线性代数方程组的解法课件.ppt
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1、关于线性代数方程组的解法现在学习的是第1页,共26页5 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数一、一、向量范数(向量范数(/*Vector Norm*/)设设 是是 的一个映射,若对的一个映射,若对存在唯一实数存在唯一实数 与之对应,且满足与之对应,且满足非负性:非负性:齐次性:齐次性:三角不等性:三角不等性:且且则称则称 为为 中向量中向量 的的范数范数。非负实值非负实值函数函数 称为称为赋范赋范线性空间线性空间现在学习的是第2页,共26页 常用的几种常用的几种向量范数:向量范数:设设 1-范数:范数:2-范数:范数:-范数:范数:上述上述3种向量范数统称为种向量范数统称为P-范数范数(或者或者H
2、older范数范数)现在学习的是第3页,共26页例例1 1:设设 是是n阶实对称阶实对称正定正定矩阵,则矩阵,则是是 中的一种向量范数。中的一种向量范数。证明:证明:只需验证范数的只需验证范数的3个条件成立即可。个条件成立即可。非负性非负性:齐次性齐次性:三角不等性:三角不等性:存在非奇异存在非奇异下三角下三角阵阵现在学习的是第4页,共26页 向量范数的性质:向量范数的性质:性质性质1证明:证明:同理同理性质性质2的所有向量范数是的所有向量范数是彼此等价彼此等价的。的。现在学习的是第5页,共26页(等价性(等价性/*Equivalence Property*/)设设 和和 是是 上定义的两种范
3、数,如果存在上定义的两种范数,如果存在正数正数满足满足则称则称 和和 是是 上等价的向量范数。上等价的向量范数。这个性质说明,这个性质说明,中的一切范数都是等价的。中的一切范数都是等价的。现在学习的是第6页,共26页等价性质举例:等价性质举例:现在学习的是第7页,共26页二、二、矩阵范数(矩阵范数(/*Matrix Norm*/)非负性:非负性:齐次性:齐次性:三角不等性:三角不等性:且且则称则称 为为 中矩阵中矩阵 的的范数范数。赋范赋范线性空间线性空间设设 是是 的一个映射,若对的一个映射,若对存在唯一实数存在唯一实数 与之对应,且满足与之对应,且满足现在学习的是第8页,共26页其中其中称
4、之为矩阵称之为矩阵 的的迹迹是是 的的特征值特征值设设 是是 上的范数,上的范数,是是 上的范数上的范数如果对如果对 满足满足则称上述矩阵范数与向量范数则称上述矩阵范数与向量范数相容相容。Def4Def4现在学习的是第9页,共26页从属性从属性(/*Subordination*/)设矩阵范数设矩阵范数 与向量范数与向量范数 相容相容,且对每一个,且对每一个都存在一个都存在一个非零向量非零向量 满足满足则称则称 是是从属于从属于向量范数向量范数 的矩阵范数。的矩阵范数。以后若不特别声明,所用范数均满足以后若不特别声明,所用范数均满足相容性相容性和和从属性从属性现在学习的是第10页,共26页对于对
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