经典高等数学幂级数课件.ppt

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1、1第1页，此课件共27页哦2.2.正项级数的审敛法正项级数的审敛法正项级数的审敛法正项级数的审敛法(2)比值法比值法(1)比较法比较法(3)(3)根值法根值法设设和和均为均为正项级数正项级数.(常数常数 k 0)；若若大大的收敛，的收敛，则则小小的也收敛；的也收敛；若若小小的发散，的发散，则则大大的也发散的也发散.1)当当2)当当时时,收敛收敛;或或时时,发散发散.3.交错级数的审敛法交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法)(i)(ii)2第2页，此课件共27页哦第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂

2、级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 3第3页，此课件共27页哦一、一、函数项级数的概念函数项级数的概念1.定义定义：为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数.记为记为记为记为即即即即例如：例如：例如：例如：级数级数级数级数级数级数定义在定义在 的级数的级数4第4页，此课件共27页哦对对若常数项级数若常数项级数敛点敛点,所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数若常数项级数收敛收敛,发散发散,所有所有为其为其收收 为其为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:例如例如例如例如 级数

3、级数级数级数收敛域收敛域为为(1,1);1,1);发散域发散域为为注意：注意：函数项函数项级数在级数在某点某点x的的收敛问题收敛问题,实质上是实质上是数项数项级数级数的收敛问题的收敛问题.5第5页，此课件共27页哦为为级数的和函数级数的和函数,并写成并写成若用若用则余项则余项则在收敛域上有则在收敛域上有表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和,即即在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 称它称它3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)如如:6第6页，此课件共27页哦二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为幂级

4、数幂级数,其中数列其中数列下面着重讨论下面着重讨论例如例如,幂级数幂级数为幂级数的为幂级数的系数系数.即是此种情形即是此种情形.的情形的情形,即即称称 1.定义定义：7第7页，此课件共27页哦2.幂级数收敛域的结构：幂级数收敛域的结构：显然，显然，当当x x=0=0 时，时，时，时，收敛收敛收敛收敛.例如例如例如例如 级数级数级数级数当当时，时，收敛；收敛；当当时，时，发散；发散；收敛域收敛域为为发散域发散域发散域发散域为为时，有和函数时，有和函数 由此看出由此看出:它的收敛域是以原点为中心的对称区间它的收敛域是以原点为中心的对称区间.这个结论对于一般的幂级数也成立吗？这个结论对于一般的幂级数

5、也成立吗？.8第8页，此课件共27页哦定理定理1 1(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理定理定理)(1)(1)如果级数如果级数如果级数如果级数在在在在处处收敛，收敛，则它在满则它在满 足不等式足不等式的一切的一切的一切的一切x x处处处处绝对收敛绝对收敛.(2)(2)如果级数如果级数如果级数如果级数在在在在处处处处发散，发散，发散，发散，则它在满足不等式则它在满足不等式则它在满足不等式则它在满足不等式的一切的一切的一切的一切x处处处处发散发散.简记简记:收敛收敛发散发散发散发散9第9页，此课件共27页哦阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家挪威数学家,近代数学发展的先驱者近代数学发展的先驱者.

6、他在他在22岁时就解决了用根式解岁时就解决了用根式解5 次方程次方程的不可能性问题的不可能性问题,他还研究了更广的一他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群并称之为阿贝尔群.在级数研究中在级数研究中,他得他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路拓了道路.数学家们工作数学家们工作150年年.类代数方程类代数方程,他是椭圆函数他是椭圆函数C.埃尔米特曾说埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群后人发现这是一类交换群,10第10页，此课件

7、共27页哦定理定理1(阿贝尔阿贝尔阿贝尔阿贝尔AbelAbel定理定理定理定理)(1)(1)如果级数如果级数在在在在处处处处收敛，收敛，收敛，收敛，则它在满则它在满足不等式足不等式足不等式足不等式的一切的一切的一切的一切x处处处处绝对收敛绝对收敛.(2)如果级数如果级数如果级数如果级数在在处处处处发散，发散，则它在满足不等式则它在满足不等式则它在满足不等式则它在满足不等式的一切的一切的一切的一切x x处处发散发散.简记简记:绝对收敛绝对收敛发散发散发散发散11第11页，此课件共27页哦证证:设设收敛收敛,则必有则必有于是存在于是存在常数常数 M 0,使使当当 时时,收敛收敛,故原幂级数绝对收敛

8、故原幂级数绝对收敛.也收敛也收敛,如果级数如果级数在在处处收敛，收敛，则它在满则它在满足不等式足不等式的一切的一切x处处绝对收敛绝对收敛.12第12页，此课件共27页哦反之反之,若当若当时该幂级数发散时该幂级数发散,下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点满足不等式满足不等式所以若当所以若当满足满足且使级数且使级数收敛收敛,面的证明可知面的证明可知,级数在点级数在点故假设不真故假设不真.的的 x,原幂级数也原幂级数也发散发散.时幂级数发散时幂级数发散,则对一切则对一切则由前则由前也应收敛也应收敛,与所设矛盾与所设矛盾,证毕证毕如果级数如果级数在在处处发散，发散，则它在满足不等式则

9、它在满足不等式的一切的一切x处处发散发散.如果级数如果级数在在处处处处收敛，收敛，收敛，收敛，则它在满则它在满足不等式足不等式的一切的一切x x处处绝对收敛绝对收敛.13第13页，此课件共27页哦几何说明几何说明:绝对收敛绝对收敛发散发散发散发散发散发散说明说明:因此因此,阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征14第14页，此课件共27页哦推论推论:不是仅在不是仅在x=0=0一点收敛，一点收敛，也也不是在不是在不是在不是在整个数轴上都收敛，整个数轴上都收敛，则必有一个完全则必有一个完全则必有一个完全则必有一个完全确定的正数确定的正数确定的正数确定的正数R R存

