2022年自动控制系统的数学模型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 自动掌握系统的数学模型教学目的：（1） 建立动态模拟的概念,能编写系统的微分方程；（2） 把握传递函数的概念及求法；（3） 通过本课学习把握电路或系统动态结构图的求法,并能应用各环节的传递函数,求系统的动态结构图；（4） 通过本课学习把握电路或自动掌握系统动态结构图的求法,并对系统结构图进行 变换；（5） 把握信号流图的概念,会用梅逊公式求系统闭环传递函数；（6） 通过本次课学习,使同学加深对以前所学的学问的懂得,培育同学分析问题的能 力 教学要求：（1） 正确懂得数学模型的特点；（2） 明白动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3） 坚

2、固把握传递函数的定义和性质,把握典型环节及传递函数；（4） 把握系统结构图的建立、 等效变换及其系统开环、 闭环传递函数的求取, 并对重要 扰动输入下的闭环传递函数、 误差传 的传递函数如： 掌握输入下的闭环传递函数、递函数,能够娴熟的把握；（5） 把握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6） 把握结构图和信号流图的定义和组成方法,娴熟把握等效变换代数法就, 简化图形结构,把握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法；教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概 念及求法；由各环节的传递函数,求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态 结

3、构图进行变换；梅逊增益公式的应用；教学难点： 举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第 K 条前向通道特记式的余子式k；教学方法 ：讲授 本章学时： 10 学时 主要内容：2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4 系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式2.0 引言：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出

4、变量以及各变量之间关系的数学表达式；）动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式,他一般是时间函 数；如：微分方程,传递函数,状态方程等；2.3.）静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系；一般不是时间函数建立动态模型的方法）机理分析法：用定律定理建立动态模型；）试验法：运用试验数据供应的信息,采纳辨识方法建模；建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系,以便分析设计系统,使系统掌握成效最优；2.1 动态微分方程的建立无论什么系统,输入输出量在暂态过程中都遵循肯定的规律,来反映该系统的特点；为了使系统满意暂态性要求,必需对系统暂态过程进行分析,把握其内在规律,数学模

5、 型可以描述这一规律；一、编写系统或元件微分方程的步骤：1.依据实际情形,确定系统的输入输出变量；方程（或2.从系统输入端开头, 按信号传递次序, 以此写出组成系统的各个元件的微分运动方程）；3.消去中间变量,写出输入输出变量的微分方程；二、举例例 1 RLC 电路依据电路基本原理有 : 名师归纳总结 R iLdi dtucuru cur第 2 页,共 24 页Lcicducducdtd2ucRcdt2dt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 质量弹簧阻尼系统由牛顿定律：FmaFkyfdyfmd2ykyFdtdt2md2ydydt2dt3） 电动机

6、：电路方程：urEaLadiaR aia1 dt名师归纳总结 4 动力学方程：d22MMcJdMcLadMcR a2 第 3 页,共 24 页dt2EakdJd 3 Mk dia 4 得：ia5kddtkd351 得：R aJdkdu rMcLaJk dR adtk ddtkddt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 整理并定义两个时间常数JRaT m机电时间常数k2 dLaTa电磁时间常数R a电机方程T a T md22cT md1u r.u ,就电机方程是一典dtdtkd假如忽视阻力矩即M0,方程右边只有电枢回路的掌握量型二阶方程假如忽视T （T a

7、0）电机方程就是一阶的T md dt1urkd小结：本节通过讲授介绍了自动掌握系统的数学模型,介绍了系统的动态以及静态数学模型,描述了系统的动态微分方程,并通过几个典型实例给出了求自动掌握系统动态微分方 程的步骤；2.2 线性系统的传递函数求解微分方程 ,可求出系统的输出响应,但假如方程阶次较高 ,就运算很繁 ,因此对系统的设计分析不便 ,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算 ,可是问题分析大大简化 . 1.传递函数的定义：叫做系传递函数： 线性系统 ,在零初始条件下 ,输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比,统的传递函数；线性定常掌握系统微分方程的一般表达式：设线性定常系统由

8、下述 n阶线性常微分方程描述：名师归纳总结 a0dnc ta 1dn1c tta n1d dtc t tanc t第 4 页,共 24 页dtndtn1b 0dmr tb 1dm1rb m1drb mr tdtmdtm1dt- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 式中 ct是系统输出量, rt是系统输入量,a i i,12 ,3 ,n和b jj,12,m 是与系统结构和参数有关的常系数；设rt和ct及其各阶系数在 t=0是的值均为零,即零初始条件,就对上式中各项分别求拉 氏变换,并令 csLct ,Rs=Lrt ,可得 s的代数方程为：a0sna 1sn1a

