2006年高考数学试卷(辽宁卷.理)含详解.doc

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1、 2006 年高考试题辽宁卷理科数学试题一. 选择题(1) 设集合 A =1,2,则满足A B =1,2,3的集合 B 的个数是(A)1(B)3(C)4 (D)8(2) 设 f (x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A) f (x) f (-x) 是奇函数(B) f x f x 是奇函数( ) (- )(C) f (x) - f (-x)是偶函数f (x) + f (-x)是偶函数(D)(3) 给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线l 与同一平面所成的角相等,则,ll ,l1互相平行.122若直线l 是异面直线,则与,ll ,l

2、1都相交的两条直线是异面直线.122其中假命题的个数是(A)1(B)2(C)3 (D)4(4) 双曲线 x2- y = 4 的两条渐近线与直线 x = 3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等2式组是x - y 0x - y 0x + y 00 x 3x - y 0x + y 00 x 3x - y 0x + y 00 x 3(A) x+ y 0(B) (C) (D) 0 x 3(5) 设是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意a,b A a b A,则称 A 对运有 +算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是+(A)自然数集 (B)整数集(C)

3、有理数集 (D)无理数集DABCA, B,Ca,b,c所 对 边 的 长 分 别 为 设 向 量(6)的 三 内 角p = (a + c,b) , q = (b - a,c - a) ,若 p / q,则角C 的大小为ppp2p3(A)(B)(C)(D)632(7) 与方程 y(A) y= e - 2e +1(x 0) 的曲线关于直线 y = x 对称的曲线的方程为2xx= ln(1+ x)y = ln(1- x)(B)(C) y= -ln(1+x) (D) y = -ln(1- x) x2y2x2y2+=1(m 6) 与曲线+=1(5 m 0.24 64 6( - ) + ( - ) +.+

4、 ( - )5 75 45 75 7n n5 422lim= _(14)5 4( - ) + ( - ) +.+ ( - )n6 56 56 5n n22(15) 5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种.(以数作答)(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a ,则cos =_a三 解答题(17) (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) = sin x + 2sin x cos x + 3cos x ， x R.求:22(

5、I) 函数 f(x)的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数 f (x) 的单调增区间.(18) (本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD. E 、F 分别是 AB 、CD 的中点,将 ADE 沿 DE 折起,如图所示,记二面q(0 q p) . 角 A- DE -C的大小为/ ADE;(I) 证明 BF 平面(II)若 ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你的值结论,并求角q的余弦.BEAACBCFEFDD(19) (本小题满分 12 分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2 万元、1.18

6、万元、1.17 万1 1 1元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下6 2 3降的概率都是 p(0 p 1),设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目产品xx价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取 0、1、2 时, 一年后相应利润是x x1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年12后的利润.x xxx(I) 求 、 的概率分布和数学期望E 、 E ;1212(II) 当 Ex 0) 上的两个动点 , 是坐标O,11221 2 原 点 , 向 量 OA , OB 满

7、足 OA+ OB = OA-OB. 设 圆的 方 程 为Cx + y - (x + x )x - (y + y )y = 0221212(I) 证明线段AB 是圆 的直径;C(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时，求 P 的值。21（本小题满分12 分）1已知函数f(x)= ax3+ bx + cx + d2,其中a , b , c 是以d 为公差的等差数列，且32b为f (x)的极小值点，在1-,0 上， f (x)在x 处取得最大植，在a0,d0.设x0a1x 处取得最小值，将点（x , f (x ), (x , f (x ), (x , f (x , f (x

8、)依次记为A， B， C20011222(I)求x的值o(II)若ABC 有一边平行于 x 轴，且面积为2 + 322（本小题满分12 分），求a ,d 的值f (x)已 知 f(x) = xn ,( ) =f xk, 其 中k n(n,k N ), 设k-1(1)0f+k-1 ) , x -1,1 .F(x) = Cf (x0) + Cf (x1) +.+ Cf (xk) +.+ Cf (xn0212k2n2nnnn(I) 写出 f (1);k (II) 证明:对任意的x, x -1,1,恒有F(x ) - F(x ) 2 (n + 2)-n -1.n-112122006 年高考试题辽宁卷理

