2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷.doc

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1、 绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2）理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的。1.3+i = （ ）1+i1 2iA +1 2iB -2 iC +2 iD - 2. 设集合 =A 1,2,4，B = x x - 4x + m = 0 若= ，则 =（ ）A B 12B A -1, 3 D1,5BC1,01,33. 我国古代数学名着算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏盏B3 盏C5 盏D94. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一

3、部分后所得，则该几何体的体积为（ ） AB63C42p90pppD362x +3y -3 05. 设x ， 满足约束条件- + ，则 = + 的最小值是（ ）2x 3y 3 0yz 2x yy +3 0A-15B-9C1D96. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种种B18 种C24 种D367. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（ ）A乙可

4、以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩的成绩D乙、丁可以知道自己a 18. 执行右面的程序框图，如果输入的 = - ，则输出的 =（ ）SA2B3C4D5x y2( )x 2 y 429. 若双曲线C:1 a 0 b 0- = （ ， ）的一条渐近线被圆 - + = 所22a2 b2截得的弦长为 2，则 的离心率为（ ）CA2CB32 33D2 10. 已知直三棱柱ABC - A B C 中，AB =C 120，AB = ，BC = CC =1，则异21111面直线AB 与BC 所成角的余弦值为（ ）11A 3B 15C 10D 3255311. 若 = - 是函数

5、f (x) = (x + ax -1)e 的极值点，则x 2的极小值为（ ）f (x)2x-1A.-1B.-2e-3C.5e-312. 已知DABC是边长为 2 的等边三角形， 为平面P内一点，则ABCPA(PB + PC)的最小值是（ ）32C. - 4A.-2D.-1B.-3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，C表示抽到的二等品件数，则 C =100D p ( )f x sin2 x 3 cos x314. 函数=+- （ x 0,）的最大值是4 2 n 115. 等差数列的前项和为

6、S ，a = 3，S =10 ，则=anSn34k=1k16. 已知 是抛物线C ：y = 8x 的焦点，M 是 上一点， M 的延长线交 轴FFyC2于点N 若M 为 N的中点，则FFN =三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）B ，2DABC的内角A、B、C 所对的边分别为a,b,c ，已知+ =sin(A C) 8sin2（1）求cosB； （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50

7、kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计 A的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法P（）如1AB = BC = AD,BAD = ABC = 90o, E 是 PD的中点.2（1）证明：直线CE / / 平面 PAB（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 o ，求二面角45x2y 1设O 为坐标原点，动点 M 在椭圆C ： + = 上，过 M 做 x 轴的垂线，22垂足为 N ，点 P 满足 NP（2）设点Q在直线 x = -3上，且 直线l 过C 的左焦点

8、F . 21.（12 分）( )( )f x 0 。已知函数= - -f x ax ax xln x，且2（1）求a ；( )f x( )（2）证明：存在唯一的极大值点 x ，且 0,b 0,a + b = 2 ，证明：33（1）(a + b)(a + b ) 4；55a b 2（2） + 2017 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷 2理科数学参考答案一、选择题：1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B二、填空题：2n13.14. 115.16. 6n +1三、解答题：17.（12 分）解：B ，故2（1）由

9、题设及 + + = 得 =A B C p sin B 8sin2上式两边平方，整理得-17cos 2 B 32cos B 15 0+ =解得 cosB=1（舍去），cosB=1517158= 1acsin B = 4 ac17（2）由cosB= 得17= ，故17sin BSDABC217又S =2 ac，则 =DABC2a c 6由余弦定理及 + = 得所以b = 218.（12 分）解：（1）记 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg ”， C 表示事件“新养殖法的箱产量B不低于 50kg ”.由题意知P(A) = P(BC) = P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于 50kg 的频率为

10、(0.012 + 0.014 + 0.024 + 0.034 + 0.040)5 = 0.62 ，故P(B)的估计值为新养殖法的箱产量不低于 50kg 的频率为(0.068 + 0.046 + 0.010 + 0.008)5 = 0.66 ，故P(C) 的估计值为 因此，事件 的概率估计值为0.62A0.66 = 0.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量，故有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关。（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为(0.004 + 0.020 + 0.044)5 = 0.34 0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计

