2015年安徽高考理科数学试卷及答案.doc

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1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)参考公式:如果事件 A 与 B 互斥,那么 P(A+ B) = P(A) + P(B);11,其中 x= ( + + + )x x x .标准差: s= (x - x) + (x - x) + + (x - x)222n12n12nn一、选择题：本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。2i1.设 i 是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于（ ）1-i（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是（

2、）y = cosxy = sin xy = ln xy = x +1（A）【答案】A.（B）（C）（D）23.设 p:1 x 1,则 p 是 q 成立的（ ）x（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A.4.下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y = 2x 的是（ ）yx2y2x22x - =1- y =1- x =1y - =1（A）2（B）2（C）2（D）24444【答案】Ca5.已知 m , n 是两条不同直线, , b 是两个不同平面,则下列命题正确的是2（ ）21a ba b（A）若 , 垂直于同一平面,则 与 平行

3、（B）若 m , n 平行于同一平面,则 m 与n 平行1正(主)视图111侧(左)视图a bab（C）若 , 不平行,则在 内不存在与 平行的直线（D）若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面【答案】D186.若样本数据 ， x ， ， 的标准差为 ,则数据x x221210的标准差为（ ）2x -1 2x -1 2x -1,8, ,1210（A）（B）15（C）16（D）32俯视图【答案】C7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（ ）C（A）1+ 3【答案】B.（B）2 + 3（C）1+ 2 22 2（D）2a+bbDABC列结论正确的是（ ）2aAB =

4、 2 AC = 2 +8.是边长为 的等边三角形,已知向量 , 满足a ,a b ,则下b( )A2aB（A） b=1（B）a b（C）a b =14a -b BC（D）【答案】D.第 1 页 共 5 页 ( ) ax+b9.函数 f x=的图象如图所示,则下列结论成立的是（ ）( )2x + c（A） a 0 b 0 c 0,a 0 c 0（B） , ,a 0 b 0 c 0（D） , ,（C） a 0 c 0,【答案】C( )( )= Asin wx +j A10.已知函数 f x( , , 均为正的常数)的最小正周期为 ,当( )取得最小值,则下列结论正确的是（ ）f xw jp= 2

5、时,函数px-3x( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f 0 f 2 f -22 f -2 f 0（A） f（C） f（B）( ) ( ) ( )-2 f 0 f 2( ) ( ) ( )f 2 f 0 2 (4)a = 0,b = 2 (5)a =1,b = 2;.【答案】(1)(3)(4)(5)三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内3pDABC, AB = 6, AC = 3 2 ,点 D 在 BC 边上,AD BD=16. (本小题满分 12 分)在中, =,求 AD 的长.A42解:在DABC 中

6、, BC = AC + AB - 2AC AB cosA =18+ 36 - 23 2 6(- ) = 90 ,即BC = 3 10 ;22223 1010从而BC AB= BC2 + AB2 - 2 cos ,cos =;AC2BB3 10又AD BD=,所以cos = BD = 3,所以 AD = BD = 10 .BDB1017.(本小题满分 12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或 3 件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用

7、 100 元,设 表示直到检测出 2 件次品或 3 件正品时所需要的检测费用(单X位:元),求 的分布列和均值.X23 3=解:(1) P(第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品) =;54 10(2) 的可能取值为 200,300,400 = 200表示前 2 次取出的是次品;XX第 2 页 共 5 页 X = 300表示前 2 次取出的是 1 件次品和 1 件正品,第三次取出的是次品;或前 3 次取出的都是正品;X = 400表示前 3 次取出的是 1 件次品和 2 件正品,第四次取出的是 1 件次品;前 3 次取出的是 1 件次品和 2件正品,第四次取出的是 1 件正品.12C C +

8、 A32A6(X = 200) = A = , (22121333; ( = 400) =P XCC= .33A12423P X =300) =PA 101010A35255136E(X ) = 200 + 300 + 400 = 350.101010x 是曲线 y x=n+1x18.(本小题满分 12 分)设n N*,在点(1,2) 处的切线与 轴交点的横坐标.2n+2(1)求数列x 的通项公式;n,证明:T 1.(2)记T= x x x21232n2n-1n 4n = (2 + 2)=1 时 , y+1 在 点 (1, 2处) 的 切 线 为=解 :(1) ynx2n+1 , 当 x =

9、2 + 2n, 所 以 曲 线 y x2n+2n+1在点(1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标 x =+1 ;y - 2 = ( 2n + 2 )x( - ;因1 此曲线 y = x2n+2n n2n -12n(2n -1)2,令 f (n) = 4nT = 4nx x x ,则 f(2)由(1)知= ()2 =(n) 0 ;x2212324n2n2n-12n-1(n +1) 4( +1) x n xxxn +1 2n +1(4n + 4n +1f21222=)2 =1因为2n-12n+1f (n)4nx xn 2n + 24n+ 4n21222n-1A1(n) n N*在所以 fD1E1

