2016理科数学全国卷1.doc

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1、 绝密启用前试卷类型：A2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试题卷共 5 页，24 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、

2、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合 A=x|x 4x+30，B=x|2x30，则 AB=23333 （A） -3，- （B）-3， （C）1，- （D） ，32222 【参考答案】D【解析】对于集合 A 所给出的二次方程的解为（1,3），对于集合3 3 + ， = ，3 B 的解为所以A B22 （2）设（1+i）x

3、=1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi|=（A）1 （B） 2 （C） 3【参考答案】B【解析】将左端展开为 x+xi，与右端比较，对应系数相等。所以x=1，y=1.所以|x+yi|= + = 2 .（D）2x2y2（3）已知等差数列a 的前 9 项的和为 27，a =8，则 a =n10100（A）100（B）99（C）98（D）97( )9 a + a【参考答案】C【解析】 S = 27 ，所以 a + a = 2a = 6 ，a =3，进而19529195 得到公差 d =1。则 a = a + 90d = 98 .51023（C）32121那么他等车不超过 10 分钟的概率也为

4、2x2y2（5）已知方程-m22（B） -1, 32c = 2 m + n +3m - n = 422半径。若该几何体的体积是3187328 38S4 （7）函数 y=2x e 在2，2的图像大致为2|x|( )除（A）、（C）；当 x+时， y = f x - ，排除（B）：所以选择（D）（8）若 ab1，0c1，则（A）a bc（B）ab ba （C）alog cblog c（D）log clog ccccbaab( )【参考答案】C【解析】对于选项（A），设函数 f x = x ，当0 c 1时，f(x)c( )单调递增，所以 a b ；对于选项（B），设函数 f x = x ，当0 c

5、 1时，f(x)ccc-1xln x( )单调递减，所以 a 1），c-1c-1cclnc1+ ln xlncaln a blnb( )则 f x =( )，显然 f x 0 恒成立，所以 f(x)单调递减，故有，lnclnc( )由对数换底变换可知，alog cblog c；对于选项（D），设函数 f x = log x ，当bac0 c - ，5 569综上可知 - ，所以只能有 k =0，解得 = ，所以 9 ，36242即 的最大值为 9.（注：以上 k 均满足 kZ）第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。a = (m,1) b = (1, 2) ，且，则m = _，（13

6、）设向量 2( )222【参考答案】2【解析】 a+ b = 1+ m + 9 a + b = m +1+1+ 4，2所以可解得 m=2（14）(2x + x)5的展开式中， x3 的系数是_（用数字填写答案）k5-k5- =3，所以 k=4，则 x【参考答案】10【解析】二项展开式T= C 2 x5-k，因为3k522k+1的系数为C45 2 =10 （15）设等比数列 a 满足a+ a =10 a + a = 5，则a a La的最大值为_n13241 2n【参考答案】64【解析】设数列a 首项为 a ，公比为 q，则 a +a q =10，a q+a q =5，两23n111112式相除

7、解得公比q= 1T = a a La = a q，代回原式解得 a =8.设( )= 2n n-1-n +7nn12221，n1 2n注意到 n 只能为正整数，所以当 n 取 3 或 4 时，T 取得最大值 64.n（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时. 生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元，该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条

8、件下，生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为_元【参考答案】216 000【解析】设生产 x kg 的产品 A，y kg 的产品 B，则有线性约束条件1.5x + 0.5y 150 x+ 0.3y 90，可设利润函数 z=2 100x+900y，在平面 Oxy 坐标系中画出相关区域，5x + 3y 600 x =60可得当 y =100时有最大利润为 216 000 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）DABC 的内角 A B C， ，a b c， ，2 cosC(acos B + bcos A) = c，已知的对边分别为（）求C3 3D

9、，求 ABC 的周长.（）若c= 7 D， ABC 的面积为2 【答案】（）C=600；（） S（18）（本小题满分 12 分）= 5+ 7DABC如图，在以 AB C D E F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF = 2FD， ， ， ， ，AFD = 90，且二面角 D - AF - E与二面角C - BE - F 都是 60（）证明：平面 ABEF 平面EFDC（）求二面角 E - BC - A 的余弦值2 1919cos= -【答案】（）证明略；（）（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时可以

10、额外购买这种零件作为备件，每个200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（）求 X 的分布列（）若要求 P(X n) 0.5，确定n 的最小值 （）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n选用哪个？=19 n = 20与之中选其一，应【答案】（）随机变量

11、X 的分布列XP161920210.08220.040.160.240.240.20.04（）n 的最小值为 19；（）选用 n=19 的方案（20）（本小题满分 12 分）设圆 x2+ y + 2x -15 = 02的圆心为 A，直线l 过点B(1,0 )且与 x 轴不重合，l 交圆 A于C ， D两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E（）证明： EA + EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程（）设点 E 的轨迹为曲线C ，直线l 交C 于 M ，N 两点，过 B 且与l 垂直的直线与圆 A11交于 P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围【答案】（）|EA|+|EB|

12、=4 为定值，点 E 的轨迹方程为x2y2( )+ =1 y 04 3（）12 S 8 3四边形MPNQ（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x) = (x - 2)e + a(x -1)有两个零点2x（）求a 的取值范围（）设 x ， x 是 f(x) 的两个零点，证明： x + x 0 ）. 在t在直角坐标系 xOy 中，曲线 c 的参数方程为1r cosqc=x以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ：2（）说明c 是哪种曲线，并将c 的方程化为极坐标方程；11q aatana = 2，其中 满足（）直线c 的极坐标方程为：=，若曲线c 与c 的公共点230001都在c 上，求a3 + 2sin +1- a = 0（）a=1【答案】（）22（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲f (x) = x +1 - 2x -3已知函数（）在答题卡第（24）题图中画出 y = f (x) 的图像（）求不等式 f (x) 1的解集1 ( ) ( )- ， 1,3 5，+ 【答案】（）图略（）3