9、n1sanCsb 0smb 1sm1bm1samR s 于是,由定义得系统传递函数为：2.Gs Cs b 0m sb 1sm1b m1sb mMs R s a 0s na 1sn1an1sa nNs 式中Ms b 0smb 1sm1b m1sb mNs a0sna 1sn1an1san关于传递函数的几点说明：1）传递函数的概念只适应于线性定常系统；2）Gs 虽然描述了输出与输入之间的关系,但它不供应任何该系统的物理结构；由于许 多不同的物理系统具有完全相同的传递函数；3）传递函数只与系统本身的特性参数有关,与系统的输入量无关；4）传递函数不能反映系统非零初始条件下的运动规律；5）传递函数分子多

10、项式阶次（m）小于等于分母多项式的阶次（n）；6）传递函数与微分方程之间的关系；名师归纳总结 Gs Cs t 输入时的输出响应；由于第 5 页,共 24 页Rs 假如将Sd置换传递函数微分方程dt7）脉冲响应（脉冲过渡函数）gt 是系统在单位脉冲R sLt1trtgdctL1 Cs L1CsR strtgtd00传递函数 Gs 的拉氏反变换是脉冲响应gt3. 传递函数的求法：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2-6 输入量 Xr=u ,输出量 Xc=i；列回路电压方程：u=Ri+Ldi dt（227）（2-28）（229）即 Xrs=RXcs+LS

11、Xcs 经整理得：Xcs =1/RXrs T 1s1其中 T l=L , 为电路的时间常数；R摸索题：Ld2ys2yssy 0y0,什么是零初始条件？dt2如何从该框图求得 与 之间的关系？从微分方程 传递函数2.3 典型环节及其传递函数任何系统都是由各环节构成,知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数,从而对系统进行分析；这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 振荡环节和时滞环节；下面分别加以介绍：1 比例环节GsK式中 K 增益 特点： 输入输出量成

12、比例,无失真和时间推迟；实例：电子放大器,齿轮,电阻（电位器）,感应式变送器等；2 惯性环节Gs11TS式中 T 时间常数特点： 含一个储能元件,对突变的输入其输出不能立刻复现,输出无振荡；实例：图 2-4 所示的 RC网络,直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节；3 微分环节抱负微分Gs KS12S1一阶微分Gs S二阶微分Gs 2S2特点： 输出量正比输入量变化的速度,能预示输入信号的变化趋势；实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节；4积分环节 1 G s S 特点： 输出量与输入量的积分成正比例,当输入消逝,输出具有记忆功能；实例： 电动机角速度与角度间的传递函数,

13、模拟运算机中的积分器等；5 振荡环节式中G s S2222T2S21TS1nnS2n 阻尼比01 n无阻尼自然振荡频率T1n特点：环节中有两个独立的储能元件,并可进行能量交换,其输出显现振荡；实例： RLC电路的输出与输入电压间的传递函数；6 纯时间延时环节名师归纳总结 c trt第 7 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Gses式中推迟时间 特点： 输出量能精确复现输入量,但须推迟一固定的时间间隔；实例：管道压力、流量等物理量的掌握,其数学模型就包含有推迟环节；小结： 通过本节的讲授使同学把握了传递函数的基本概念及典型环节传递函数；并

14、明白了典 型二阶环节各参数的物理意义；24 系统的结构图一、结构图的定义及其组成1. 结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形,它表示了系统的输入输 出之间的关系；2. 结构图的组成：（1） 信号线：带箭头的直线,箭头表示信号传递方向；（2） 分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置；留意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样；（3） 比较点：对两个以上信号加减运算；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4） 方框：方框图内输入环节的传递函数；3动态结构图的绘制步骤：（1）建立掌握系统各元件的微分方程

15、（传递函数）要标明输入输出量；（2）对元件的微分方程进行拉氏变换,并作出各元件的结构图；（3）按系统各变量的传递次序,依次将各元件的结构图连接起来；二、系统动态结构图的求法例如图 2-9 是闭环调速系统UrR 02R0R 02irIcR1C 1UkC rK S UdidnifST -C 0iUf图 2-9 （一）求各环节的传递函数和方框图名师归纳总结 1.比较环节和速度调剂器的传递函数和方框图s12,I csusIrsurs1, Is R 0ufs ,I fIs c0sc 0s R 01R 0211R 0R 11R 0c 1sIc2R 0第 9 页,共 24 页2c0ss Irs Ifs s

