2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训57 曲线与方程 作业.doc

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1、1 曲线与方程 建议用时：45 分钟 一、选择题 1若方程 x2y2a1(a 是常数)，则下列结论正确的是( ) A任意实数 a 方程表示椭圆 B存在实数 a 方程表示椭圆 C任意实数 a 方程表示双曲线 D存在实数 a 方程表示抛物线 B 当 a0 且 a1 时，该方程表示椭圆；当 a0 时，该方程表示双曲线；当 a1 时，该方程表示圆故选 B. 2(2019 深圳调研)已知点 F(0，1)，直线 l：y1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且QP QFFP FQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为( ) Ax24y By23x Cx22y Dy24x A 设点 P

2、(x，y)，则 Q(x，1) QP QFFP FQ，(0，y1) (x，2)(x，y1) (x，2)，即 2(y1)x22(y1)，整理得 x24y，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y. 3已知圆 M：(x 5)2y236，定点 N( 5，0)，点 P 为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在线段 MP 上，且满足NP2NQ，GQ NP0，则点 G 的轨迹方程是( ) A.x29y241 B.x236y2311 C.x29y241 D.x236y2311 A 由NP2NQ，GQ NP0 知 GQ 所在直线是线段 NP 的垂直平分线，连2 接 GN，|GN|GP|，|GM|GN

3、|MP|62 5，点 G 的轨迹是以 M，N为焦点的椭圆， 其中 2a6， 2c2 5， b24， 点 G 的轨迹方程为x29y241，故选 A. 4在ABC 中，B(2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出ABC 满足的条件，就能得到动点 A 的轨迹方程 下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ABC 周长为 10 C1：y225 ABC 面积为 10 C2：x2y24(y0) ABC 中，A90 C3：x29y251(y0) 则满足条件，的轨迹方程依次为( ) AC3，C1，C2 BC1，C2，C3 CC3，C2，C1 DC1，C3，C2 A ABC 的周长为 10，即|AB|AC|BC

4、|10，又|BC|4，所以|AB|AC|6|BC|，此时动点 A 的轨迹为椭圆，与 C3对应；ABC 的面积为 10，所以12|BC| |y|10，即|y|5，与 C1对应；因为A90，所以AB AC(2x，y) (2x，y)x2y240，与 C2对应故选 A. 5设线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，且|AB|5，OM35OA25OB，则点 M 的轨迹方程为( ) A.x29y241 B.y29x241 C.x225y291 D.y225x291 A 设 M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)， 由OM35OA25OB，得(x，y)35(x0，0)25(0，y

5、0)， 3 则x35x0，y25y0， 解得x053x，y052y， 由|AB|5，得53x252y225， 化简得x29y241. 二、填空题 6已知ABC 的顶点 B(0，0)，C(5，0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_ (x10)2y236(y0) 设 A(x，y)， 则 Dx2，y2. |CD|x252y243， 化简得(x10)2y236，由于 A，B，C 三点构成三角形， A 不能落在 x 轴上， 即 y0. 7一条线段的长等于 6，两端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上滑动，P 在线段 AB 上且AP2PB，则点 P 的轨迹方程是_ 4x2

6、y216 设 P(x，y)，A(a，0)，B(0，b)， 则 a2b236.因为AP2PB， 所以(xa，y)2(x，by)， 所以xa3，y2b3，即a3x，b32y，代入 a2b236，得 9x294y236，即 4x2y216. 8已知圆的方程为 x2y24，若抛物线过点 A(1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_ x24y231(y0) 设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，4 OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|4，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，长

7、轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线的焦点轨迹方程为x24y231(y0) 三、解答题 9已知动点 M 到定点 F1(2，0)和 F2(2，0)的距离之和为 4 2. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (2)设 N(0，2)，过点 P(1，2)作直线 l，交曲线 C 于不同于 N 的两点 A，B，直线 NA，NB 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2的值 解 (1)由椭圆的定义，可知点 M 的轨迹是以 F1，F2为焦点，4 2为长轴长的椭圆 由 c2，a2 2，得 b2. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为x28y241. (2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y2k(x

8、1)， 由x28y241，y2k（x1）得(12k2)x24k(k2)x2k28k0. 4k(k2)24(12k2)(2k28k)0， 则 k0 或 k47. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24k（k2）12k2，x1x22k28k12k2. 从而 k1k2y12x1y22x2 2kx1x2（k4）（x1x2）x1x2 2k(k4)4k（k2）2k28k4. 当直线 l 的斜率不存在时，得 A1，142， B1，142，所以 k1k24. 5 综上，恒有 k1k24. 10.如图，P 是圆 x2y24 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 D，点 M 满足DM12DP.

9、 (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点 N(3， 0)的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A， B， 求以 OA，OB 为邻边的平行四边形 OAEB 的顶点 E 的轨迹方程 解 (1)设 M(x，y)，则 D(x，0)， 由DM12DP知，P(x，2y)， 点 P 在圆 x2y24 上，x24y24， 故动点 M 的轨迹 C 的方程为x24y21，且轨迹 C 为椭圆 (2)设 E(x，y)，由题意知 l 的斜率存在， 设 l：yk(x3)，代入x24y21， 得(14k2)x224k2x36k240，(*) 设 A(x1，y1)，B(x2，y

10、2)，则 x1x224k214k2， y1y2k(x13)k(x23) k(x1x2)6k24k314k26k6k14k2. 四边形 OAEB 为平行四边形， OEOAOB(x1x2，y1y2) 24k214k2，6k14k2， 又OE(x，y)，x24k214k2，y6k14k2， 消去 k，得 x24y26x0， 由(*)中 (24k2)24(14k2)(36k24)0， 6 得 k215，0 x83. 顶点 E 的轨迹方程为 x24y26x00 x4， 且|QA|QM|PM|4|MA|， 所以 Q 点的轨迹是以 M，A 为焦点的双曲线，见图(1) 当 A 在圆 M 内， 且与 M 不重合

11、时， |MA|MA|， 所以 Q 点的轨迹是以 M，A 为焦点的椭圆，见图(2) 当 A 在圆 M 上时，l 过定点 M，l 与 PM 的交点 Q 就是点 M，所以点 Q 的轨迹就是一个点，见图(3) 当 A 与 M 重合时，l 与 PM 的交点 Q 就是 PM 的中点，所以点 Q 的轨迹就是圆，见图(4) 综上所述，Q 点的轨迹可能是四种 (2)因为 A(5，0)在圆 M 内， 由(1)知，点 Q 的轨迹是以 M，A 为焦点的椭圆， 且|MA|22c，|MP|42a， 所以 b 3， 由椭圆的几何性质可知，Q 为短轴端点时，SMQA最大， 8 所以 SMQA的最大值为12 2c b 3. 1

12、 (2019 安庆模拟)如图， 斜线段 AB与平面 所成的角为 60，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB30，则点 P 的轨迹是( ) A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线的一支 C 可构造如图所示的圆锥母线与中轴线夹角为 30，然后用平面 去截，使直线 AB 与平面 的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆故选 C. 2(2019 济南模拟)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(2，0)和 F2(2，0)的距离的积等于常数 a2(a24)的点的轨迹给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称； 若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积不大于12a2. 其中，所有正确结论的序号是_ 因为原点 O 到两个定点 F1(2， 0)， F2(2， 0)的距离的积是 4， 又 a24，所以曲线 C 不过原点，即错误；设动点 P 在曲线 C 上，因为 F1(2，0)，F2(2，0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确； 因为 SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF212|PF1|PF2|12a2， 即F1PF2的面积不大于12a2，即正确