2022届高三数学一轮复习（原卷版）第十一章 11.2古典概率-教师版.docx

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1、 第1课时进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件(×)(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型(×)(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.()(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2

2、.()(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.()作业检查无第2课时阶段训练题型一基本事件与古典概型的判断例1有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)

3、，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型下列试验中，古典概型的个数为()向上抛

4、一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率A0 B1 C2 D3答案B解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型题型二古典概型的求法例2(1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A. B. C. D1(2)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球

5、，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为_答案(1)B(2)(3)解析(1)从袋中任取2个球共有C105(种)取法，其中恰好1个白球，1个红球共有CC50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球，1个红球的概率为.(2)基本事件共有C6(种)，设取出两只球颜色不同为事件A，A包含的基本事件有CCCC5(种)故P(A).(3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事

6、件数为A120，满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有CC10(种)可能，所以事件A出现的概率为.引申探究1本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P(A).2本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜

7、色相同的概率解基本事件数为CC16，颜色相同的事件数为CCCC6，所求概率为.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择(1)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B. C. D.答案C解析从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有(红黄)，(白紫)，(白紫)，(红黄)，(红白)，(黄紫)，(黄紫)，(红白)，(红紫)，(黄白

8、)，(黄白)，(红紫)，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有(红黄)，(白紫)，(白紫)，(红黄)，(红白)，(黄紫)，(黄紫)，(红白)，共4种，故所求概率为P，故选C.(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2

9、)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以P(A).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，

10、共3种所以P(B)1P()1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.第3课时阶段重难点梳理1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).4古典概型的概率公式P(A).重点题型训练典例一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，

11、球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m2的概率(1)基本事件为取两个球(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式求解P(2)两球分两次取，且有放回(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1

12、,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)n<m2的情况较多，计算复杂(将复杂问题转化为简单问题)计算nm2的概率nm2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)P1(注意细节，P1是nm2的概率需转化为其对立事件的概率)n<m2的概率为1P1.规范解答解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2个

13、因此所求事件的概率P.5分(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个8分又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率为P1.12分故满足条件n<m2的事件的概率为1P11.14分1从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A. B.C. D.

14、答案B解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P，故选B.2从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A. B. C. D.答案B解析从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为.3如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A. B. C. D.答案C解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有C10(个)不同的结果，其中勾股数只有一组，故所求概率为P.4从正方形四个顶点

15、及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为_答案解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为.作业布置1小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B. C. D.答案C解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为，故选C.2从集合2,3,4,5中随机抽取一个数a，从集合1,3,5中随机抽取一个数b，则向量m(a，b)与向量

16、n(1，1)垂直的概率为()A. B. C. D.答案A解析由题意知，向量m共有CC12(个)，由mn，得m·n0，即ab，则满足mn的m有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求概率P.3已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A0.4 B0.6 C0.8 D1答案B解析从5件产品中任取2件共有取法C10(种)，恰有一件次品的取法有CC6(种)，所以恰有一件次品的概率为0.6.4设a1,2,3,4，b2,4,8,12，则函数f(x)x3axb在区间1,2上有零点的概率为()A. B. C. D.答案C解析由已知f(x)3x2a>0

17、，所以f(x)在R上递增，若f(x)在1,2上有零点，则需经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种，故所求概率为.5有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()A. B. C. D.答案D解析从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出4个，有C210(种)不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的设事件A为“取出球的编号互不相同”，则事件A包含了C·

18、;C·C·C·C80(个)基本事件，所以P(A).故选D.6如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()A. B.C. D.答案D解析从九个数中任取三个数的不同取法共有C84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1.7从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B. C. D.答案D解析如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可

19、以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为.8若A、B为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)_.答案0.3解析因为A、B为互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)，故P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.9连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m_.答案7解析112,12

20、3,134,145,156，167，213,224,235,246,257,268，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多1010件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_答案解析从10件产品中取4件，共有C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P.11设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求事件“ab”发生的概率；(2)求事件“|a|b|”发生的概率解(1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36种因为ab，所以m3n0，即m3n，有(3,1)

21、，(6,2)，共2种，所以事件ab发生的概率为.(2)由|a|b|，得m2n210，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为.*12.一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法下表给

22、出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)； 乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率解(1)余下两种坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位号3241532541(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示： 乘客P1P2P3P4P5座位号2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P(A).13袋

23、中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率解(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P，则n(n1)6，解得n3(舍去n2)，即袋中原有3个白球(2)设事件A为“取球2次即终止”取球2次即终止，即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，P(A).(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球所以P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5).17