16、kc111surs ufs11suksT 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 式中T01 4R 0c 0为滤波常数1R 1c 1为时间常数kcR 1R 0为比例系数w 1s为速度调剂器函数w2s 为速度反馈滤波传递函数方框图如UrS UKS W 1S - UfS W 2S 图 2-10 2. 速度反馈传递函数ufs kspnsksp为速度反馈系数U fS nS K SP 图 2-11 3. 电动机及功率放大器装置的传递函数函数：ws uss ksk 为功放电压放大系数U dS sus UKS K S 图 2-12 名师归纳总结 电动机电框回路的微分方程

17、：uduRdidlddidc ens c ensw4s第 10 页,共 24 页dt零初始条件下拉氏变换：Ids dsc ens udR d 1T ds - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - w4s 电框回路传递函数U rS IdS W 4S - n S Ce 图 2-13 电动机带负载时运动方程：idc mizcmGD2dnceSn s （2-47）375dt拉氏变换：Ids Izs GD2c eR dSn s T mcm375 c eR dR dnsIds Izs cR dSIds Izs wsseT m（二）系统动态结构图IZS UrS - ES K

18、 C111SUrS K SUdS 11R dSIdS - CRdSnS S- eT mdCe UfS 11SK sf TC图 2-14 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、框图的等效变换1框图几种常见的连接方式1环节串联连接的传递函数X rS W 1S X 1S W 2S X 2S W 3S X CS 图 2-15 证明：x 1sx 1w 1s xrsx3s w3s x2s x2s w 1s s 消去中间变量得几个环节串联的传递函数w sw 1s w2s w3s （2-50）如有几个环节串联,就等效函数：w s

19、w 1s w2s .w ns in1w is （2-51）2环节并联的传递函数W 1S X rS X CS W 2S W 3S X rS X CS W 1S+ W 2S + W 3S 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2-16 证明：xcs x 1s x2s x3s s w3s ns inwis （2-52）w 1sxrs w2s xrs xrw 1sw2s w3s xrs ws x rs s （2-53）xcs ws w 1s w2s w3xrs 如有几个环节并联：w sw 1s w2s .w1（2-54）

20、3反馈连接的等效传递函数X rS ES X CS W 1S - X fS W 2S 图 2-17 特点：将输出量返回系统输入形式闭环；有两个通道（正向通道 反馈通道）；传递函数的推导：xcs w 1s Es Es xrsxfsxfsw2w2sxcs Es xrsw 2s x csx csw 1s xrs s xcs xcs w 1s w2s xcsw 1s x rs（2-55）w 1s 传递函数为ws 1w 1s w2s 2框图的等效变换1相加点从单元输入端移到输出端名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - X 1S X

21、 3S X 1S X3S 变换前：+ 3X 2S W 1S x2ssX 2S 图 2-18 xW 1S xs w 1sx 1sW 1S 变换后：x 3w 1sx 1s2ss x 1s w 1s x 2sw 12相加点从单元输出端移到输入端X 1S W 1S + X fS X 1S W 1S X 3S X 2S 1W 1S 图 2-19 变换前：x3s w 1sx1s x2s X2S W 1S X1S W 1S X2S 变换后：X3 S X1S 1S W 13分支点从单元输入端移到输出端X 1S W 1S X 1S X 2S W 1S 1X 2S X 1S W 1S图 2-30 4分支点从单元输

22、出端移到输入端X1S W 1S X 2S X 1S W 1S X 2S X 2S W 1S X 2S 图 2-31 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5分支点及相加点可以互换X 2S X1S X 1S W 1S X 2S W 1S W 1S W 2S X2S 图 2-32 X 1S + X 2S X 4S X 1S X 2S + X4S + X 3S + X 3S 图 2-33 四、几个基本概念及术语Rs给定输入Cs输出Bs主反馈量Es误差1 前 向图 2-34 反馈掌握系统方框图通 路 传 递函数 假设 Ns=

23、0 打开反馈后,输出Cs与 Rs之比；在图中等价于Cs与误差之比 Es；打开反馈后,输出量拉氏与输入量拉氏之比；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - CsG 1s G2s Gs Es2 反馈回路传递函数（Feedforward Transfer Function）假设 Ns=0 主反馈信号 Bs与输出信号 Cs之比；Bs Hs （Open-loop Transfer Function ）假设 Ns=0 Cs3 开环传递函数主反馈信号 Bs与误差信号 Es之比；4 只有给定输入作用（ N（S）=0）Gr s G 1 s

