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布，标准正态分布，记作记作XN(0,1)。第39页，此课件共81页哦一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅者查阅(x)的值。如，若的值。如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1)(x)1(x)；(2)若XN

26、(,2)，则正态分布表第40页，此课件共81页哦2.可靠性模型概述可靠性模型概述第41页，此课件共81页哦目标目标w在开发过程中，如果我们能够在开发过程中，如果我们能够n对组件或者系统预测失效的概率对组件或者系统预测失效的概率n估计下一次失效的平均时间估计下一次失效的平均时间n预测（遗留）失效的个数预测（遗留）失效的个数 将大大有助于我们提高软件的质量将大大有助于我们提高软件的质量.w这样的任务是这样的任务是可靠性模型可靠性模型的目标的目标.第42页，此课件共81页哦可靠性模型可靠性模型可靠性模型可靠性模型可靠性模型可靠性模型引入缺陷引入缺陷:产品的特点(e.g.,程序大小)开发过程(e.g.

27、,软件工具和技术，人员的经验等.)去除缺陷去除缺陷:失效的发现(e.g.,extent of execution,operational profile)修复活动的质量环境环境第43页，此课件共81页哦两类可靠性问题两类可靠性问题w单一失效描述单一失效描述:n系统（组件）中失效的概率是多少系统（组件）中失效的概率是多少?w多重失效描述多重失效描述:n如果系统（组件）在时刻如果系统（组件）在时刻t1,t2,ti-1,失效，那么它失效，那么它在时刻在时刻ti 失效的概率是多少失效的概率是多少?第44页，此课件共81页哦失效描述（失效描述（1）1)失效的时间失效的时间2)失效之间间隔的时失效之间间隔

28、的时间间3)到给定的时间累计到给定的时间累计的失效的失效4)在一个时间间隔内在一个时间间隔内经历的失效经历的失效Failure no.Failure times(hours)Failure interval(hours)1101021993321344311558156701278818810315912522101502511169191219930132313214256251529640Time based failure specification第45页，此课件共81页哦失效描述（失效描述（2）1)失效的时间失效的时间2)失效之间间隔的时失效之间间隔的时间间3)到给定的时间累计到给定

29、的时间累计的失效的失效4)在一个时间间隔内在一个时间间隔内经历的失效经历的失效Time(s)Cumulative FailuresFailures in interval30226053907212081150102180111210121240131270141Failure based failure specification第46页，此课件共81页哦模型分类模型分类wTime domain:日历时间还是执行时间日历时间还是执行时间wCategory:失效的数目是有限的还是无限的失效的数目是有限的还是无限的.wType:依据时间，经历的失效数目的分布情况依据时间，经历的失效数目的分布情况

30、.wClass(only finite category):失效强度依据时间失效强度依据时间的函数形式的函数形式.wFamily(only infinite category):依据经历的失效依据经历的失效的期待数目，失效强度的函数形式的期待数目，失效强度的函数形式.第47页，此课件共81页哦各种可靠性模型（各种可靠性模型（1）w指数失效类模型指数失效类模型(Exponential Failure Class Models)nJelinski-Moranda model(JM)nNonhomogeneous Poisson Process model(NHPP)nSchneidewind mo

31、delnMusas Basic Execution Time model(BET,基本基本指数模型指数模型)nHyperexponential model(HE)nOthers 第48页，此课件共81页哦各种可靠性模型（各种可靠性模型（2）wWeibull and Gamma Failure Class ModelsnWeibull model(WM)nS-shaped Reliability Growth model(SRG)wBayesian ModelsnLittlewood-Verrall ModelwInfinite Failure Category ModelsnDuanes mo

32、del nGeometric modelnMusa-Okumoto Logarithmic Poisson model（对数泊松模型）（对数泊松模型）第49页，此课件共81页哦另一种分类（另一种分类（1）w失效间隔时间模型失效间隔时间模型nJelinski-Moranda(Exponential Failure Model)nMusa-Basic(Exponential Failure ModelModel)nNHPP(Exponential Failure ModelModel)nGeometric(Infinite FailureInfinite Failure ModelModel)nM

33、usa-Okumoto(Infinite FailureInfinite Failure ModelModel)nLittlewood-Verrall(Bayesian ModelBayesian Model)第50页，此课件共81页哦另一种分类（另一种分类（2）w失效统计模型失效统计模型nGeneralized PoissonnShick-WolvertonnYamada S-shapednNHPP(Exponential Failure ModelModel)nSchneidewind(Exponential Failure ModelModel)第51页，此课件共81页哦模型的选择模型的

34、选择w投影有效性（投影有效性（Projective Validity）：从过去和：从过去和当前的失效行为预测将来失效行为的能力当前的失效行为预测将来失效行为的能力w假设的质量（假设的质量（Quality of Assumption）：能否：能否有效的检测假设的正确性有效的检测假设的正确性w可应用性（可应用性（Applicability）：针对不同的软件，：针对不同的软件，不同的开发阶段，不同的操作环境的有效性不同的开发阶段，不同的操作环境的有效性w简单性（简单性（Simplicity）：易于理解，易于估计参：易于理解，易于估计参数，易于收集所需的数据数，易于收集所需的数据第52页，此课件共81

