2022届高三数学一轮复习（原卷版）预测11 空间向量与立体几何（原卷版）.doc

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1、 预测 11 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 概率预测 题型预测 选择题、填空题 解 答 题 考向预测 1、重点考简单几何体的表面积或体积； 2、球与简单几何体的切接问题或与之有关的最大值； 3、几何体的点面距离等问题； 1、线线、线面、面面垂直的判定与性质； 2、第二小题重点考查利用向量计算线面角或二面角； 从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是: (1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、 线面、 面面位置关系的判定与性质; (2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力

2、及推理论证能力; (3)线线角、 线面角和二面角是高考的热点,选择题、 填空题皆有， 解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力. 1.平面的基本性质 (1)熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言、图形语言、符号语言） ，明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系作简单的判断. (2)掌握确定一个平面的依据：不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面. 2.空间直线、平面的位置关系 (1)空间两条直线与直线的位置关系：相交

3、、平行、异面. 判断依据：是否在同一个平面上；公共点的个数情况. 理解平行公理与等角定理： 平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行； 等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (2)直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行或相交 判断依据：直线与平面的公共点的个数. 理解直线与平面平行的定义. (3)空间两个平面的位置关系：相交、平行 判断依据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交. 3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理 (1)线面平行的判定定理与性质定理 1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行. 符

4、号语言：, /ababa. 要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线. 2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行. 符号语言：/,/aabab . 当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行. 3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 符号语言：/, /,/abababP. 要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线. 4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交

5、线平行. 符号语言：/,/mnmn . 5)平行关系的转化 判定判定性质性质线线平行线面平行面面平行 (2)直线、平面垂直的判定定理与性质定理 1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直. 符号语言：,la lb ababPl . 要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可. 2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,/abab. 此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直. 3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平

6、面与已知平面垂直. 符号语言：,aa. 要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线. 4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言：,m nnmn . 要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线. 5)垂直关系的转化 判定判定性质性质线线垂直线面垂直面面垂直 4.空间向量在立体几何中的应用 (1)空间向量的坐标运算 设123123( ,),( ,)a a ab b bab，则112233(,)ab ab abab， 123(,)()aaaRa，1 12 23 3aba ba b

7、a b， 112233,()ba ba baRabba， 1 12 23 30aba ba baba b， 2222123aaaaa， 1 1223 3222222123123cos,aba ba baaabbba ba ba b. 5. 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量 (2)平面的法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量 6. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2 l1l2 n1n2

8、n1n2 l1l2 n1n2n1n20 直线 l 的方向向量为 n，平面 的法向量为 m, l,nmnm0 l,nmnm 平面 ，的法向量分别为 n，m, ,nmnm ,nmnm03. 异面直线所成的角 7.设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 a 与 b 的夹角 l1与 l2所成的角 范围 (0，) 0，2 a 与 b 的夹角 l1与 l2所成的角 求法 cosa b|a|b| cos|cos |a b|a|b| 8 求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin|cosa，n|a n|a|n|. 5.

9、求二面角的大小 (1)如图， AB， CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线， 则二面角的大小 AB，CD (2)如图，n1，n2 分别是二面角 l 的两个半平面 ，的法向量，则二面角的大小 满足 |cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角) 利用空间向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小

10、就是二面角的大小 二、探索性问题 对于探索性问题常见的是是否存在点的位置问题，此类问题主要是有两种方法：一是直接通过参数设点坐标，二是通过向量之间的关系，引入参数，然后表示点坐标。特别要注意引入参数的范围。 1、 【2020年高考全国卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积， 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A514 B512 C514 D512 2、 【2020 年高考全国 II 卷理数】已知ABC是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球 O的球面上.若球 O 的表面积为

11、 16，则 O 到平面 ABC 的距离为 A3 B32 C1 D32 3、 【2020 年高考全国卷理数】已知, ,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为 A64 B48 C36 D32 4、 【2020 年高考天津】若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A12 B24 C36 D144 5、 【2020 年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，nl ，m，n 共面是l ，m，n两两相交的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6、 【2020 年新

12、高考全国卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角， 点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面.在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40 ，则晷针与点 A 处的水平面所成角为 A20 B40 C50 D90 7、 【2019 年高考全国卷理数】 已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB=PC， ABC是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90 ，则球 O

13、 的体积为 A68 B64 C62 D6 8、 【2019 年高考全国卷理数】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 9、 【2019 年高考全国卷理数】如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 10、 【2020 年高考全国卷理数】已知圆

14、锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 11、 【2020 年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是_ 12、 【2020 年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm. 13、 【2020 年新高考全国卷】已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60 以1D为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_ 14、【2019 年高考全

15、国卷理数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，16cm4cmAB= BC=, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 15、 【2019 年高考北京卷理数】已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm； m； l 以其中的两个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题： _ 16、【2019 年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为2的

16、正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_ 17、 【2019 年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCDABC D的体积是 120，E 为1CC的中点，则三棱锥 EBCD 的体积是 . 18、 【2020 年高考全国卷理数】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO （1）证明：PA平面PBC； （2）求二面角BPCE的余弦值 19、 【2020 年高考全国卷理数】如图，在长方体1111ABCDABC D中，点,E F分别在棱11,D

17、D BB上，且12DEED，12BFFB （1）证明：点1C在平面AEF内； （2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1AEFA的正弦值 20、 【2020年高考浙江】 如图， 在三棱台ABCDEF中， 平面ACFD平面ABC， ACB=ACD=45，DC =2BC （）证明：EFDB； （）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值 21、【2019 年高考全国卷理数】如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60 ，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 AMA1N 的正弦值 22、【2

