第1节特征值与特征向量相似矩阵精.ppt

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1、第1节特征值与特征向量相似矩阵1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵第1页，本讲稿共16页1 1 1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵一、一、特征值与特征向量特征值与特征向量 二、相似矩阵二、相似矩阵1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵 第2页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 定义定义定义定义

2、1 1：列向量，使得则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零A的属于特征值 的一个特征向量.注：存在非零向量存在非零向量存在非零向量存在非零向量 使使使使 第3页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵设 是一个未知量，矩阵称为A的定义定义2:2:特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式 特征方程，其根称为特征方程，其根称为A的特征根，即的特征根，即A的特征值的特征值.称为A的特征多项式.方程 称为A的注注.n阶方阵阶方阵A在复数范围内有在复数范围内有n个特征值个

3、特征值.第4页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵（1 1）若 是A的属于特征值的特征向量，则也是A的属于的特征向量.（3）特征向量不是被特征值所唯一确定的特征向量不是被特征值所唯一确定的.（4）特征值是被特征向量所唯一确定的特征值是被特征向量所唯一确定的.（一个（一个 特征值可以有多个特征向量）特征值可以有多个特征向量）（一个特征向量只能属于一个特征值）（一个特征向量只能属于一个特征值）（2 2）也是A的属于的特征向量.若 是A的属于特征值的特征向量，则 不全为零第5页，本讲稿共16页1 1 特征值与

4、特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤ii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量.并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值全部特征值.i)求A的特征多项式 的全部根，它们就是A的第6页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵例1.求矩阵 的特征值与特征向量.例2.求矩阵 的特征值与特征向量.例

5、3.求矩阵 的特征值与特征向量.例题例题第7页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵性质性质性质性质1 1：n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A与它的转置矩阵与它的转置矩阵 的特征值相同的特征值相同.性质性质性质性质3 3：已知为已知为n阶矩阵阶矩阵A的一个特征值，则的一个特征值，则（1）必有一个特征值为;（2）必有一个特征值为;主要性质主要性质 A的全体特征值的和的全体特征值的和 A的的全体特征值的积全体特征值的积性性性性质质质质2 2：设设设设n n阶阶阶阶矩矩矩矩阵阵阵阵 ，则则第8页，本讲稿共16页1

6、 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵（3）必有一个特征值为;（4）A可逆时，必有一个特征值为;（5）A可逆时，必有一个特征值为；（6）多项式 必有一个特征值为.例4.设3阶矩阵A满足 ，则A的特征值只能是只能是1或或2.第9页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵 例例例例6 6.已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为：的特征值为：1，2，3，求求行列式 .例例例例7 7.已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为：的特征值为：1，1，2，求求

7、行列式 .例例例例5 5：已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为：的特征值为：1，1，2，则矩阵的特征值为：，行列式.第10页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵定理定理定理定理1.1.设设 是是A的属于不同特征值的属于不同特征值 的特征的特征向量，则 线性无关.特征值 的特征向量，则 定理定理定理定理2.2.设设 是是 阶矩阵阶矩阵A的属于互不相同的的属于互不相同的线性无关线性无关.（属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关.）第11页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相

8、似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵值，是A的属于特征值 定理定理定理定理3.3.设设 是是 阶矩阵阶矩阵A的互不相同的特征的互不相同的特征的线性无关特征向量，则向量组的线性无关特征向量，则向量组线性无关线性无关线性无关线性无关.（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，合在一起仍为线性无关）合在一起仍为线性无关）.例例例例8.8.设设 是是A的属于不同特征值的属于不同特征值 的特征向量的特征向量则 不是A的特征向量.第12页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、

9、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵二、相似矩阵1 1定义定义定义定义设设A，B为两个为两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得使得 则称矩阵则称矩阵A相似于相似于B，P称为相似变换矩阵称为相似变换矩阵.2 2基本性质基本性质基本性质基本性质（1）相似矩阵的转置矩阵也相似相似矩阵的转置矩阵也相似.（2）相似矩阵的幂矩阵也相似相似矩阵的幂矩阵也相似.第13页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵（3）相似矩阵的多项式也相似相似矩阵的多项式也相似.（4）相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等.（5）

10、相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等.（6）相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其 逆矩阵也逆矩阵也相似相似.定理定理3.相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.第14页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵推论.设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则 就是A的n个特征值.注注.若矩阵若矩阵A A与对角矩阵相似，则可方便求出与对角矩阵相似，则可方便求出A的幂的幂 及A的多项式.第15页，本讲稿共16页1 1 特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵特征值与特征向量、相似矩阵作业作业作业2：习题3作业1：习题1，（3）作业3：习题4第16页，本讲稿共16页