2017年高考全国卷Ⅰ理科数学试题及详细解析.doc

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1、 绝密启用前理科数学3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一项是符合题目要求的。1. 已知集合 =Ax x1 ， = 3 1 ，则（）x xA B = R=x x1x x【答案】A x A B=x x0 ， A B = x x 1000 和 = +1n nB 1000 和 = + 2n nAAAA【详解】因为要求A 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出“”中 n 依次加 2 可保证其为偶故选 Dx C y9. 已知曲线 : = cos ， : = sin 2 +，则下面结论正确的是（）231A把 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移62B把 上各点的

2、横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1221262D把 上各点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移122【答案】D【详解】231首先曲线CCC y、 统一为一三角函数名，可将 : = cos 用诱导公式处理x121 横坐标变换需将w =1 变成w = 2，21即y =C1上各点横坐标缩来yx +x222433注意 的系数，在右平移需将提到括号外面，这时wx43根据“左加右减”原则，“，即再向左平移 12 1243FC2Fl lCA12BDE2轴AK12（几何关系）1易知122 AF cosq + P = AFPP1+ cosq=1- cos q

3、 sin q222DE =cos q2+q2而 y2 = 4x ，即 P = 2411q422+= 4=2222 16sin22q+16 ，当q = 取等号=4即最小值为 ，故选AAB DE1611. 设 ， y ， 为正数，且2 = 3 = 5 ，则（）zxzxyA 2 3 5xyzB5 2 3zxyy z xC3 5 2yx zD3 2 y ln2 22x 3yxln2 = zln5x ln5 5则 =z ln2 23y 2x 5z ，故选 Dx z 2 100 且该数列的前 项和为2 的整数幂那么该款软件的激活码是N（）A440B330C220D110【答案】A【详解】设首项为第 组，接

4、下来两项为第 组，再接下来三项为第 组，以此类推123( )n 1+ n设第 组的项数为 ，则 组的项数和为nnn2( )n 1+ n由题， N 100 ，令，即 出现在第 组之后13*100 n14 且n NN21- 2n第 组的和为= 2 -1nn1- 2( )2 1- 2n组总共的和为n- n = 2 - 2 - nn1- 2( )n 1+ n若要使前 项和为 的整数幂，则项的和2k -1应与 -2 - n 互为相反2NN -2数()即2 -1= 2 + n k N ，n14k*( )k = log n + 32 = 29，k = 5n( )29 1+ 29则 N =+ 5 = 4402

5、故选 A- 6 - 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 ， 的夹角为60 ， = 2 ， b =1a，则 a + 2b = _a b【答案】2 3【详解】( )1a + 2b2= (a + 2b) = a2+ 2 a 2b cos60 + 2 b = 2 + 2 2 2 + 222222= 4 + 4 + 4 = 12 + 2 = 12 = 2 3abx +2y 114. 设 ， y 满足约束条件 2 + -1 ，则 = 3 - 2 的最小值为_x x yzxyx - y 0【答案】-5x + 2y 1【详解】不等式组表示的平面区域如图所示2x +

6、y -1x - y 0yAB1xCx y+2 -1=02x+y+1=0= 3x - ，z由 = 3 - 2 得zxyy22x= 3 - z的纵截距的最大值求 的最小值，即求直线zy223z当直线y = x - 过图中点 时，纵截距最大A222x + y = -1由解得 点坐标为(-1,1)，此时 = 3(-1)- 21= -5zAx + 2y =1x2y215. 已知双曲线C : - ，（ 0 ， 0 ）的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，abAAbAa2b2圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若CNMAN C= 60 ，则 的离心率为AM_2 3【答案】3【详解】如图，- 7 -

