2003年高考试题——数学(广东卷)及答案.doc

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1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学一、选择题：每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1暂缺4p2 已知 x(- ,0), cos x = ,则tan 2x =（）2577247247ABCCD24248 sinq 的准线方程是r =3圆锥曲线cos q2r cosq = -2r cosq 2rsinq = -2rsinq = 2D=AB14等差数列a 中，已知a = , + = 4, = 33a a2a，则 n 为315nnA48B49C50D515双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F 、F ，F MF =120，则双曲线的

2、离心率为1212（）6633ABCD2332 -1, 0,x-x( ) 1若 f x5设函数 f(x) = ，则 x 的取值范围是（）1200,x 0xA（1，1）C（，2）（0，+）7函数 y = 2 sin x(sin x + cos x)的最大值为B（1，+）D（，1）（1，+）（）A1+ 2B2 -12CD2的弦长为 2 3 时，则）8已知圆 Ca=: (x - a) + (x - 2) = 4(a 0)及直线l : x - y + 3 = 0.当直线l被C截得22（22 - 22 -12 +1DABC9已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）9

3、832 R2A pR 2R 2B pC prD p 2432p 3pf (x) = sin x, x , 的反函数f -1 (x) =10函数A（）2 2- arcsin x, x -1,1p arcsin , 1,1- - x x -BDp arcsin , 1,1- + x x -p arcsin x, x -1,1-C11已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB0- 1 - 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P 后，依次反射到CD、DA 和 AB 上的点 P ，P 和 P （入射角等于反射12341 x 2角）

4、. 设 P 的坐标为（x ，0），若，444则 tan q 的取值范围是（）11 22 1( , )2 2( , ）( , )DA（ ，1）BC33 35 25 312一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A3 B4 D6C3 3p二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上）4x - x 0，设 P：函数在 R 上单调递减 Q：不等式 x+|x-2c|1 的解集为 R.如y= cx果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围20（本小题满分 12 分）- 2 - 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心

5、位于城市O（如图）2q(q arccos )=的东偏南方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北1045方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21（本小题满分 14 分）已知常数a 0,在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=4 ，O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在 BC、CD、DAaBE CF DG=BC CD DA=上移动，且，P 为 GE 与 OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在

6、，请说明理由.22（本小题满分 14 分）设a 为常数，且an= 3 - 2a (n N)-1nnn+11（1）证明对任意n（2）假设对任意n 1,a = 3 + (-1) 2 + (-1) 2 a-1；nnnnn5nn 1 a aa有，求 的取值范围.nn-1n- 3 - 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考答案一、选择题：1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A二、填空题：21(2,4-131415S2ABC+S2ACD+S2ADB=2SBCD2三、解答题：（I）证明：取 BD 中点 M，连结 MC，FM

7、，1F 为 BD 中点， FMD D 且 FM= D D21111又 EC= CC ，且 ECMC，21四边形 EFMC 是矩形 EFCC又 CM面 DBD EF面 DBD111BD面 DBD ，11EFBD 故 EF 为 BD 与 CC 的公垂线.111V= V（II）解：连结 ED ，有1E-DBD1D-DBE1由（I）知 EF面 DBD ，设点 D 到面 BDE 的11距离为 d，则 S d=S1EF.9 分DBCDBDAA =2AB=1.12BD = BE = ED = 2, EF =222 2 33211 33d =S= 2 2 = 2,S= ( 2) =2322 22DDBD1DD

8、BC22 33故点 D 到平面 BDE 的距离为.1rz = r cos 60 + r sin 60 )的实部为 . - = , = 2z z r zz r由题设18 解：设oo ，则复数z2| z -1| =| z | | z - 2 |即: (z -1)(z -1) =| z | (z - 2)(z - 2) ,r - r +1 = r r - 2r + 4,222整理得r + 2r -1 = 0.解得 : r = 2 -1,r = - 2 -1(舍去).即| z |= 2 -1.219- 4 - 20解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.2 - 20 2 t,x, y

9、在时刻：（1）台风中心 P（）的坐标为 x= 3001027 2102 t.y = -300+ 202(x - x) + (y - y) r(t) ,此时台风侵袭的区域是22其中 r(t) = 10t + 60, 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有2 - 202t) + (-3007 210+ 202t)2(0 - x) + (0 - y) (10t + 60) . 即 (30022221022 (10t + 60) ,即t - 36t + 288 0,解得12 t 2422答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在

10、的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值.BE CF DC按题意有 A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）设=BC CD DA=(0 k 1)由此有 E（2，4ak），F（24k，4a），G（2，4a4ak）直线 OF 的方程为： 2ax + (2k -1)y = 0直线 GE 的方程为： - a(2k -1)x + y - 2a = 02a x + y - 2ay = 0222从，消去参数 k，得点 P（x,y）坐标满足方程= 1a 2整理得y a( - )2= 1 当2 时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.x2+1a221a2 当当2 时，点 P 轨迹

11、为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 1a1当时，点 P 到椭圆两个焦点（0， -的距离之和为定值 2 .aa2- 1),(0,a + a - )2222- 5 - 22本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14 分.（1）证法一：（i）当 n=1 时，由已知 a =12a ，等式成立；101a = 3 + (-1)k-1 2 - (-1) 2a ,kkk（ii）假设当 n=k（k1）等式成立，则5k02a = 3 - 2a = 3 - 3 + (-1) 2 - (-1) 2k+1kkkk-1kka那么5k+1k0

12、1= 3 + (-1) 2 + (-1) 2 a .k+1kk+1k+1 k+150也就是说，当 n=k+1 时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何 nN，成立.15 .a = 3n-1- 2(a - a3n-1 ),a = 3n-1- 2aa =证法二：如果设用代入，可解出nn-1nn-13n 所以是公比为2，首项为3 的等比数列.5a-a1-5na - 3 = (1- 2a - )(-2) (n N). 即 = 33+ (-1) 2nnn-1n+ (-1) 2an.n-1an555n0n023 + (-1) 3 2n-1n-1n-1a-=+ (-1) 3 2a.0（2）解法

13、一：由 通项公式 a an-1n5nn-1n3a a (n N)(-1) (5a -1) ( ) (n N).-1等价于n-2n2nn-103(-1)2k -2 (5a -1) ( )（i）当 n=2k1，k=1，2，时，式即为2k -3201 31即为 a ( )2k-3+ .5 2501 31 1式对 k=1，2，都成立，有 ( ) + = .-1a5 25 303(-1) (5a -1) - ( )2k-2+ .即为式对 k=1，2，都成立，有5 2501 311a - ( )2 1 2 + = 0. -0 a aa - a = 1- 3a 0.解法二：如果（nN ）成立，特别取 n=1，2 有n-1*100n11a - a = 6a 0.0 a .0 a 0. 由 a 的通项公式5(a - a ) = 23 + (-1) 3 2 + (-1) 53 2 a .n-1n-1n-1nn-1nn-1nn-10n5(a - a ) = 23 +32 -532 a（i）当 n=2k1，k=1，2时，n-1n-1n-1nn-102 2 + 3 2 - 5 3 2 = 0n-1n-1n-15(a - a ) = 23 -32 +532 a（ii）当 n=2k，k=1，2时，n-1n-1n-1nn-101(0, ).32 3 - 3 2 0.n-1n-1故 a 的取值范围为0- 6 -