24、 G 2 s 1 G 1 s G 2 s H s 系统输出：C r s G 1 s G 2 s R s 1 G 1 s G 2 s H s 5 只有扰动作用 N s 0 G 2 s G n s 1 G 1 s G 2 s H s G 2 s N s C n s 1 G 1 s G 2 s H s 系统总输出：Cs Crs Cns 1G 1G2sHs G 1s Rs NssG2s小结：通过本课学习使同学把握电路或系统动态结构图的求法,并能应用各环节的传递函数,求系统的动态结构图；把握等效的概念及等效变换的基本原就,能够求出复杂结构图 的传递函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 16

25、页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 25 信号流图及梅逊公式一、信号流图由系统的结构图可以求出系统的传递函数,但是系统很复杂时,结构图简化很繁,采纳 信号流图,不必对信号流图简化,应用统一公式,可求出系统的传递函数；1绘制方法：1 由代数方程绘制：例： 描述系统的方程组为：X 2=aX1+bX2+gX5 X 3=cX2 X 4=dX1+lX 3+fX 4 X 5=X 1+hX 4 信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络,节点表示系统的变量或是信号用“O”表示,支路用有向线段表示；该系统的信号流图：d b X 1 a c X 3 e X 4 f h X 5 X 2

26、 g 图 2-35 2 由系统结构图绘制名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - f X rX 1a X 2- b X3c X4d X C- l g 图 2-36 -f X r X 1 a b X 3 c X 4 -l d X c X 2 -g 图 2-37 2. 信号流图使用术语源点 ；汇点 ；混合节点；闭通路（回环）；回路增益；前向通路；自回路；不接触回路；讲法： 结合信号流图叙述；3. 梅逊增益公式求传递函数利用梅逊增益公式,不用对系统结构图变换,一点写出系统的传递函数；TXc1n1TKK（2-65 ）XrKXr

27、- 系统输出量； Xc - 系统的输出量； T- 系统总传输； Tk - 第 K 条前向通路的传输；n从输入节点到输出节点的前向通路数；- 信号流图的特点式；名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1L 1L2L 3.1mLm 2-66 L 1 信号流图中全部不同回环传输之和；L 2 信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；L - 信号流图中每三个互不接触回环的传输乘积之和；kL m信号流图中每 m个互不接触回环的传输乘积之和；K 条前向通路相接触的各回环传第 K 条前向通路特点式的余子式,是在中除去与第输（即将其

28、置零）；例 1：如图求系统总的传输；f X r 1 a X 2 b X 3 c X 4 d X 5 1 X c X 1 l -g 图 238 依据梅逊增益公式： T=1nTkkT =abcd,T 2 =fd; 三个回环： L a =be,L b=-abcdg,Lc=-fdg 此系统有两条前向通路k1n=2, 其传输三个回环只有 L a 和 L b 互不接触L 2LaL c,L30：1L 1aLL2LcLaLc系统的特点方程式 =1-（Lb=1-be+abc+f-befdg 名师归纳总结 1 为除去（在中）得 T1特点余子式11第 19 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 -

29、 - - - - - - - - 2在中除去与 T2 接触回环 Lb Lc得特点余子式1be系统的传输为： T=12k1T 11T22Tk =1k1ffd1be dgabcdbeabcbef例 2：如图求系统传递函数X2 X r -Xr X 1 W 1 -W 3 +X 5 W 5 X C W 2 X 2 H 2 +-W 4 X 2 H1 图 239 信号流图X 2 X r X1 1 W 1 W 2 -1 X 3 W 4 W 3 X 5 W 5 X c X 1 -1 H 2 X4 -H 1 图 2-40 系统前向通路： T1=W1W3W5,T2=W2W4W5 系统回环及传输：a =-W1W3W5

30、H1 b =-W2W4W5 c=-W3H2 d =-W4H2 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - L1LaLbLcLd=-W1W3W5H1+W2W4W5H1+W3H2+W4H2 各回环相互接触1 W3 W5L2WL3=0 H1W3 H1W4 H2各回环与前向通路T1,T21L 11WH12 W4 W5接触121系统传递函数：WS=T11T22=1W1 W3 W5W1 W3 W5W2 W4 W5H2W4H2H1W2 W4 W5H1W3小结： 通过本节课的学习, 使同学把握信号流图的概念, 会用梅逊公式求系统闭环传递函数,并且能够求出第 K 条前向通道特记式的余子式 k；习题课1M 1 1 J1 2 f1 Z1 2 J2 f 2 M 1 Z2 M 2 图 2-41 图示是一个齿轮传动机构,机构无变形,无间隙求名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 轴 1 的力矩方程： M-M1-fd 1 =J1 dtd2t21d2轴 2 的力矩方程： M2-f2 d 2 =J2 d 2dt td 2齿轮 1 和齿轮 2 作功相等： M1 1=M2 2又 1 Z 2 l2 Z