7、 ，=33= 60， APb， OP =- PA 2=2OA23b tanq =3a2243bbb2又tanq = ，=a23aaa224e33、 、 为元 上的点，DBC ，ECA，FAB 分别是一 BC ，CAODEF，BC CA， AB 为折痕折起DBC ，ECA，ABC 的边长变化时，所得三棱锥体DEF3【详解】由题，连接OD ，交 BC 与点 ，由题，G36三棱锥的高h = DG2 - OG2 = 25 -10x + x2 - x = 25-10x1= 2 3 3x = 3 3x221则 h = 3x 25 -10x = 3 25 -10x x2453ABC ( )5( )令， x(

8、0, ) ， f x = 25x-10xf x =100x- 50x45342令 则a2的内角 ， ， 的对边分别为a ， ，c ，已知ABC 的面积为B CAb（2）若6cos cos =1， = 3 ，求ABC 的周长BCaSa2【详解】（ ）13sinA2a213 a = bc2223由正弦定理得sin A = sin BsinCsin A，2222由得.323，cosBcosC = 1216()( )cos A = cos - B - C = -cos B + C = sin BsinC- cosBcosC =( )又 A 0， A由余弦定理得a222asinC a2 bc =sin

9、BsinC = 82由得b + c = 33中，AB CD 中，且BAP = CDP = 90 （1）证明：平面PAB 平面 PAD；=1 PA AB ， PD CD又 ABCD ， PD AB又 PD PA = P ， PD 、 PA 平面 PAD AB 平面 PAD ，又 AB 平面 PAB平面 PAB 平面 PAD，OEPO2AD AB CDOBCE四边形 ABCD 为平行四边形1AB OE 平面 PAD ，又 PO 、 AD 平面 PADOE PO ，OE AD又 PA = PD ， PO AD以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O( ) ( ) ( )2- 2 ，0，0P C

10、、 B 2 ，2，0 、 0，0， 2 、 - 2 ，2，0 ，D()、()设由 22n BC = 0( ) APD = 90 ，又知 AB 平面 PAD ， PD 平面 PAD PD AB ，又 PA AB = A PD 平面 PAB ()即 PD 是平面 PAB 的一个法向量， PD= - 2 ,0 ,- 2 cos PD ,n = PDn = -2= -32 33PD n3由图知二面角 A - PB - C 为钝角，所以它的余弦值为-319. （12 分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16 个cm零件，并测量其尺寸（单位： ）根据长期生产经验，可以

11、认为这条生产线正常状( )m，s态下生产的零件的尺寸服从正态分布N2()（1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 m - 3s ，m 3s+X(P X)之外的零件数，求1 及 的数学期望；X()之外的零件，就认为这（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 -m 3s ，m 3s+条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.0

12、2 9.22 10.04 10.05 9.95116( )- =x x9.971616经计算得 x= x =， =2x -216x 0.212 ，其中 为2xis1616iiii=1i=1i=1抽取的第 个零件的尺寸，ii =1，2， ，16 mms用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差s 作为 的估计值s ，利用估计x值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除(m - 3s ，m + 3s )之外的数据，用剩下ms的数据估计 和 （精确到0.01）( )()= 0.997 4m，s ,m 3sm 3s 0 ，四点 1，1 ，P 0，1 ， -1，P ， 1， P 已知椭圆 ： +Ca

13、b221234a2b2中恰有三点在椭圆 上C（1）求 的方程；C（2）设直线 不经过 P 点且与 相交于 、 两点，若直线 P A 与直线 P B 的斜率的lCAB222和为 -1，证明： 过定点l【详解】（1）根据椭圆对称性，必过P、 P34又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过 ， ， 三点P4P1P P P2343 ( )P 0，1 ，P -1，将代入椭圆方程得322 1=1b2，解得 = 4 ， =13a2b21 +4 =1ba22x2椭圆 的方程为： + =1yC24() ()（2）当斜率不存在时，设l-2: x = m ，A m ，y ，B m ，- yAAy -1 -y -1k

