绝对值三角不等式及其应用讲稿.ppt

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1、关于绝对值三角不等式及其应用第一页，讲稿共二十页哦关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A A到原点到原点O O的距离的距离.|a|AaOx|a|=一、复习回顾一、复习回顾几何意义几何意义:绝对值的性质绝对值的性质:第二页，讲稿共二十页哦第三页，讲稿共二十页哦证明证明:1:10.0.当当ab00时时,2 20 0.当当ab00时时,综合综合1 10 0,2,20 0知定理成立知定理成立.第四页，讲稿共二十页哦第五页，讲稿共二十页哦探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？|a-b|a|

2、+|b|,|a-b|a|+|b|,|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a-b|.|a|-|b|a-b|.如果a,b是实数，那么|a|-|b|ab|a|+|b|a|-|b|ab|a|+|b|什么时候等号成立？什么时候等号成立？第六页，讲稿共二十页哦定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|a-c|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)0(a-b)(

3、b-c)0时，等号成立。时，等号成立。第七页，讲稿共二十页哦 绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式的应用第八页，讲稿共二十页哦证证:证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.所以所以|2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|5.第九页，讲稿共二十页哦例例2:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工施工,这两个地点分别位于公路路牌的第这两个地点分别位于公路路牌的第10km和和第第20km处处.现要在公路沿线建两

4、个施工队的共同现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程要使两个施工队每天往返的路程之和最小之和最小,生活区应该建于何处生活区应该建于何处?第十页，讲稿共二十页哦分析分析:如果生活区建于公路路碑的第如果生活区建于公路路碑的第x km处处,两个施工两个施工队每天往返的路程之和为队每天往返的路程之和为S(x)km.那么那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题转化为数学问题故实际问题转化为数学问题:当当x取何值时取何值时,函数函数S(x)=2(|x-10|

5、+|x-20|)取得最小值取得最小值.解解:设生活区应该建于公路路碑的第设生活区应该建于公路路碑的第x km处处,两个施工两个施工队每天往返的路程之和为队每天往返的路程之和为S(x)km,则则:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)第十一页，讲稿共二十页哦S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我们先来考察它的图像我们先来考察它的图像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS10 20 30204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x0 x 10201020第十二页，讲稿共二十页哦S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-1

6、0|+|20-x|(x-10)+(20-x)|=10当且仅当当且仅当(x-10)(20-x)0时时取等号取等号.又解不等式又解不等式:(x-10)(20-x)0 得得:10 x 20故当故当10 x 20时时,函数函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最取最小值小值20.OxS10 20 30204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)第十三页，讲稿共二十页哦 已知二次函数已知二次函数f f(x x)=)=x x2 2+axax+b b(a a，b bR R）的）的 定义域为定义域为-1-1，1 1，且，且|f f(x x)|)|的最大值为的最大值为M M.(1)(1)证明

7、证明：|1+|1+b b|M M;(2)(2)当当 时，试求出时，试求出f f（x x）的解析式）的解析式.由由|f f(x x)|)|在在-1-1，1 1上的最大值为上的最大值为M M 建立不等式建立不等式M M|f f（1 1）|，M M|f f（0 0）|，M M|f f（-1-1）|是解决问题的关键是解决问题的关键.第十四页，讲稿共二十页哦（1 1）证明证明 M M|f f（-1-1）|=|1-|=|1-a a+b b|，M M|f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+b b|，2 2M M|1-|1-a a+b b|+|1+|+|1+a a+b b|（1-1-a a+b b）+（

8、1+1+a a+b b）|=2|1+|=2|1+b b|，M M|1+|1+b b|.|.（2 2）证明证明 依题意，依题意，M M|f f（-1-1）|，M M|f f（0 0）|，M M|f f（1 1）|，又又f f（-1-1）=|1-=|1-a a+b b|，|f f（1 1）|=|1+|=|1+a a+b b|，|f f（0 0）|=|=|b b|，4 4M M|f f（-1-1）|+2|+2|f f（0 0）|+|+|f f（1 1）|=|1-=|1-a a+b b|+2|+2|b b|+|1+|+|1+a a+b b|（1-1-a a+b b）-2-2b b+（1+1+a a+b

9、 b）|=2|=2，第十五页，讲稿共二十页哦（3 3）解解第十六页，讲稿共二十页哦 证明含有绝对值的不等式，其思路有证明含有绝对值的不等式，其思路有两种：（两种：（1 1）恰当运用）恰当运用|a a|-|-|b b|a ab b|a a|+|+|b b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；（件；（2 2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含）把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法进行证明进行证明.第十七页，讲稿共二十页哦 例例4 4 设设f f(x x)=)

10、=axax2 2+bxbx+c c，当，当|x x|1|1时，总有时，总有|f f(x x)|1,)|1,求证：求证：|f f（2 2）|8.|8.证明证明 方法一方法一 当当|x x|1|1时时,|,|f f（x x）|1|1，|f f（0 0）|1|1，即，即|c c|1.|1.又又|f f（1 1）|1|1，|f f（-1-1）|1|1，|a a+b b+c c|1|1，|a a-b b+c c|1.|1.又又|a a+b b+c c|+|+|a a-b b+c c|+2|+2|c c|a a+b b+c c+a a-b b+c c-2-2c c|=|2|=|2a a|，且且|a a+b

11、 b+c c|+|+|a a-b b+c c|+2|+2|c c|4|4，|a a|2.|2.第十八页，讲稿共二十页哦|2|2b b|=|=|a a+b b+c c-（a a-b b+c c）|a a+b b+c c|+|+|a a-b b+c c|2|2，|b b|1|1，|f f（2 2）|=|4|=|4a a+2+2b b+c c|=|=|f f（1 1）+3+3a a+b b|f f（1 1）|+3|+3|a a|+|+|b b|1+6+1=8|1+6+1=8，即即|f f（2 2）|8.|8.方法二方法二 当当|x x|1|1时，时，|f f（x x）|1|1，|f f（0 0）|1|1，|f f（1 1）|11，|f f（-1-1）|1.|1.由由f f（1 1）=a a+b b+c c，f f（-1-1）=a a-b b+c c，f f（0 0）=c c知知第十九页，讲稿共二十页哦感感谢谢大大家家观观看看第二十页，讲稿共二十页哦