高数极限的定义与性质精选PPT.ppt

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1、关于高数极限的定义与性质现在学习的是第1页，共23页1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限例例1.2.1 考察函数在当x趋向于1时函数值的变化。解解如图，该函数定义域为考察x从x=1的左侧及右侧接近1时，其函数值的变化情况。列表如下现在学习的是第2页，共23页结论：当结论：当x充分接近充分接近1（但不等于（但不等于1）,y的值接近于常数的值接近于常数2.2.0000011.0000011.9999990.9999992.0011.0011.9990.9992.011.011.990.992.11.11.90.9一般地，我们有现在学习的是第3页，共23页定义定义1

2、.2.1 设函数在点的某去心邻域内有定义,或反之，若不存在这样的常数 A，则称当时没有极限或极限不存在。则例1.2.1可表示为的值任意地接近常数A,函数如果当x充分接近时，则称当的极限为A,记作时函数现在学习的是第4页，共23页例例1.2.2 设函数求解解如图，.观察其函数图象，得结论：结论：函数在某点的极限的存在与否与函数在该点是否函数在某点的极限的存在与否与函数在该点是否有定义或等于什么并无关系有定义或等于什么并无关系.现在学习的是第5页，共23页例例例例1.2.31.2.31.2.31.2.3 求解解如图，观察其函数图象，得解解如图，观察其函数图象，得例例1.2.41.2.4 求现在学习

3、的是第6页，共23页例例例例1.2.5 求不存在.解解如图，观察其函数图象，得现在学习的是第7页，共23页1.2.21.2.2.单侧极限单侧极限定义定义1.2.2 设函数在点右（或左）邻域内有定义,（或函数如果当x从的右侧（左侧）充分接近时，的值任意地接近常数A,则称在处的右（或左）函数记作极限为A,有时记为（或现在学习的是第8页，共23页例例例例1.2.6.设函数设函数讨论 时的左右极限是否存在.解解:如图现在学习的是第9页，共23页例例1.2.7 设函数求解解如图，和由这两个例子，得一般地定理定理1.2.1.现在学习的是第10页，共23页机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.2.3、自变

4、量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限例例1.1.8现在学习的是第11页，共23页一般地，一般地，一般地，一般地，定义定义1.2.3 设函数对大于（或小于）某个数X的x都（或记作的极限为A,函数有定义，如果当x无限地趋向时，（或的值任意地接近常数A,则称当（或时函数现在学习的是第12页，共23页又设函数 对绝对值大于某个正数X的x都有定义，记作的极限为A,函数如果当|x|无限地趋向时，的值任意地接近常数A,则称当时函数于是在例1.1.8中现在学习的是第13页，共23页定理定理1.2.2.例例1.1.9 设求解解如图所以不存在。现在学习的是第14页，共23页有一类特别地、重要的极

5、限定义定义1.2.4.若时,函数则称函数为时的无穷小无穷小.例例1.1.10 因为 故当时函数为无穷小无穷小.例例1.1.11 因为 故当时函数为无穷小无穷小.现在学习的是第15页，共23页例例1.1.12 如图 故当时函数为无穷小无穷小.当时函数接近于0，所以但当时函数不是无穷小无穷小.注注1:无穷小与很小的数。注注2:无穷小是与x的变化过程有关。现在学习的是第16页，共23页机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.2.4、无穷极限、无穷极限例例1.1.13y值不断增大，且有一种趋势，趋向正无穷大。此时极限并不存在，记为y值不断减小，且有一种趋势，趋向负无穷大。此时极限并不存在，记为现在学习

6、的是第17页，共23页机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.2.5 设函数在点的某去心邻域内有定义,或记作则称当趋向于正无穷大（或负无穷大）时函数变得任意大，函数如果当x充分接近时，如果上述定义中将(或叙述成则称当x趋近时函数趋向于无穷大，记作现在学习的是第18页，共23页注注1:上述中的极限称为无穷极限.注注2:无穷大是与x的变化过程有关。无穷极限并不代表 极限存在。注注3:和无穷小类似，不要把无穷大与很大的数(如一亿)混淆.注注4:无穷大一定无界,反之不然.现在学习的是第19页，共23页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.14 求解解 如图所以现在学习的是第20页，共23页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.14 求解解 如图所以不存在。现在学习的是第21页，共23页定理定理1.2.4(局部有界性）若则存在1.2.5 极限的性质极限的性质最后无穷大与无穷小有如下的关系定理定理1.2.3 在自变量的同一极限变化过程中,如果函数 为无穷大，则 为无穷小；反之如果为无穷小，则 为无穷大。的一个邻域，使得函数在该邻域里有界。定理定理1.2.5(唯一性）若存在，则极限唯一。在自变量的其他极限变化过程中,也成立。现在学习的是第22页，共23页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第23页，共23页