9、科数学试题 一. 选择题(2) 设集合 A =1,2,则满足A B =1,2,3的集合 B 的个数是（ ）(A)1(B)3(C)4 (D)8【解析】 A=1,2 A B =1,2,3， ，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合A =1,2的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有22 = 4 个。故选择答案 C。【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。(2) 设 f (x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A) f(x) f (-x)是奇函数 (B) f x f x 是奇函数( ) (- )(C) f (x) - f (-x)是偶函数

10、 (D)f (x) + f (-x)是偶函数【解析】A 中 F(x) = f (x) f (-x) F(-x) = f (-x) f (x) = F(x)则 ，即函数 F(x) = f (x) f (-x)为偶函数，B 中 F x f x f x ，F x f x f x 此( ) = ( ) (- ) (- ) = (- ) ( )时 F 与C 中 F(x) = f (x) - f (-x)F(x) = f (x) - f (-x) 为奇函数，D 中 F(x) = f (x) + f (-x) ，(x) F(-x)的关系不能确定，即函数F x f x f x 的奇偶性不确定，( ) = (

11、) (- )F(-x) = f (-x) - f (x) = -F(x)， 即 函 数F(-x) = f (-x) + f (x) = F(x) ，即函数 F(x) = f (x) + f (-x) 为偶函数，故选择答案 D。【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。(3) 给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线l 与同一平面所成的角相等,则,ll ,l1互相平行.122若直线l 是异面直线,则与,ll ,l1都相交的两条直线是异面直线.122其中假命题的个数是(A)1(B)2(C)3 (D)4【解析】利用特殊

12、图形正方体我们不难发现、均不正确，故选择答案D。【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。(4) 双曲线 x2- y = 4 的两条渐近线与直线 x = 3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等2式组是 x - y 0x - y 0x + y 00 x 3x - y 0x + y 00 x 3x - y 0x + y 00 x 3(A) x+ y 0(B) (C) (D) 0 x 3【解析】双曲线 x- y = 4 y = x ，与直线 x = 3围成一个三角形区的两条渐近线方程为22x - y 0+ y 0。域时有 x0 x

13、 3【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。(5) 设是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意a,b A a b A,则称 A 对运有 +算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是+(A)自然数集 (B)整数集(C)有理数集 (D)无理数集【解析】A 中 121 不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中 1 20.5 不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 中不满足条件，故选择答案 C。2 2 = 2不是无理数，即无理数集【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。(6) ABC 的 三 内

14、 角 A, B,Ca,b,c所 对 边 的 长 分 别 为设 向 量p = (a + c,b) , q = (b - a,c - a) ,若 p / q,则角C 的大小为ppp2p3(A)(B)(C)(D)632【 解 析 】 p/ q (a + c)(c - a) = b(b - a) b + a - c = ab， 利 用 余 弦 定 理 可 得2221p2cos C =1，即cosC = C =3 ，故选择答案 B。2【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。的曲线关于直线 y = x 对称的曲线的方程为(7) 与方程 y= e

15、 - 2e +1(x 0)2xx(A) y= ln(1+ x)y = ln(1- x)(B)(C) y= -ln(1+x) (D) y = -ln(1- x)【 解 析 】 y= e - 2e +1(x 0) (e -1) = y，x 0,e 1， 即 ：2xxx2xex =1+ y x = ln(1+ y) ，所以 f (x) = ln(1+ x) ，故选择答案 A。-1【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。同时还考查了转化能力。 x2y2x2y2+=1(m 6) 与曲线+=1(5 m 9) 的(8) 曲线10 - m 6 - m5- m 9 - m(A)焦距相等(B) 离心率

16、相等(C)焦点相同 (D)准线相同x2y2+=1(m 6) 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ， 由【 解 析 】 由10 - m 6 - mx2y2+=1(5 m 9) 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案 A。5- m 9 - m【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。 (9) 在等比数列 a 中, a= 2,前 项和为 ,若数列nSa +1也是等比数列,则 S 等于1nnnn2 - 23n2n3 -1(D) n(A)1(B)(C)n+ a +1【解析】因数列 a 为等比，则a= 2q，因