35、页哦3.单一失效模型单一失效模型Single Failure Model第53页，此课件共81页哦硬件可靠性模型硬件可靠性模型w均匀模型均匀模型:n失效的概率是固定的失效的概率是固定的.w指数模型指数模型:n失效的概率随时间按照失效的概率随时间按照指数规律发生变化指数规律发生变化ftTftT第54页，此课件共81页哦单一失效模型（单一失效模型（1）w概率密度函数概率密度函数Probability Density Function(PDF):显示到给定时刻显示到给定时刻t为止，失效的概率为止，失效的概率wPDF的一个一般形式为指数分布的一个一般形式为指数分布w我们经常需要知道在失效前，组我们经常

36、需要知道在失效前，组件正常工作的时间，也就是说，件正常工作的时间，也就是说，从时间从时间0 0到到t t，失效的概率，失效的概率.第55页，此课件共81页哦单一失效模型（单一失效模型（2）w累积密度函数累积密度函数(CDF):显示直显示直到给定的时刻到给定的时刻t，累计的失效概累计的失效概率率.w对于指数分布对于指数分布,CDF,CDF 为为:第56页，此课件共81页哦单一失效模型（单一失效模型（3）w可靠性函数可靠性函数(R):显示一个组件的功能直到时刻显示一个组件的功能直到时刻t t依旧不失效的的依旧不失效的的概率概率.w对于指数分布对于指数分布,R,R为为:第57页，此课件共81页哦单一

37、失效模型（单一失效模型（4）w什么是失效时间什么是失效时间T的期待值的期待值?w它是概率密度函数它是概率密度函数(PDF)的平均值的平均值,被称为失效平均时间被称为失效平均时间mean time to failure(MTTF)w对于指数分布对于指数分布,MTTF,MTTF 为为:第58页，此课件共81页哦单一失效模型（单一失效模型（5）w失效时间中值失效时间中值Median time to failure(tm):一个特定的时间点一个特定的时间点tm，在该点前的失效概率和在其后的失效概率是一样的，在该点前的失效概率和在其后的失效概率是一样的.w失效率失效率Failure Rate z(t):

38、概率密度函数除以可靠性函数概率密度函数除以可靠性函数.对于指数分布对于指数分布,z(t)为为:第59页，此课件共81页哦w失效率的含义失效率的含义n系统在时间间隔系统在时间间隔t1,t2中失效的概率为中失效的概率为n失效率为如果失效率为如果t1前没有发生失效，在前没有发生失效，在t1,t2中每单位中每单位时间发生失效的概率时间发生失效的概率n从极限的角度从极限的角度第60页，此课件共81页哦w它表示了在元件的生命周期中失效概率的变化它表示了在元件的生命周期中失效概率的变化w尽管在某时刻两个设计的可靠性可能一样，但是尽管在某时刻两个设计的可靠性可能一样，但是在该点的失效率可能不一样在该点的失效率

39、可能不一样第61页，此课件共81页哦单一失效模型（单一失效模型（6）w系统可靠性系统可靠性:为各个组件的可靠性的乘积为各个组件的可靠性的乘积.w对于指数分布对于指数分布:第62页，此课件共81页哦单一失效模型（单一失效模型（7）w系统累计失效率（系统累计失效率（System Cumulative Failure Rate）:所有的组件的失效率之和所有的组件的失效率之和.w对于指数分布对于指数分布:第63页，此课件共81页哦4.可靠性增长模型可靠性增长模型Reliability Growth Model第64页，此课件共81页哦可靠性增长模型（可靠性增长模型（1）w我们可以假定所有的失效（例如用

40、类似的硬件组件替换原来的，失我们可以假定所有的失效（例如用类似的硬件组件替换原来的，失效密度函数效密度函数(probability density function,PDF)都是相同的都是相同的.w软件中，我们需要软件中，我们需要“修复修复”问题，通过修复，系统应该有更问题，通过修复，系统应该有更低的失效概率低的失效概率(or longer ti=ti-ti-1).因此，我们需要一个因此，我们需要一个可靠性增长可靠性增长模型模型(i.e.,可靠性随时间的变化可靠性随时间的变化).第65页，此课件共81页哦可靠性增长模型（可靠性增长模型（2）w一般的可靠性增长模型为一般的可靠性增长模型为:n基本

41、的指数模型（基本的指数模型（Basic Model,Musa)n对数泊松模型对数泊松模型(Logarithmic Poisson,Musa-Okumoto)w基本的指数模型假定在无限的时间内存在有限个基本的指数模型假定在无限的时间内存在有限个失效失效 (0 0).).w对数泊松模型假定无限个失效对数泊松模型假定无限个失效.第66页，此课件共81页哦模型的有效性模型的有效性w在软件生命周期在软件生命周期中，软件系统一中，软件系统一般经过多次变化般经过多次变化（升级）（升级）.w这些模型符合一这些模型符合一次修改的情形而次修改的情形而不是整个生命周不是整个生命周期期RevisionPeriod 1