14、+ k =+= -1AAmmmP2 AP2B得 m = ，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足2l( )当斜率存在时，设 =l y kx b b 1+() ()A x ，y ，B x ，y1122y = kx + b( )2 2联立 ，整理得 1+ 4k x b+ 8kbx + 4 - 4 = 02x2+ 4y - 4 = 02-8kbb4 - 42x + x =x x， =1+ 4k21+ 4k21212(x kx b)(x kx)b xy -1 y -1+ - +x+ -则 k + k =+=12212121xx2P AP Bx x2211 2- 12 - 8kb -8k -8kb

15、 + 8kb221+ 4k2=4b - 421+ 4k2( )8k b -1= -1，又 1b( )( )4 b +1 b -1 b = -2k -1，此时D = -64k ，存在k 使得D 0 成立直线 的方程为 yl= kx - 2k -1当 = 2 时， y= -1x()所以 过定点 2 ，-1 l21. （12 分）已知函数( )( )ax= e + - 2 e - xf x a 2xf (x)的单调性；（1）讨论f (x)有两个零点，求a 的取值范围（2）若( )( )x【详解】（1）由于e22 ef x = a + a - xx( )( )( )= 2 e + - 2 e -1 =

16、 e -1 2e +1x x xa 2 x a a( )故 f x+ f x( ) 0 恒成立1 0从而 当 0 时， ea-1 0时，令 = 0 ，从而 e1 0 ，得 = -ln af x- =xaax(- ，- ln a)(- ln a ，+ )x( )+( )f x单调减极小值单调增(x)综上，当 0 时， f 在 上单调递减；aR(x) (-,-lna) 上单调递减，在(-lna,+) 上单调递增当 0 时， f 在a（2）由（1）知，( )( )在 上至多一个零点，不满足条件f xR当 a 时，0在 上单调减，故Rf x1( )当 a 0时，= -ln =1- + lna ffam

17、ina1( )令令=1- + ln g aaa11 1= + 0 从而( )g a( )a a( )( ) (在g a)=1- + lng a 0 ，则 0 ，+ 上单调aa2a( )1 = 0( )( )( )0 1a时，g a 1 g a 0当a增，而 g故当时1( )a g a 0( )( )若 a ，则1=1- + ln =，故 f x 恒成立，从而 f x 无零点， 0fmina不满足条件1( )f x= 0 仅有一个实根 x = -lna = 0 ，不满足若 a =1，则 f=1- + ln = 0，故amina条件1a a2( )0 a 1，则 f =1- + ln 0a-1 =

18、 + +1- 0 若 fe2eemina- 13 - 31( ) ()故且f x在 -1，- ln a 上有一个实根，而又ln -1 ln = -ln a aa 3 333ln -1ln -1ln( -1) = ea e+ a - 2 - ln -1f a a a a 3333 -1 =()=-1 3 - a + a - 2 - ln-1 - ln-1 0 a a a a 3( )故又在 - ln ，ln-1 上有一个实根f xa a)( ) ()( )f x在 - ，- ln a 上单调减，在 - ln a ，+ 单调增，故 f x 在 上至多两R个实根 3( ) ()( )上均至少有一个实

19、数根，故 f x 在R又f x在 - - ln a 及 - ln a ，ln1，-1 a上恰有两个实根综上，0 a 1( )g x = x +1 + x -1 = 2，-1 x1，-2x，x -117 -1当 x(1,+) 时，令- + + 4 = 2 ，解得 =x2xxx2( ) ()( ) ()g x 在 1，+ 上单调递增， f x 在 1，+ 上单调递减17 1-( ) ( )f x g x 解集为1，此时 2 x -1，1( )g x = 2( ) ( )f x f -1 = 2当时， -，-1)( )g x( )f x( ) ( )g -1 = f -1 = 2单调递增，且 当 x时，单调递减，17 1-( ) ( )综上所述， f x g x 解集 -1， 2 -1，1（2）依题意得：- + + 42 在ax恒成立x2 -1，1即 - - 20 在ax恒成立x21 - 1- 20则只须 2a，解出：-1a1( ) ( )-1- a -1 - 202 -1，1故a 取值范围是- 15 -