17、数列也是等比数列，n-1nnn(a +1) = (a +1)(a +1) a + 2a = a a + a + a a + a = 2a22+1则+1+2+1+2+2n+2n+1nnnnnn nnnn a (1+ q - 2q) = 0 q =12n即 a = 2 ，所以S = 2n ，故选择答案 C。nn【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。(10) 直线 y= 2k与曲线 k922+ =1822( ,且k 0)k R 的公共点的个数为xykx(A)1(B)2(C)3 (D)4= 2k代入 k9x+ =18ykx 得： k9x k k+ 4 =18x【解析】将 y2

18、2222222 9| x | -18 x + 4 = 0| |，显然该关于 x 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个，2故选择答案 D。【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。11,则 f (x) 的值域是(11)已知函数 f(x) = (sin x + cos x) - sin x - cos x222 -1,-2 2 -1,1- ,1-1,(A)(B) (C) (D) 22 2 cos x(sin x cos x)sin x(sin x 0.(g( ) = g(ln ) = eln1 = 111【解析】 g.2222

19、【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.4 64 64 6( - ) + ( - ) +.+ ( - )5 75 45 725 7n n5 42lim= _(14)5 4( - ) + ( - ) +.+ ( - )n6 54 66 526 5n n24 64 64 446 66( - ) + ( - ) +.+ ( - ) ( + +.+ ) - ( + +.+ )【解析】lim 5 75 7 5 7 5 5 7 757n422nn2n2=5 45 45 45 554 4( - ) + ( - ) +.+ ( - ) ( + +.+ ) -( + +.+ )n6 56 526 5n

20、6 665 55n2n2n2451611- ( ) 1-( ) nn5- 7711- 11-( ) - ( )111-( )5nnnn571= lim 5717= lim= lim= -15614151- ( ) 1-( ) ( ) -( )( ) -1nnnnnnn6- 5 1- 156561- 165 【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.(15) 5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种.(以数作答)C C A

21、 =12【解析】两老一新时, 有种排法;131222C C A = 36两新一老时, 有种排法,即共有 48 种排法.122333【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a ,则cos a =_【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点 的 三 个 相 互 垂 直 的 平 面 所 成 角 相 等 , 即 为 体 对 角 线 与 该 正 方 体 所 成 角 . 故26cos =a.3 3【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.三 解答题(

22、17) (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) = sin x + 2sin x cos x + 3cos x ， x R.求:22(I) 函数 f(x)的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；(II) 函数 f (x) 的单调增区间.【解析】(I) 解法一:1- cos 2x3(1+ cos 2x)pf (x) =+ sin 2x +=1+ sin 2x + cos 2x = 2 + 2 sin(2x + )224pp2 ,即p2x + = 2kp +x = kp + (k Z)时,f (x) 取得最大值2+ 2 .当48p(x)的取得最大值的自变量 x 的集合为x / x R, x =

23、 kp + (k Z)函数 f.8解法二:f (x) = (sin x + cos x) + 2sin xcos x + 2cos x = 2sin xcos x +1+ 2cos x = sin 2x + cos 2x + 22222p= 2 + 2 sin(2x + )4pp2 ,即p2x + = 2kp +x = kp + (k Z) f (x) 取得最大值2+ 2 .时,当48p(x)的取得最大值的自变量 x 的集合为x / x R, x = kp + (k Z)函数 f.8p(II)解: f(x) = 2 + 2 sin(2x + )4 ppp2kp - 2x + 2kp + (k

24、Z)由题意得:2423ppp- x k + k Z)p(即: k因此函数883ppf (x) 的单调增区间为k - ,kp + (k Z)p.88【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.(18) (本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD. E 、F 分别是 AB 、CD 的中点,将 ADE 沿 DE 折起,如图所示,记二面q(0 q p) . 角 A- DE -C的大小为ADE;(I) 证明 BF 平面/(II)若 ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你的结论,并求角q

