2022届高三数学一轮复习（原卷版）课时跟踪检测（四） 基本不等式 作业.doc

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1、第 1 页 共 7 页 课时跟踪检测（四）课时跟踪检测（四） 基本不等式基本不等式 一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度 1(2021 豫北重点中学联考豫北重点中学联考)设设 a0，则，则 aa4a的最小值为的最小值为( ) A2 a4 B2 C4 D5 解析：解析：选选 D aa4aa14a12 a4a5，当且仅当，当且仅当 a2 时取等号，故选时取等号，故选 D. 2设设 x 为实数，则为实数，则“x0”是是“x1x2”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分必要不充分条件条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析： 选选 C

2、若若 x0，x1x(x)1 x 2， “x0”是是“x1x2”的充分条件；若的充分条件；若 x1x2，则，则x22x1x0，得，得 x0，“x0”是是“x1x2”的必要条的必要条件综上，件综上，“x0”是是“x1x2”的充要条件故选的充要条件故选 C. 3(2021 沈阳模拟沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是的函数是( ) Ayx1x Bysin x1sin x 0 x0 时，时，yx1x2 x1x2；当；当 x0 时，时，yx1x2，故，故 A 不合题意对于选项不合题意对于选项 B，由于，由于 0 x2，因此，因此 0sin x0，b0，且，且 ab

3、1， 1ab2 ab，ab14，当且仅当，当且仅当 ab12时，等号成立，时，等号成立， ab 有最大值有最大值14，A 正确正确 ( a b)2ab2 abab2ab22，当且仅当，当且仅当 ab12时，等号成立，时，等号成立， a b 2，即，即 a b有最大值有最大值 2，B 错误错误 1a1babab1 ab224，当且仅当，当且仅当 ab12时，等号成立，时，等号成立， 1a1b有最小值有最小值 4，C 正确正确 a2b2 ab 2212，当且仅当，当且仅当 ab12时等号成立，时等号成立， a2b2的最小值不是的最小值不是22，D 错误，故选错误，故选 A、C. 5用一段长用一段长

4、 8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A9 cm2 B16 cm2 C4 cm2 D5 cm2 解析：解析：选选 C 设矩形模型的长和宽分别为设矩形模型的长和宽分别为 x cm，y cm，则，则 x0，y0，由题意可得，由题意可得 2(xy)8，所以，所以 xy4，所以矩形模型的面积，所以矩形模型的面积 Sxy xy 244244(cm2)，当且仅当，当且仅当 xy2 时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为 2 cm 时，面积最大，为时，面积最大，为 4 cm2.故选故选 C. 6若

5、若 x1，则，则 x4x1的最小值为的最小值为_ 解析：解析：x4x1x14x11415. 当且仅当当且仅当 x14x1，即，即 x3 时等号成立时等号成立 答案：答案：5 二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1若若 2x2y1，则，则 xy 的取值范围是的取值范围是( ) A0,2 B2,0 C2，) D(，2 解析：解析：选选 D 由由 12x2y2 2x 2y，变形为，变形为 2xy14，即，即 xy2，当且仅当，当且仅当 xy时取等号则时取等号则 xy 的取值范围是的取值范围是(，2 2若若 a0，b0，abab，则，则 ab 的最小值为的最小值为( ) 第 3 页 共 7

6、页 A2 B4 C6 D8 解析：解析：选选 B 法一：法一：由于由于 abab ab 24，因此，因此 ab4 或或 ab0(舍去舍去)，当且仅，当且仅当当 ab2 时取等号，故选时取等号，故选 B. 法二：法二：由题意，得由题意，得1a1b1，所以，所以 ab(ab) 1a1b2abba224，当且仅当，当且仅当ab2 时取等号，故选时取等号，故选 B. 3已知已知 a0，b0，并且，并且1a，12，1b成等差数列，则成等差数列，则 a9b 的最小值为的最小值为( ) A16 B9 C5 D4 解析：解析：选选 A 1a，12，1b成等差数列，成等差数列，1a1b1，a9b(a9b) 1a

7、1b10ab9ba102 ab9ba16，当且仅当，当且仅当ab9ba且且1a1b1，即，即 a4，b43时等号成立，故选时等号成立，故选 A. 4已已知正数知正数 x，y 满足满足 x22xy30，则，则 2xy 的最小值是的最小值是( ) A1 B3 C6 D12 解析：解析：选选 B x22xy30，y3x22x，2xy2x3x22x3x232x3x232x 2 3x232x3，当且仅当，当且仅当3x232x，即，即 x1 时取等号故选时取等号故选 B. 5若若 log4(3a4b)log2ab，则，则 ab 的最小值是的最小值是( ) A72 3 B62 3 C74 3 D64 3 解