10、1 .单调递增的,因此,所以( ) 1,即 f(n) f (1)= 4x = 4( ) =1212f nTB124nn19.(本小题满分 13 分)如图所示,在多面体中,四边形,A B D DCBA1AA B B1 1F11ADD A , ABCD 均为正方形 E B D, 为的中点,过 ,的平面交CD 于 .FAD, E111111A(1)证明: EF B C ;D1(2)求二面角 -E A D B1- 的余弦值.1BC(1)证明:因为,均为正方形,所以,因此四边形A B CD是 ,所A B CDAA B BABCD1B C1111 1以以;而 面,A DE A D1 面,所以,又因为过 ,

11、 , 平面交面于 EF ,所A D B CA DE1B C1 面A DEB C DA DE111EF B C11111.1(2) 取 B C 中点 M ,取 A D 中点 H ,连, HD ,则 HMCD,由四边形 AA B B ADD A , ABCD,均为HM1正方形知1CD A D HD A D1111 1,因此 A D 面MHD ,设面MHD 交于 N .连 HN ,则EF1111为二面角11A D HN, A D HM1由(1)知 EFMHN- - 的平面角.E A D B,所以A1111D1 b 0)( ,0),点O 为坐标原点,点 A的坐标为 a ,点20.(本小题满分 13 分

12、)设椭圆 E 的方程为a2 b2第 3 页 共 5 页 5的坐标为(0,b).B,点 在线段 上,满足| BM |= 2 | MA| ,直线OM 的斜率为ABM10(1)求 E 的离心率e ;(2)设点C 坐标为(0,-b) N7, 为线段AC中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ,求 E 的方程.2解:(1)由点 A的坐标为(a,0) B,点 的坐标为(0,b) M,点 在线段 AB 上,满足 ,| BM |= 2 | MA| BM = 2MA,知5 ,即 a = 5b ,由2a b5b( , )3 3=即点 M 分线段 BA 的比为 2,所以点 M;又直线 OM 的斜率为,所以

13、102a 10452 55a = b + c 得e2 =,e=.2225b -b, ) , 而 直 线 AB 的 方 程 为x y+ =1a ba b(2) 因 为 N 为 线 段 AC 中 点 , 所 以 ( ,- )即 (, 即NN2 22 2x + 5y = 5b ;2 5(5b - 5b - 5b)-b722而点 N 关于直线 AB 的对称点纵坐标为;又点 N 关于直线 AB 的对称点的-= b2667x y22= 2 ,因此, a = 5 = 2 5b+ =1为所求.纵坐标为 ,所以b,所以220 4(x) = x - ax + b .21. (本小题满分 13 分)设函数 f2p

14、p(1)讨论函数 f(sin x) (- , )在2 2 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;p p(2)记 f(x) = x - a x + b,求函数| f (sin x) - f (sin x) | - , 在上的最大值 D;22 20000a24 满足条件D 1时的最大值.(3)在(2)中.取 a= b = 0 z = b -,求00p p解: (1)令t= sin x, x(- , ),t (-1,1) f (x) = x - ax + b,开口向上,对称轴为x = a;22 22p pa -1 a -2f (sin x) (- , )在 内是单调递增的;1)当,即时,22

15、2af (sin x) t = a在a2- 1 -2 a 0 f (sin x) = cos x(2sin x - a) 0 sin x 所以,由得2 .aaa2- 1 -2 a 2f (sin x) sin x =在f (sin x) = - + b极小1)当,即时,函数2 处取得极小值,;24p p2)当 a3)当 a -2 f (sin x) (- , )时,在内是单调递增的;2 2p p 2 f (sin x) (- , )时,在内是单调递减的;2 2第 4 页 共 5 页 p p= sin x, x- , ,t -1,12 2(2) 令t,| f (sin x) - f (sin x

16、) |=| f (t) - f (t) |=| -(a - a )t + b -b |=| (a - a )t -(b -b ) |,000000p ppp| f (sin x) - f (sin x) |所以因为在- , 上的最大值 = max| ( - ) -( - ) |,| ( - )(- ) -( - ) |Da ab ba ab b2 22200000pp| (a - a )- (b -b ) | - | (a - a )(- ) - (b -b ) | = -2p(a - a b -b)()2222000000a aa a a aa app时 =| (a - a ) - (b -

17、b ) |.D所以当或时, =| ( - ) + ( - ) |;当D a a b b或0000b b2b b2b b00000000ppapap(3)在(2)中, a= b = 0时, D= max| a - |,| (- ) - | = max|b ab222200ppa 0;所以当b 0 b 0 0| a -b | - | a +b | = -2abpapapa或时, D =|-b | ;当或22222b 02a 0a 0a 0 a 0ap因此,当 或 时, 由 D=| -b |1;当或 时.b 0 b 02b 0 b 02= b - aapap24 与直线 2 -b = -1或+ b =1b如图,当 z相切时, 最大,z265 z=b-aapa2+1= b= -a - 2 a + 4z - 4 = 02 p,所以把代入 z b4 得4242 +b=-1+ 4p 2z = b - a24 - 4(4z - 4) = 0 z =3p得,因此4 满足条件242+ 4p 22 1 2最大值为.a41234O1234第 5 页 共 5 页