2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训54 直线与椭圆 作业.doc

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1、1 直线与椭圆 建议用时：45 分钟 一、选择题 1直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则 m 的取值范围是( ) A(1，) B(1，3)(3，) C(3，) D(0，3)(3，) B 由yx2，x2my231，得(3m)x24mxm0， 由题意可知3m0，（4m）24m（3m）0， 解得m3，m0或m1，又 m0，且 m3， m1 且 m3.故选 B. 2(2019 枣庄模拟)过椭圆x25y241 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A.43 B.53 C.54 D.103 B 由题意知椭圆的右焦点 F 的坐标为

2、(1，0)，则直线 AB 的方程为 y2x2.联立x25y241，y2x2， 解得交点坐标为(0，2)，53，43，不妨设 A 点的纵坐标yA2，B 点的纵坐标 yB43，SOAB12 |OF| |yAyB|12124353. 3已知 F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为( ) 2 A.x2y21 B.x23y231 C.x24y231 D.x25y241 C 设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，则 c1.因为过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，且|A

3、B|3，所以b2a32，b2a2c2，所以 a24，b2a2c2413，椭圆的方程为x24y231. 4 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy50， 弦的中点坐标是 M(4，1)，则椭圆的离心率是( ) A.12 B.22 C.32 D.55 C 设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yMb2a2kxM，代入 k1，M(4，1)，解得b2a214，e1ba232，故选 C. 5 倾斜角为4的直线经过椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F， 与椭圆交于 A，B 两点，且AF2FB，则该椭圆的离心率为( ) A.

4、32 B.23 C.22 D.33 B 由题意可知， 直线的方程为 yxc， 与椭圆方程联立得x2a2y2b21，yxc，(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22b2ca2b2，y1y2b4a2b2，又AF2FB，(cx1，y1)3 2(x2c，y2)， y12y2，可得y22b2ca2b2，2y22b4a2b2，124c2a2b2，e23，故选 B. 二、填空题 6 过椭圆 C：x24y231 的左焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l 与椭圆 C 交于A，B 两点，则1|AF|1|BF|等于_ 4

5、3 由题意可知 F(1，0)，故 l 的方程为 y 3(x1) 由y 3（x1），x24y231，得 5x28x0，x0 或85. A(0， 3)，B85，3 35. 又 F(1，0)，|AF|2，|BF|65， 1|AF|1|BF|43. 7 已知椭圆x24y231 的左焦点为 F， 直线 xm 与椭圆交于点 A， B， 当FAB的周长最大时，FAB 的面积是_ 3 如图，设椭圆的右焦点为 E，连接 AE，BE.由椭圆的定义得，FAB 的周长为|AB|AF|BF|AB|(2a|AE|) (2a |BE|) 4a |AB| |AE| |BE|.|AE| |BE|AB|， |AB|AE|BE|0

6、， |AB|AF|BF|4a|AB|AE|BE|4a.当直线 AB 过点 E 时取等号，此时直线 xmc1，把 x1 代入椭圆x24y231得 y32，|AB|3.当FAB 的周长最大时，FAB 的面积是123|EF|12323. 8椭圆 ：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直4 线 y 3(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1， 则该椭圆的离心率等于_ 31 直线 y 3(xc)过点 F1(c， 0)， 且倾斜角为 60， 所以MF1F260， 从而MF2F130， 所以 MF1MF2.在 RtMF1F2中， |MF1|c， |M

7、F2| 3c， 所以该椭圆的离心率 e2c2a2cc 3c 31. 三、解答题 9已知椭圆x22y21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx12对称，求实数 m 的取值范围 解 由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 y1mxb. 由x22y21，y1mxb消去 y，得 121m2x22bmxb210. 因为直线 y1mxb 与椭圆x22y21 有两个不同的交点，所以 2b224m20. 将线段 AB 中点2mbm22，m2bm22代入直线方程 ymx12，解得 bm222m2. 由得 m63或 m63. 5 故 m 的取值范围为，6363， . 10(2019 合肥调研)已知椭圆 C：

8、x2a2y2b2(ab0)的离心率为32，左、右顶点分别是 A1，A2，上顶点为 B(0，b)，A1A2B 的面积等于 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 Q(1，0)，P(4，m)，直线 PA1，PA2分别交椭圆 C 于点 M，N，证明：M，Q，N 三点共线 解 (1)由离心率为32得，ca32， 由A1A2B 的面积为 2 得，ab2. a2b2c2，联立解得，a2，b1， 椭圆 C 的方程为x24y21. (2)记点 M，N 的坐标分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2) 又 A1(2，0)，直线 PA1的方程为 ym6(x2)，与椭圆x24y21 方程联立并整理得(m29)

9、x24m2x4m2360，由2x14m2m29得 x1182m2m29， 代入直线 PA1的方程得 y16mm29，即 M(182m2m29，6mm29)， 同理可得 N(2m22m21，2mm21) 因为 Q(1，0)，所以QM(93m2m29，6mm29)，QN(m23m21，2mm21)， 由93m2m292mm21m23m216mm29知，M，Q，N 三点共线 1已知 P(x0，y0)是椭圆 C：x24y21 上的一点，F1，F2是 C 的两个焦点，若PF1PF20，则 x0的取值范围是( ) A.2 63，2 63 B.2 33，2 33 6 C.33，33 D.63，63 A 由题

10、意可知 F1( 3，0)，F2( 3，0)，则PF1PF2(x0 3)(x0 3)y20 x20y2030.因为点 P 在椭圆上，所以 y201x204.所以 x20(1x204)30，解得2 63x0b0)上的动点 M 作圆 x2y2b23的两条切线，切点分别为 P 和 Q，直线 PQ 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F，则EOF 面积的最小值为_ b39a 设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意知 PQ 斜率存在，且不为 0，所以 x0y00， 则直线 MP 和 MQ 的方程分别为 x1xy1yb23， x2xy2yb23.因为点 M 在 MP和 MQ 上，所以有 x1x0y1y0b23，x2x0y2y0b23，则 P，Q 两点的坐标满足方程x0 xy0yb23，所以直线 PQ 的方程为 x0 xy0yb23，可得 Eb23x0，0 和 F0，b23y0， 所以 SEOF12 |OE|OF|b418|x0y0|， 因为 b2y20a2x20a2b2，b2y20a2x202ab|x0y0|， 所以|x0y0|ab2，所以 SEOFb418|x0y0|b39a， 当且仅当 b2y20a2x20a2b22时取“”， 故EOF 面积的最小值为b39a.