第2章 数学矩阵精.ppt

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1、第2章 数学矩阵第1页，本讲稿共50页2.1.1 2.1.1 引出导数概念的实例引出导数概念的实例例例1 1 平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 曲线曲线 的图像如图所示的图像如图所示,在曲线上任取两点在曲线上任取两点 和和 ，作割线作割线 ，割线的斜率为，割线的斜率为2.1 2.1 导数的概念导数的概念第2页，本讲稿共50页这里这里 为割线为割线MN的倾角，设的倾角，设 是切线是切线MT的倾角，的倾角，当当 时，时，点点N沿曲线趋于点沿曲线趋于点M。若上式的若上式的极限存在，记为极限存在，记为k，则此极限值，则此极限值k就是所求切线就是所求切线MT的斜率，即的斜率，即第3页，本讲稿共50页

2、当当 趋向于趋向于0 0时，如果极限时，如果极限设某产品的总成本设某产品的总成本C是产量是产量Q的函数，即的函数，即C=C(Q)，当产当产量量Q 从从 变到变到 时时，总成本相应地改变量为总成本相应地改变量为 当产量从当产量从 变到变到 时时，总成本的平均变化率总成本的平均变化率存在，则称此极限是产量为存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。时总成本的变化率。例2 产品总成本的变化率第4页，本讲稿共50页定义定义 设设y=f(x)在点在点x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，属于该邻域，记属于该邻域，记 若若存在，则称其极限值为存在，则称其极限值为y=f(x)在点在点x0 处的导数，记为

3、处的导数，记为或或2.1.2 导数的概念第5页，本讲稿共50页导数定义与下面的形式等价：导数定义与下面的形式等价：若若y=f(x)在在x=x0 的导数存在，则称的导数存在，则称y=f(x)在点在点x0 处可导，反之称处可导，反之称y=f(x)在在x=x0 不可导，此时意不可导，此时意味着不存在味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化了函数在一点处变化(增大或减小增大或减小)的快慢的快慢.第6页，本讲稿共50页三、左导数与右导数三、左导数与右导数 左导数左导数

4、:右导数右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理定理3.1 y=f(x)在在x=x0可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是y=f(x)在在x=x0 的左、右导数存在且相等的左、右导数存在且相等.第7页，本讲稿共50页三、导数的几何意义三、导数的几何意义 当自变量当自变量 从变化到从变化到 时，曲线时，曲线y=f(x)上上的点由的点由 变到变到此时此时 为割线两端点为割线两端点M0，M的横坐标之差，而的横坐标之差，而 则为则为M0，M 的纵坐标之差，的纵坐标之差，所以所以 即为过即为过M0，M两点的两点的割线的斜率割线的斜率.M0M第8页，本讲稿共5

5、0页 曲线曲线y=f(x)在点在点M0处的切线即为割线处的切线即为割线M0M当当M沿沿曲曲线线y=f(x)无限接近无限接近 时的极限位置时的极限位置M0P，因而当因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：即：所以，导数所以，导数 的几何意义是的几何意义是曲线曲线y=f(x)在点在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率处的切线斜率.M0M第9页，本讲稿共50页 设函数设函数y=f(x)在点处可导，则曲线在点处可导，则曲线y=f(x)在点在点处的切线方程为：处的切线方程为：而当而当 时时,曲线曲线 在在 的切线方程为的切线方程为(即法线平行y轴).当 时,曲线

6、 在 的法线方程为而当 时,曲线 在 的法线方程为第10页，本讲稿共50页例例3 3 求函数求函数 的导数的导数解解:(1):(1)求增量求增量:(2)(2)算比值算比值:(3)(3)取极限取极限:同理可得同理可得:特别地特别地,.,.第11页，本讲稿共50页例例4 4 求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法线方程处的切线与法线方程.解解:因为因为 ,由导数几何意义由导数几何意义,曲线曲线 在点在点 的切线与法线的斜率分别为的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为:即即法线方程为法线方程为:即第12页，本讲稿共50页2.1.4 可导性与连续性的关系定理定理2 若函数若函

7、数y=f(x)在点在点x0处可导，处可导，则则f(x)在点在点x0 处连续处连续.证证 因为因为f(x)在点在点x0处可导，故有处可导，故有根据函数极限与无穷小的关系根据函数极限与无穷小的关系,可得可得:两端乘以两端乘以 得得:由此可见由此可见:即函数即函数y=f(x)在点在点x0 处连续处连续.证毕证毕.第13页，本讲稿共50页例例5 证明函数证明函数 在在x=0处连续但不可导处连续但不可导.证证 因为因为所以所以 在在x=0=0连续连续而而即函数即函数 在在x=0处左右导数不相等处左右导数不相等,从而在从而在 x=0不可导不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可由此可见，函数在某点连

8、续是函数在该点可导的必要导的必要条件，但不是充分条件条件，但不是充分条件即可导定连续即可导定连续,连续不一定可导连续不一定可导.第14页，本讲稿共50页 设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理一2.2.1 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则2.2 导数的运算特别地特别地,如果如果可得公式可得公式第15页，本讲稿共50页注：法则（注：法则（1）（）（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数的情形多个可导函数的情形例：例：设设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，则可导，则第16页，本讲稿共50页解：例例2 设设解：例