8、析：解析：选选 C 由题意得由题意得 3a4b ab，3a4bab，4a3b1(a0，b0) ab(ab) 4a3b434ba3ab72 4ba3ab74 3，当且仅当，当且仅当 3a2b时取等号故选时取等号故选 C. 6已知向量已知向量 a(3，2)，b(x，y1)，且，且 ab，若，若 x，y 均为正数，则均为正数，则3x2y的最小的最小值是值是( ) A.53 B.83 C8 D24 解析：解析：选选 C 因为因为 ab，故，故 3(y1)2x，整理得，整理得 2x3y3，所以，所以3x2y13(2x第 4 页 共 7 页 3y) 3x2y13129yx4xy13 122 9yx4xy8

9、，当且仅当，当且仅当 x34，y12时等号成立，所以时等号成立，所以3x2y的最小值为的最小值为 8，故选，故选 C. 7 已知 已知ABC 的面积为的面积为 1， 内切圆半径也为， 内切圆半径也为 1， 若， 若ABC 的三边分别为的三边分别为 a， b， c， 则， 则4ababc的最小值为的最小值为( ) A2 B2 2 C4 D22 2 解析：解析：选选 D 因为因为ABC 的面积为的面积为 1，内切圆半径也为，内切圆半径也为 1， 所以所以12(abc)11，所以，所以 abc2， 所以所以4ababc2 abc ababc22cababc22 2， 当且仅当当且仅当 ab 2c，即

10、，即 c2 22 时，等号成立，时，等号成立， 所以所以4ababc的最小值为的最小值为 22 2. 8正数正数 a，b 满足满足1a9b1，若不等式，若不等式 abx24x18m 对任意实数对任意实数 x 恒成立，恒成立，则实数则实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A3，) B(，3 C(，6 D6，) 解析：解析：选选 D 因为因为 a0，b0，1a9b1， 所以所以 ab(ab) 1a9b10ba9ab102 916，当且仅当，当且仅当ba9ab，即，即 a4，b12 时，等号成立时，等号成立 由题意，得由题意，得 16x24x18m， 即即 x24x2m 对任意实数对任意实数 x

11、 恒成立，恒成立， 令令 f(x)x24x2， 则则 f(x)(x2)26， 所以所以 f(x)的最小值为的最小值为6， 所以所以6m，即，即 m6. 9实数实数 x，y 满足满足|xy|xy|2，若，若 z4axby(a0，b0)的最大值为的最大值为 1，则，则1a1b有有( ) A最大值最大值 9 B最大值最大值 18 第 5 页 共 7 页 C最小值最小值 9 D最小值最小值 18 解析：解析：选选 C 根据根据|xy|xy|2，可得点，可得点(x，y)满足的图形是以满足的图形是以 A(1,1)，B(1,1)，C(1，1)，D(1，1)为顶点的正方形，可知为顶点的正方形，可知 x1，y1

12、 时，时，z4axby 取得最大值，取得最大值，故故 4ab1，所以，所以1a1b 1a1b(4ab)54abba9，当且仅当，当且仅当4abba，即，即 a16，b13时时取等号故取等号故1a1b有最小值有最小值 9.故选故选 C. 10已知已知 a0，b0，若直线，若直线(a1)x2y10 与直线与直线 xby0 互相垂直，则互相垂直，则 ab 的最的最大值是大值是_ 解析：解析：由两条直线互相垂直得由两条直线互相垂直得(a1)12b0，即，即 a2b1，又，又 a0，b0，所以，所以 ab12(a 2b)12 a2b2218，当且仅当，当且仅当 a12，b14时取等号故时取等号故 ab

13、的最大值是的最大值是18. 答案：答案：18 11若关于若关于 x 的不等式的不等式 x4xa5 在在 x(a，)上恒成立，则实数上恒成立，则实数 a 的最小值为的最小值为_ 解析：解析：x4xaxa4xaa5 在在(a，)上恒成立，由上恒成立，由 xa 可得可得 xa0. 则则(xa)4 xa 2 xa 4 xa 4，当且仅当，当且仅当 xa2 即即 xa2 时，上式取时，上式取得最小值得最小值 4，又，又xa4xa5a 在在(a，)上恒成立，上恒成立，5a4，a1. 答案：答案：1 12已知函数已知函数 f(x)x2ax11x1(aR)，若对于任意的，若对于任意的 xN*，f(x)3 恒成