18、019 年高考全国卷理数】如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值 一、单选题一、单选题 1、 （2021 山东青岛市 高三期末）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下结论正确的是（ ） A若l，/ /，则l B若/ /l，l/，则/ / C若l，则l D若/ /l，则l 2、 （2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为 2 的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积

19、为（ ） A3 B4 C5 D6 3、 （2021 山东德州市 高三期末）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是圆柱容球定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶 天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切） ，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二今有一圆柱容球模型，其圆柱表面积为12，则该模型中球的体积为（ ） A8 B4 C83 D8 23 4、 （2021 江苏泰州市 高三期末）我国古代数学名著九章算术中开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积 V 乘 1

20、6，除以 9，再开立方，即为球的直径 d，由此我们可以推测当时球的表面积 S 计算公式为（ ） A2278Sd B2272Sd C292Sd D21114Sd 5、 （2021 河北张家口市 高三期末）在四棱锥 PABCD中，PD 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PDAD，M，N分别为AB，PC的中点，则BN与MC所成角的余弦值是（ ） A306 B66 C7010 D3010 6、 （2020 湖北高三月考） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个数学问题：现有刍甍，下宽 3 丈，长 4 丈；上长 2 丈，无宽，高 1 丈.问：有体积多少？本题中刍甍是如图所示的几何体EF

21、ABCD，底面ABCD是矩形，/ /ABEF， 4AB ， 3AD ， 2EF ，直线EF到底面ABCD的距离1h ，则该几何体EFABCD的体积是（ ） A5 B10 C15 D52 7、 （2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥PABCD的体积是36 3，底面ABCD是正方形，PAB是等边三角形， 平面PAB 平面ABCD， 则四棱锥PABCD外接球体积为 （ ） A28 21 B99112 C6372 D108 3 二、多选题二、多选题 8、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）等腰直角三角形直角边长为 1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为

22、（ ） A2 B12 C2 2 D22 9、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知, 是两个不重合的平面，,m n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A若/m nm，则n B若/,mn，则/mn C若m，m，则/ D若,/ ,mm n n，则/ 10、 （2021 山东泰安市 高三期末）如图，在正方体1111ABCDABC D中，E是棱CD上的动点则下列结论正确的是（ ） A1/D E平面11AB BA B11EBAD C直线AE与11B D所成角的范围为,4 2 D二面角11EABA的大小为4 11、（2021 山东威海市 高三期末） 在棱长为2的正方体1111ABCDABC

23、 D中，,E F分别为11AB,AD的中点，则（ ） A1BDBC B/ /EF平面1DB B C1AC 平面11B DC D过直线EF且与直线1BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 12、 （2021 江苏苏州市 高三期末）已知四边形ABCD是等腰梯形（如图 1） ，3AB ，1DC ，45BAD，DEAB将ADE沿DE折起，使得AEEB（如图 2） ，连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是（ ） ABCAD B点E到平面AMC的距离为63 C/EM平面ACD D四面体ABCE的外接球表面积为5 三、填空题三、填空题 13（2021 湖北高三期末）若一个圆台的侧面展开图是半

24、圆面所在的扇环，且扇环的面积为2，圆台上、下底面圆的半径分别为1212,()r r rr，则2221rr_. 14、 （2021 山东德州市 高三期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PD 底面ABCD， O 为对角线AC与BD的交点， 若2PD ，3APDBAD ， 则三棱锥PAOD的外接球表面积为_ 15、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥SABC，SA平面 ABC，6ABC，3SA，1BC ，直线 SB 和平面 ABC 所成的角大小为3.若三棱锥SABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_. 16、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期

25、末）如图，在三棱锥 P-ABC 中，,PAABPCBC，,ABBC22,ABBC5PC ， 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为_； 三棱锥 P-ABC外接球的表面积是_. 五、解答题五、解答题 17、 （2021 山东德州市 高三期末）在四棱锥PABCD中，PAB为直角三角形，90APB且12PAABCD，四边形ABCD为直角梯形，/AB CD且DAB为直角，E 为AB的中点，F为PE的四等分点且14EFEP，M 为AC中点且MFPE （1）证明：AD 平面ABP； （2）设二面角APCE的大小为，求的取值范围 18、（2021 山东青岛市 高三期末） 如图， 在直角梯形ABED中，/

26、/BEAD，DEAD，BCAD，4AB ，2 3BE .将矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC 平面BCDE. （1）若BCBE，证明：平面ABD 平面ACE； （2）当三棱锥ABCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值. 19、（2020 届山东省烟台市高三上期末） 如图， 在四棱锥SABCD中，ABCD为直角梯形，/ /ADBC， BCCD，平面SCD 平面ABCD，SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，224BCADCD，E为BS上一点，且2BEES. （1）证明：直线/ /SD平面ACE； （2）求二面角SACE的余弦值. 20、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）如图，在三棱锥 PABC 中，PAC 为等腰直角三角形，90 ,APCABC为正三角形，D 为 A 的中点，AC=2 (1)证明：PBAC； (2)若三棱锥PABC的体积为33，求二面角 APCB 的余弦值 21、（2020 届山东省潍坊市高三上期中） 如图， 在棱长均为2的三棱柱111ABCABC中， 平面1ACB 平面11A ABB，11ABAB，O为1AB与1AB的交点 （1）求证：1ABCO； （2）求平面11ACC A与平面ABC所成锐二面角的余弦值