42、RevisionPeriod 4第67页，此课件共81页哦可靠性增长模型（可靠性增长模型（3）w可靠性增长模型中的参数可靠性增长模型中的参数:1)1)失效强度失效强度Failure intensity():每自然或者每自然或者时间单位的失效个数时间单位的失效个数.2)2)执行时间执行时间Execution time():程序运行的程序运行的时间时间.执行时间可能与日历时间不一样执行时间可能与日历时间不一样.3)3)经历的平均失效的个数经历的平均失效的个数 ():在一个时间区在一个时间区间中，经历的平均失效个数间中，经历的平均失效个数.第68页，此课件共81页哦可靠性增长模型（可靠性增长模型（5

43、）w失效强度失效强度()versus 执行时间执行时间()()第69页，此课件共81页哦w例子例子n（基本模型）假定初始的失效强度为（基本模型）假定初始的失效强度为10失效失效/执行小执行小时，总的失效为时，总的失效为100，10个小时的失效强度为个小时的失效强度为n（对数泊松模型），初始失效强度同上，失效强度衰（对数泊松模型），初始失效强度同上，失效强度衰减系数为减系数为0.02/失效失效第70页，此课件共81页哦可靠性增长模型（可靠性增长模型（6）w失效强度失效强度()versus versus 经历的平经历的平均失效个数均失效个数 ()()第71页，此课件共81页哦w例子例子n假定一个程

44、序在无限的时间范围内将经历假定一个程序在无限的时间范围内将经历100个失效，个失效，初始的失效强度为初始的失效强度为10个失效个失效/执行小时，目前已经经执行小时，目前已经经历了历了50个失效，那么目前的失效强度为个失效，那么目前的失效强度为n假定初始的失效强度为假定初始的失效强度为10个失效个失效/执行小时，失效强执行小时，失效强度衰减系数为度衰减系数为0.02/每失效，假定我们已经遇到每失效，假定我们已经遇到50个个失效，那么目前的失效强度为失效，那么目前的失效强度为第72页，此课件共81页哦可靠性增长模型（可靠性增长模型（7）w经历的平均失效个数经历的平均失效个数 ()versus()v

45、ersus 执行执行时间时间()第73页，此课件共81页哦w例子例子n（基本模型）假定某一程序初始的失效强度为（基本模型）假定某一程序初始的失效强度为10个失个失效效/执行小时，总共执行小时，总共100个失效。个失效。10个执行小时后遇个执行小时后遇到的失效为：到的失效为：n（对数泊松模型）假定失效强度衰减系数为（对数泊松模型）假定失效强度衰减系数为0.02/每每失效失效,10小时遇到的失效为：小时遇到的失效为：第74页，此课件共81页哦可靠性增长模型（可靠性增长模型（4）w对于给定的时间段对于给定的时间段(e.g.,1 hour execution time)，经历的平均失效经历的平均失效

46、()()由下由下式计算式计算:No.of failures in interval(n)Probability(p)n x p00.10010.180.1820.220.4430.160.4840.110.4450.080.4060.050.3070.040.2880.030.2490.020.18100.010.10Mean failure()3.04第75页，此课件共81页哦可靠性增长模型（可靠性增长模型（8）Failure(s)in time periodProbabilityElapsed time(1 hour)Elapsed time(5 hours)00.100.0110.180

47、.0220.220.0330.160.0440.110.0550.080.0760.050.0970.040.1280.030.1690.020.13100.010.101100.071200.051300.031400.021500.01Mean3.047.77第76页，此课件共81页哦如何使用模型如何使用模型?w发布准则发布准则Release criteria:为了达到特定为了达到特定的失效强度目标，所需的失效强度目标，所需要进行系统测试的时间要进行系统测试的时间:第77页，此课件共81页哦w例例n对数泊松模型：假定对于一个软件，当前的失效强度对数泊松模型：假定对于一个软件，当前的失效强度

48、为为3.33/执行时间，目标为执行时间，目标为0.476/执行时间，失效强执行时间，失效强度衰减系数为度衰减系数为0.02/失效，那么失效，那么第78页，此课件共81页哦如何确定参数如何确定参数w参数预测和参数估计参数预测和参数估计n对于基本模型，需要确定全部失效数和初始的失效强对于基本模型，需要确定全部失效数和初始的失效强度度w总失效数的确定总失效数的确定w初始失效强度的确定初始失效强度的确定n对于两个模型，都可以使用参数估计方法对于两个模型，都可以使用参数估计方法第79页，此课件共81页哦参数估计参数估计w对于对于 BM model:必须估计出必须估计出 0和和 0，可以用线性回归法可以用线性回归法来确定参数来确定参数第80页，此课件共81页哦结论结论w可靠性工程建立在概率论和数理统计的基础上可靠性工程建立在概率论和数理统计的基础上w有很多种可靠性模型有很多种可靠性模型w我们重点介绍了基本模型和对数泊松模型我们重点介绍了基本模型和对数泊松模型第81页，此课件共81页哦