14、立，则恒成立，则 a 的的取值范围是取值范围是_ 解析：解析：对任意对任意 xN*，f(x)3， 即即x2ax11x13 恒成立，即恒成立，即 a x8x3. 设设 g(x)x8x，xN*，则，则 g(x)x8x4 2， 当当 x2 2时等号成立，又时等号成立，又 g(2)6，g(3)173， g(2)g(3)，g(x)min173. x8x383， a83，故，故 a 的取值范围是的取值范围是 83， . 第 6 页 共 7 页 答案：答案： 83， 13(1)当当 x32时，求函数时，求函数 yx82x3的最大值；的最大值； (2)设设 0 x2，求函数，求函数 y x 42x 的最大值的

15、最大值 解：解：(1)y12(2x3)82x33232x2832x32.当当 x32时，有时，有 32x0，32x2832x2 32x2832x4，当且仅当，当且仅当32x2832x，即，即 x12时取等号时取等号 于是于是 y43252，故函数的最大值为，故函数的最大值为52. (2)0 x2，2x0， y x 42x 2 x 2x 2x2x2 2， 当且仅当当且仅当 x2x，即，即 x1 时取等号，时取等号， 当当 x1 时，函数时，函数 y x 42x 的最大值为的最大值为 2. 14 运货卡车以每小时 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶千米的速度匀速行驶 130 千米， 按交通法

16、规限制千米， 按交通法规限制 50 x100(单单位：千米位：千米/时时)假设汽油的价格是每升假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油元，而汽车每小时耗油 2x2360升，司机的工资是升，司机的工资是每小时每小时 14 元元 (1)求这次行车总费用求这次行车总费用 y 关于关于 x 的表达式；的表达式； (2)当当 x 为何值时，这次行车的总费用最为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值低，并求出最低费用的值 解：解：(1)设所用时间为设所用时间为 t130 x(h)， y130 x2 2x236014130 x，x50,100 所以，这次行车总费用所以，这次行车总费用 y 关

17、于关于 x 的表达式是的表达式是 y13018x2130360 x，x50,100 或或y2 340 x1318x，x50，100 . (2)y13018x2130360 x26 10， 当且仅当当且仅当13018x2130360 x，即，即 x18 10时等号成立时等号成立 故当故当 x18 10千米千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元元 三、自选练三、自选练练高考区分度练高考区分度 1 已知函数 已知函数 f(x)loga(x4)1(a0 且且 a1)的图象恒的图象恒过定点过定点 A， 若直线， 若直线xmyn2(m0，n

18、0)也经过点也经过点 A，则，则 3mn 的最小值为的最小值为( ) 第 7 页 共 7 页 A16 B8 C12 D14 解析：解析：选选 B 由题意，函数由题意，函数 f(x)loga(x4)1(a0 且且 a1)，令，令 x41，可得，可得 x3，代入可得，代入可得 y1， 图象恒过定点图象恒过定点 A(3，1)直线直线xmyn2(m0，n0)也经过点也经过点 A，3m1n2，即，即32m12n1.3mn(3mn) 32m12n92123n2m3m2n2 3n2m3m2n58(当且当且仅当仅当 nm2 时，取等号时，取等号)，3mn 的最小值为的最小值为 8. 2若实数若实数 x，y 满

19、足满足 x2y2x2y28，则，则 x2y2的取值范围为的取值范围为( ) A4,8 B8，) C2,8 D2,4 解析：解析：选选 A x2y2 x2y2 24，x2y2x2y28 x2y2 24(x2y2)(x2y22 时取时取等号等号)， (x2y24)(x2y28)0，x2y24， 又又 x2y20，x2y28，x2y24,8 3.某县一中计划把一块边长为某县一中计划把一块边长为 20 米的等边米的等边ABC 的边角地开辟为植的边角地开辟为植物新品种实验基地， 图中物新品种实验基地， 图中 DE 需要把基地分成面积相等的两部分，需要把基地分成面积相等的两部分， D 在在 AB上，上，E

20、 在在 AC 上上 (1)设设 ADx(x10)，EDy，使用，使用 x 表示表示 y 的函数关系式；的函数关系式； (2)如果如果 ED 是灌溉输水管道的位置，为了节约，是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED 的位置应该在哪里？求出最小值的位置应该在哪里？求出最小值 解：解：(1)ABC 的边长是的边长是 20 米，米，D 在在 AB 上，上， 则则 10 x20，SADE12SABC， 12x AEsin 60 1234 202，故，故 AE200 x. 在在ADE 中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，y x24 104x2200(10 x20) (2)若若 DE 作为输水管道，则需求作为输水管道，则需求 y 的最小值，的最小值， y x24 104x2200 40020010 2， 当且仅当当且仅当 x24 104x2即即 x10 2米时米时“”成立，成立， DE 的位置应该在的位置应该在 AD10 2，AE10 2米处，米处， 且且 DE 的最小值为的最小值为 10 2米米