11、值为19.（12 分）解：（1）取 PA的中点 F ，连接 EF, BF ，因为 E 是 PD的中点，1所以 EF / /AD ， EF= AD2BAD = ABC = 90由得 BC / /AD ，1又 BC= AD，2所以 EF / /BC ，四边形 BCEF 是平行四边形，CE / /BF ，又 BF 平面PAB CE ， 平面 PAB，故CE / / 平面 PAB（2）由已知得 BA AD ，以 A为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向，| AB | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 A- xyz ，则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0),P(0,1,

12、3) ，设 ，则M (x, y, z)(0 x 1)因为 BM 与底面 ABCD所成的角为45 ，而n = (0,0,1) 是底面 ABCD的法向量，| z |=2 ，所以| cos |= sin 45 ,(x -1) + y + z2222即(x -1) + y - z = 0222又 在棱 PC 上，设 PM = PC ，则Mlllx = , y =1,z = 3 - 3222x=1+,x =1-,2由，解得 y =1,（舍去）， y =1,66z = -z =222626,1, )2 2所以 M (1-,1, ) ，从而 AM (1-22设 m = (x , y , z ) 是平面 AB

13、M 的法向量，则000m AM= 0,= 0,x y z(2 - 2) + 2 + 6 ) = 0,即000x= 0,m AB0所以可取 m = (0, - 6, 2) ，m n105于是cos m,n=| m | n |105因此二面角 M - AB - D的余弦值为20. （12 分）解：（1）设 P(x, y) ， M (x , y ) ，00 则 N(x ,0), NP = (x - x , y),NM = (0, y )0002由 NP=2NM 得x = x, y =y200x y22因为 M (x , y ) 在 上，所以 + =1C2 200因此点 的轨迹方程为 x + y =

14、2P22（2）由题意知 -F( 1,0)设Q(-3,t),P(m,n) ，则OQ = (-3,t), PF = (-1- m,-n),OQ PF = 3+ 3m - tn ，由OQ PQ =1得 -3m - m + tn - n =122又由（1）知 m + n = 2 ，故22所以OQ PF = 0，即OQ PF .又过点 存在唯一直线垂直于OQ ，P所以过点 且垂直于OQ 的直线 过 的左焦点 .Pl CF21.（12 分）解：（1） f (x) 的定义域为(0,+)设 g(x) = ax - a - ln x ，则 f (x) = xg(x), f (x) 0 等价于 g(x) 0因为

15、g(1)= 0, g(x) 0，故 g(1)= 0，1而 g(x) = a - , g(1)= a -1，x得 a =11若 a =1，则 g(x) =1-x当0 x 1时， g(x) 时， 单调递增x 1 g (x) 0, g(x)所以 = 是 的极小值点，故x 1 g(x)g(x) g(1) 0=综上， =a 1（2）由（1）知 f (x) = x - x - x ln x, f (x) = 2x - 2 - ln x21设= - - ，则h(x) = 2 -h(x) 2x 2 ln xx11当x(0, ) 时， .h (x) 0 h (x) 02211所以h(x) 在(0, ) 单调递减

16、，在( ,+) 单调递增.22111又h(e ) 0,h( ) 0 ；当x(x ,1)时，h(x) 0 .因为 f (x) = h(x) ，所以x = x 是 f (x) 的唯一极大值点.0由 f (x ) = 0 得ln x = 2(x -1)，故 f (x ) = x (1- x ) .0000001由x (0,1) 得 f (x ) f (e ) = e .-1-20所以e f (x ) 0) ，M 的极坐标为(r ,q)(r 0) .114由题设知| OP |= r,| OM |= r =cosq1由| OM | | OP |=16 得C 的极坐标方程r = 4cos q(r 0)2因此C 的直角坐标方程为(x - 2) + y = 4(x 0)222（2）设点B 的极坐标为(r ,q)(r 0) .BB 由题设知| OA |= 2, = 4cos a ，rB于是 DOAB 面积 2 + 3 .p当 a = - 时， 取得最大值 2 + 3S12所以 DOAB 面积的最大值为 2 + 323.解：（1）(a + b)(a + b ) = a + ab + a b + b5565563（2）因为(a + b) = a + 3a b + 3ab + b3322所以(a + b) 8 ，因此 + .a b 23