9、1第17页，本讲稿共50页解：解：即 类似可得例例3 求求y=tanx 的导数的导数第18页，本讲稿共50页解：即类似可得例例4 求求 y=secx 的导数的导数第19页，本讲稿共50页基本导数公式表基本导数公式表2.2.2 基本初等函数的导数基本初等函数的导数第20页，本讲稿共50页第21页，本讲稿共50页解：例5第22页，本讲稿共50页 定理二如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数在x处可导，且有或对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：2.2.3 复合函数的导数复合函数的导数第23页，本讲稿共50页例7解：解：例6第24页，本讲稿共50页定理

10、三如果单调连续函数在某区间内可导，则它的反函数y=f(x)在对应的区间内可导，且有或证 因为 的反函数 上式两边对x求导得或或2.2.4 反函数的求导法则反函数的求导法则第25页，本讲稿共50页解：y=arcsinx 是x=siny 的反函数因此在对应的区间（因此在对应的区间（-1，1）内有）内有即同理求函数y=arcsinx 的导数例8 第26页，本讲稿共50页1.隐函数的导数隐函数的导数例例9 求方程求方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数解：解：方程两端对方程两端对x求导得求导得2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由隐函数即是由

11、所确定的函数，其求导方法就是把所确定的函数，其求导方法就是把y看成看成x的函数，方程两端同时对的函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出 。即即第27页，本讲稿共50页例10解：两边对x求导得第28页，本讲稿共50页解一例11第29页，本讲稿共50页两边对两边对x求导，由链导法有求导，由链导法有 解二称为解二称为对数求导法对数求导法，可用来求幂指函数和多个因，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：注：解二第30页，本讲稿共50页解：将函数取自然对数得两边对两边对x求导得求导得例12第31页，本讲

12、稿共50页且设均可导,具有单值连续反函数，则参数方程确定的函数可看成与复合而成的函数，根据求导法则有：求得y对x的导数对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接此即参数方程所确定函数的此即参数方程所确定函数的求导公式求导公式2.参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数变量变量y与与x之间的函数关系有时是由参数方程之间的函数关系有时是由参数方程确定的，其中确定的，其中t 称为参数称为参数第32页，本讲稿共50页 解：曲线上对应t=1的点（x,y)为（0,0）,曲线曲线t=1在处的切线斜率为在处的切线斜率为于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为 y=x求曲线在t=1处的切

13、线方程例13第33页，本讲稿共50页即或记作或二阶导数：如果函数f(x)的导函数仍是x的可导函数，就称的导数为f(x)的二阶导数，n阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导2.2.6 高阶导数高阶导数第34页，本讲稿共50页解：特别地例15解：即同理例14第35页，本讲稿共50页解如图，正方形金属片的面积 A 与边长 x 的函数关系为A=x2,受热后当边长由x0伸长到x0+时,面积A相应的增量为2.3.1 微分的概念微分的概念例1 设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了

14、多少？2.3 微分第36页，本讲稿共50页的线性函数从上式可以看出，这表明这部分就是面积的增量的主要部分（线性主部）所以上式可写成第37页，本讲稿共50页 可以表示为定义 设函数在点的某邻域内有定义，处的增量在点如果函数于是,（2.3.1)式可写成处的微分，可微，称为在点处在点高阶的无穷小，则称函数时其中A是与无关的常数，是当比记为第38页，本讲稿共50页由微分定义，函数f(x)在点x0处可微与可导等价，且,因而在点 x0处的微分可写成于是函数通常把记为，称自变量的微分，上式两端同除以自变量的微分，得因此导数也称为微商可微函数：如果函数在区间(a,b)内每一点都可微，则称该函数在(a,b)内可

15、微。f(x)在点x0 处的微分又可写成d xf(x)在(a,b)内任一点x处的微分记为第39页，本讲稿共50页解：例2 求函数 y=x2 在 x=1,时的改变量和微分。于是 面积的微分为 解：面积的增量面积的增量与微分当半径增大例3 半径为r 的圆的面积时，求在点处，第40页，本讲稿共50页2.3.2 微分的几何意义微分的几何意义当自变量x有增量时，切线MT 的纵坐标相应地有增量因此，微分几何上表示当x有增量时，曲线 在对应点处的切线的纵坐标的增量 用近似代替就是用QP近似代替QN，并且设函数y=f(x)的图形如下图所示.过曲线y=f(x)上一点M(x,y)处作切线MT,设MT的倾角为第41页

16、，本讲稿共50页2.3.3 微分的运算法则1.微分的基本公式：微分的基本公式：第42页，本讲稿共50页续前表续前表第43页，本讲稿共50页2.2.微分的四则运算法则微分的四则运算法则设设u=u(x)，v=v(x)均可微均可微，则，则 （C 为常数）；第44页，本讲稿共50页3复合函数的微分法则复合函数的微分法则都是可导函数，则设函数的微分为复合函数 利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分函数的微分.这就是一阶微分形式不变性.可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有而第45页，本讲稿共50页解：解：对方程两边求导，得的导数与微

17、分例5 求由方程所确定的隐函数即导数为 微分为 例4 第46页，本讲稿共50页 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学容称为微分学第47页，本讲稿共50页2.3.4 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用或写成（1）上式中令上式中令（2），则特别地,当x0=0，很小时,有（3）公式公式(1)(2)(3)可用来求函数可用来求函数f(x)的近似值。的近似值。，且很小时，我们有近似公式在 x0 点的导数由微分的定义可知，当函数第48页，本讲稿共50页注：在求的近似值时，要选择适当的，使，容易求得，且较小应用（3）式可以推得一些常用的近似公式,当很小时,有(1)（用弧度作单位）(3)(4)(5)(2)(用弧度作单位）第49页，本讲稿共50页例6则解:设取，于是由（2）式得即第50页，本讲稿共50页