10、存存存在，在，在，在，它具有下列性质：它具有下列性质：它具有下列性质：它具有下列性质：如果幂级数如果幂级数幂级数幂级数幂级数幂级数绝对收敛；绝对收敛；绝对收敛；绝对收敛；当当时，时，幂级数幂级数发散；发散；当当时，时，当当x=R与与x=R时，时，幂级数幂级数可能收敛可能收敛可能收敛可能收敛也也可能发散可能发散.绝对收敛绝对收敛发散发散发散发散发散发散发散发散15第15页，此课件共27页哦定义定义定义定义:正数正数正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.绝对收敛绝对收敛发散发散发散发散发散发散发散发散绝对收敛绝对收敛当当时，时，发散发散当当时，时，的收敛半径为的收敛半径为R称为幂级数

11、的称为幂级数的收敛区间收敛区间收敛区间收敛区间.称为幂级数的称为幂级数的收敛域收敛域.规定规定问题问题问题问题:如何求幂级数的如何求幂级数的如何求幂级数的如何求幂级数的收敛半径收敛半径?(1)幂级数幂级数只在只在x x=0 0处收敛时，处收敛时，收敛域收敛域为为0;(2)幂级数对一切幂级数对一切x x都收敛都收敛都收敛都收敛时，时，收敛区间收敛区间收敛区间收敛区间为为16第16页，此课件共27页哦如果幂级数如果幂级数的所有系数的所有系数3.幂级数收敛半径的求法：幂级数收敛半径的求法：定理定理2.是它的相邻两项的系数且满足：是它的相邻两项的系数且满足：则则 1)当当 0 时时,2)当当 0 时时

12、,3)当当 时时,的收敛半径为的收敛半径为说明说明:据此定理知据此定理知17第17页，此课件共27页哦证证:1)若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当原级数绝对收敛原级数绝对收敛;当当原级数发散原级数发散.即即时时,即即时时,2)若若则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,绝对收敛绝对收敛,3)若若则对除则对除 x=0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散,对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径18第18页，此课件共27页哦说明说明:1)注意定理的条件：注意定理的条件：幂级数幂级数的所有系数的所有系数是它的相邻两项的系数是

13、它的相邻两项的系数不缺项不缺项 存在或为存在或为 且且2)定理的条件是结论的充分条件，不是必要条件定理的条件是结论的充分条件，不是必要条件.3)定理的证明中找收敛半径的方法叫比值法定理的证明中找收敛半径的方法叫比值法(或根值法或根值法),该法该法适用于适用于任何函数项级数任何函数项级数.4)用定理找收敛半径的方法叫公式法，该法适用于标准用定理找收敛半径的方法叫公式法，该法适用于标准的幂级数的幂级数(即不缺项的即不缺项的).19第19页，此课件共27页哦对端点对端点 x=1,的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:对端点对端点 x=1,级数为交错级数级数为交错级数收敛收敛;级数为级数为发散发

14、散.故收敛域为故收敛域为例例1.求幂级数求幂级数 20第20页，此课件共27页哦例例2.求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解:(1)所以收敛域为所以收敛域为(2)所以级数仅在所以级数仅在 x=0 处收敛处收敛.规定规定:0!=121第21页，此课件共27页哦解解解解:缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数级数绝对绝对绝对绝对收敛收敛收敛收敛,级数级数级数级数发散发散发散发散,例例例例3.3.求幂级数求幂级数求幂级数求幂级数的收敛区间及收敛域的收敛区间及收敛域.考虑级数考虑级数应用应用直接法，直接法，直接法，直接法，即即时，时，即即时，时，级数为级数为级数为级数为22第22页，此课件共27页

15、哦级数级数发散发散发散发散,因为原级数的因为原级数的收敛区间收敛区间为为为为所以原级数的所以原级数的收敛域收敛域收敛域收敛域为为为为:级数为级数为级数为级数为当当时，时，当当时，时，级数级数发散发散发散发散,例例例例3.求幂级数求幂级数求幂级数求幂级数的收敛区间及收敛域的收敛区间及收敛域的收敛区间及收敛域的收敛区间及收敛域.23第23页，此课件共27页哦例例4.的收敛半径的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径.时级数绝对收敛时级数绝对收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 故直接由故直接由24

16、第24页，此课件共27页哦例例4.的收敛半径的收敛半径.另解另解:级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,可通过换元化为标准型再求可通过换元化为标准型再求.级数变为级数变为故收敛半径为故收敛半径为 时原级数绝对收敛时原级数绝对收敛.25第25页，此课件共27页哦例例5.解解:令令 级数变为级数变为当当 t=2 时时,级数为级数为此级数发散此级数发散;当当 t=2 时时,级数为级数为此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为即即26第26页，此课件共27页哦求收敛半径的方法总结求收敛半径的方法总结求收敛半径的方法总结求收敛半径的方法总结:幂级数中奇偶项齐全幂级数中奇偶项齐全时时用公式求用公式求R 幂级数中奇偶项不齐全幂级数中奇偶项不齐全这时这时这时这时不能用以上公式求不能用以上公式求R.应该根据收敛半径的定义用直接法求应该根据收敛半径的定义用直接法求应该根据收敛半径的定义用直接法求应该根据收敛半径的定义用直接法求R.如：如：若级数为若级数为则则应用代换法，应用代换法，令令先求收敛半径先求收敛半径,再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性.求收敛域的方法求收敛域的方法:27第27页，此课件共27页哦