25、 的余弦值.BEACFCEFDD【解析】(I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,EB/FD,且 EB=FD,四边形 EBFD 为平行四边形.BF/EDEF 平面AED,而BF 平面AED BF / 平面 ADE.(II)解法 1:如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD.DACD 为正三角形,AC=ADCG=GD G 在 CD 的垂直平分线上, 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH DE ,

26、所以AHD 为二面角A-DE-C 的平面角.AHG =q即设原正方体的边长为 2a,连结 AF3a ,EF=2AE=2a,在折后图的D AEF 中,AF=DAG EF = AE AF即 AEF 为直角三角形,3 AG =a2DAH DE = AE AD在 Rt ADE 中, AH = 2a5aGH =2 5GH 1cos =q.AH 4解法 2:点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AG EF ,垂足为G .DACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, AF CD又因 EF CD ,所以CD 平面AEFAG 平面AEF AG CD 又

27、AG EF 且CD EF F CD= , 平面,BCDE EF 平面BCDE AG 平面BCDEG 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH DE ,所以AHD 为二面角A-DE-C 的平面角.AHG =q即设原正方体的边长为 2a,连结 AF3a ,EF=2AE=2a,在折后图的D AEF 中,AF=DAG EF = AE AF即 AEF 为直角三角形,3 AG =a2 DAH DE = AE AD在 Rt ADE 中, AH = 2a5aGH =2 5GH 1cos =q.AH

28、4解法 3: 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AG EF ,垂足为G .DACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, AF CD又因 EF CD ,所以CD 平面AEFCD 平面BCDE平面AEF 平面BCDE平面AEF平面BCDE=EF,AG EF又 AG EF AG 平面BCDEG 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH DE ,所以AHD 为二面角A-DE-C 的平面角.AHG =q即设原正方体的边长为 2a,连

29、结 AF3a ,EF=2AE=2a,在折后图的D AEF 中,AF=DAG EF = AE AF即 AEF 为直角三角形,3 AG =a2DAH DE = AE AD在 Rt ADE 中, AH = 2a5aGH =,2 5 GH 1=cos =q.AH 4【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.(19) (本小题满分 12 分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2 万元、1.18 万元、1.17 万1 1 1元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下6 2 3降的概率都是 p(0 p 1

30、),设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目产品xx价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取 0、1、2 时, 一年后相应利润是x x1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年12后的利润.x xxx(I) 求 、 的概率分布和数学期望E 、 E ;1212(II) 当 Ex Exp时,求 的取值范围.12【解析】x1(I)解法 1:的概率分布为1.2 1.181.17161213P1 11xE =1.26 +1.18 2 +1.17 3 =1.18.1由题设得x B(2, p) x,则 的概率分布为012xP

31、(1- p) 2 (1- ) ppp22x故 的概率分布为21.31.250.2P(1- p) 2 (1- ) ppp22x所以 的数学期望为2x 1.3(1- ) 1.252 (1- ) 0.2 p - p - 0.1p +1.3.E =p +pp +2=222 x1解法 2:的概率分布为1.17161213P1 11xE =1.26 +1.18 2 +1.17 3 =1.18.1设 A 表示事件”第 i 次调整,价格下降”(i=1,2),则ix( ) ( ) (1 )P( =0)= P A P A= - p 2;12x( ) ( )+ P(A )P(A ) = 2 p(1- p)P( =1

32、)= P A P A;1212x( ) ( )P( =2)= P A P A= p212x故 的概率分布为21.31.250.2P(1- p) 2 (1- ) ppp22x所以 的数学期望为2x 1.3(1- ) 1.252 (1- ) 0.2p +p = p .- - 0.1 +1.3E =p +pp2222(II) 由 Ex 1.18 ( p + 0.4)( p - 0.3) 0 -0.4 p 0.32因 0p1,所以 Ex Ex时,p 的取值范围是 0p 0) 上的两个动点 , 是坐标O11221 2+ OB = OA-OB.设圆 的方程为Cx221212(I) 证明线段 AB 是圆C 的直径; 2 55(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时，求 p 的值。【解析】(I)证明 1: OA+ OB = OA-OB ,(OA+ OB) = (OA-OB)22OA2OA OB OB OA+ 2 +2=2OA OB OB- 2 +2整理得: OAO